Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Трехзначные семантики для классической логики высказываний
.pdf
g
2,3V
2,3V
2,3V
2
M
v
⊃
1 ½ 0
g
¬
q
⊃
1 ½ 0
1 1 ½ 0 1 0 1 1 ½ 1 1 ½
½ 1 ½ ½ ½ ½ ½ 1 ½ 0 ½ 0
0 1 ½ 1 0 1 0 1 ½ ½ 0 ½
q
¬
h
⊃
1 ½ 0
h
¬
r
⊃
1 ½ 0
r
¬
1 1 ½ 0 1 0 1 1 1 1 1 ½
½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ 1 ½ 0 ½ 0
0 1 ½ 1 0 1 0 1 ½ ½ 0 ½
Обозначим соответствующие матрицы
g,2f,2 h,2 l,2 m,2 n,2
2,3f
M ,
2,3g
M ,
2,3h
M ,
2,3l
M ,
2,3m
M ,
2,3n
M ,
M ,
M ,
M ,
2,3p
p,2 q,2 r,2
2,3q
M и
d,2c,2
2,3c
2,3d
d,2e,2
2,3e
M
2,3r
M .
Ниже будет доказан ряд теорем, которые показывают, что каждая
из этих матриц равна классической двухэлементной матрице по
классу формул, общезначимых в ней.
Теорема 6.
Пусть M
ς,2
∈ {
A – L⊃¬-формула, и |A|
c,2
M ,
M
2
v
d,2
2,3c
= 0, е.т.е. $v’: v’ – оценка в M
2,3d
M }. Тогда $v$A: v – оценка в M
ς,2
и |A|
, и
2
ς,1
1,
V
M
3
= 0.
v
'
Чтобы доказать Теорему 6, достаточно доказать следующие
утверждения:
У1. ∀v∀A: если v – оценка в M
ς,2
2,3V
M
φ0|A|
= 0, то |A|
v
У2. ∀v∀A: если v – оценка в M2 и A – L⊃¬-формула, то если
|A|
= 0, то |A|
M
2
= 0.
v
ς,2
2,3V
M
= 0.
v
ς,2
и A – L⊃¬-формула, то если
Пусть У1 верно для формул, которые содержат менее, чем n
вхождений связок. Тогда достаточно доказать, что У1 верно, если
L⊃¬-формула А содержит в точности n вхождений связок и графи-
чески совпадает с формулой ¬С либо с формулой D ⊃ E.
,
81
Случай 1. Пусть L⊃¬-формула А содержит в точности n вхож-
2,3V
дений связок и графически совпадает с формулой ¬C.
(1) неверно, что У1 (допущение).
(2) $v$(¬C): v – оценка в M
ς,2
2,3V
φ0|¬C|
M
= 0 и |¬C|
v
M
2
v
(3) пусть φ0|¬C*|
≠ 0 (из (1)).
ς,2
2,
V
M
3
*
v
ς,2
и ¬C – L⊃¬-формула такие, что
= 0 и |¬C*|
2
≠ 0 (из (2), исключение
*Mv
кванторов).
ς,2
2,
V
M
(4) φ0|¬C*|
(5) |¬C*|
(6) |C*|
3
= 0 (из (3)).
*
v
ς,2
2,
V
M
3
∈ {½, 0} (из (4), в силу определения φ0).
*
v
ς,2
2,
V
M
3
= 1 (из (5), в силу определений ¬z и значения
*
v
L⊃¬-формулы).
(7) C* есть пропозициональная переменная α, или ¬D, или E ⊃ F,
где D, E, F – L⊃¬-формулы (в силу того, что C* есть L⊃¬-формула).
(8) C* есть пропозициональная переменная α (допущение).
(9) v*(α) = 1 (из (8), (6)).
(10) *v(α) = 1 (из (9), по определениюv).
(11) |C*|
(12) |¬C*|
2
= 1 (из (10), (8)).
*Mv
2
= 0 (из (11), в силу определений ¬
*Mv
и значения
2
L⊃¬-формулы).
(13) |¬C*|
2
≠ 0 (из (3)).
*Mv
(14) неверно, что (6) (из (13), (3)).
(15) C* есть ¬D или E ⊃ F, где D, E, F – L⊃¬-формулы (из (14), (7)).
(16) C* есть L⊃¬-формула ¬D (допущение).
ς,2
2,
V
M
(17) |¬D|
(18) |D|
3
= 1 (из (16), (6)).
*
v
ς,2
2,
V
M
3
∈ {½, 0} (из (6), в силу определений ¬z и значения
*
v
L⊃¬-формулы).
82
2,
V
ς,2
M
(19) φ0|D|
(20) |D|
(21) |¬D|
3
= 0 (из (18), в силу определения φ0).
*
v
2
= 0 (из (19), по индуктивному допущению).
*Mv
2
= 1 (из (20), в силу определений ¬
*Mv
L⊃¬-формулы).
(22) |C*|
(23) |¬C*|
2
= 1 (из (21), (17)).
*Mv
2
= 0 (из (22), в силу определений ¬
*Mv
L⊃¬-формулы).
(24) неверно, что (15) (из (23), (13)).
и значения
2
и значения
2
(25) C* есть L⊃¬-формула E ⊃ F (из (24),(15)).
ς,2
2,
V
M
(26) |E ⊃ F|
(27) |E|
3
= 1 (из (25), (6)).
*
v
ς,2
2,
V
M
3
∈ {½, 0} или |F|
*
v
ς,2
2,
V
M
3
= 1 (из (26), в силу определе-
*
v
ний ⊃z и значения L⊃¬-формулы).
ς,2
2,
V
M
(28) |E|
(29) φ0|E|
(30) |E|
(31) |E ⊃ F|
3
∈ {½, 0} (допущение).
*
v
ς,2
2,
V
M
3
= 0 (из (28), в силу определения φ0).
*
v
2
= 0 (из (29), по индуктивному допущению).
*Mv
2
= 1 (из (29), в силу определений ⊃
*Mv
L⊃¬-формулы).
(32) |C*|
(33) |¬C*|
2
= 1 (из (32), (25)).
*Mv
2
= 0 (из (32), в силу определений ¬
*Mv
L⊃¬-формулы).
(34) неверно, что (28) (из (33), (13)).
ς,2
2,
V
M
(35) |F|
(36) |¬F|
3
= 1 (из (34), (27)).
*
v
ς,2
2,
V
M
3
= 0 (из (35), в силу определений ⊃z и значения
*
v
L⊃¬-формулы).
ς,2
2,
V
M
(37) φ0|¬F|
3
= 0 (их (36), в силу определения φ0).
*
v
и значения
2
и значения
2
83
(38) формула ¬F содержит (n – 1) связок, следовательно, к ней
2,3V
применимо индуктивное допущение.
(39) |¬F|
(40) |F|
2
= 0 (из (37), по индуктивному допущению).
*Mv
2
= 1 (из (39), в силу определений ¬
*Mv
и значения
2
L⊃¬-формулы).
(41) |E ⊃ F|
2
= 1 (из (40), в силу определений ⊃
*Mv
и значения
2
L⊃¬-формулы).
(42) |C*|
(43) |¬C*|
2
= 1 (из (41), (25)).
*Mv
2
= 0 (из (42), в силу определений ¬
*Mv
и значения
2
L⊃¬-формулы).
(44) неверно, что (23) (из (43), (13)).
(45) неверно, что (6) (из (44), (24), (8)).
(46) неверно, что (1) (из (7), (45)).
Случай 2. Пусть L⊃¬-формула А содержит в точности n вхождений связок и графически совпадает с формулой D ⊃ E. Докажем,
что У1 выполняется для А.
(1) неверно, что У1 (допущение).
(2) $v$(D ⊃ E): v – оценка в M
кие, что φ0|¬D ⊃ E |
ς,2
2,3V
M
= 0 и |D ⊃ E |
v
(3) пусть φ0|D* ⊃ E*|
ς,2
2,
V
M
3
= 0 и |D*⊃ E*|
*
v
ς,2
и D ⊃ E – L⊃¬-формула та-
M
2
≠ 0 (из (1)).
v
2
≠ 0 (из (2), исклю-
*Mv
чение кванторов).
ς,2
2,
V
M
(4) φ0|D* ⊃ E*|
(5) |D* ⊃ E*|
(6) |D* ⊃ E*|
ς,2
V
M
(7) |D*|
3
*
v
ς,2
V
M
3
*
v
2
*Mv
2,
⊃z |E*|
3
= 0 (из (3)).
*
v
2,
∈ {½, 0} (из (4), в силу определения φ0).
≠ 0 (из (3)).
2,
V
ς,2
M
3
∈ {½, 0} (из (5), в силу определения
*
v
значения L⊃¬-формулы).
84
(8) |D*|
V
M
3
= 1 и |E*|
*
v
2,
V
M
3
∈ {½, 0} (из (7) , в силу определе-
*
v
ς,2 ς,2
2,
ния ⊃z).
(9) |D*|
2
⊃2 |E*|
*Mv
2
≠ 0 (из (6), в силу определения значения
*Mv
L⊃¬-формулы).
(10) |D*|
(11) |E*|
M
v
(12) φ0|E*|
(13) |E*|
(14) |D*|
(15) |D*|
2
= 0 или |E*|
*Mv
ς,2
2,
V
3
∈ {½, 0} (из (7)).
*
ς,2
2,
V
M
3
= 0 (из (1), в силу определения φ0).
*
v
2
= 0 (из (11), в силу индуктивного допущения).
*Mv
2
= 0 (из (13), (10)).
*Mv
ς,2
2,
V
M
3
= 1 (из (8)).
*
v
2
= 1 (из (9), в силу определения ⊃2).
*Mv
(16) D* есть пропозициональная переменная α, или ¬F,
или G ⊃ H, где F, G, H – L⊃¬-формулы (в силу того, что D* есть
L⊃¬-формула).
(17) D* есть пропозициональная переменная α (допущение).
(18) v*(α) = 1 (из (17), (15)).
(19) *v (α) = 1 (из (18), по определению v).
(20) |D*|
2
= 1 (из (19) и (17)).
*Mv
(21) неверно, что (15) (из (20), (14)).
(22) D* есть ¬F, или G ⊃ H, где F, G, H – L⊃¬-формулы
(из (21), (16)).
(23) D* есть формула ¬F (допущение).
ς,2
2,
V
M
(24) |¬F|
(25) ¬z|F|
3
= 1 (из (23), (15)).
*
v
ς,2
2,
V
M
3
= 1 (из (24), в силу определения значения
*
v
L⊃¬-формулы).
ς,2
2,
V
M
(26) |F|
3
∈ {½, 0} (из (25), в силу определения ¬z).
*
v
85
ς,2
2,
V
M
(27) φ0|F|
(28) |F|
(29) |¬F|
3
= 0 (из (26), в силу определения φ0).
*
v
2
= 0 (из (25), по индуктивному допущению).
*Mv
2
= 1 (из (28), в силу определений ¬
*Mv
L⊃¬-формулы).
(30) |D*|
2
= 1 (из (29), (23)).
*Mv
(31) неверно, что (21) (из (30), (14)).
и значения
2
(32) D* есть формула G ⊃ H (из (31), (22)).
ς,2
2,
V
M
v
M
ς,2
V
3
*
3
= 1 (из (32), (15)).
*
v
2,
⊃z |H|
ς,2
2,
V
M
3
*
v
= 1 (из (33), в силу определения значения
(33) |G ⊃ H|
(34) |G|
L⊃¬-формулы).
(35) |G|
2,
V
M
3
∈ {½, 0} или |H|
*
v
ς,2ς,2
2,
V
M
3
= 1 (из (34), в силу определе-
*
v
ния ⊃z).
ς,2
2,
V
M
(36) |G|
(37) φ0 |G|
(38) |G|
(39) |G ⊃ H|
3
∈ {½, 0} (допущение).
*
v
ς,2
2,
V
M
3
= 0 (из (36), в силу определения φ0).
*
v
2
= 0 (из (37), в силу индуктивного допущения).
*Mv
2
= 1 (из (38), в силу определений ⊃
*Mv
и значения
2
L⊃¬-формулы).
(40) |D*|
2
= 1 (из (39), (32)).
*Mv
(41) неверно, что (33) (из (40), (14)).
ς,2
2,
V
M
(42) |H|
(43) |¬H|
3
= 1 (из (41), (36)).
*
v
ς,2
2,
V
M
3
= 0 (из (42), в силу определений ¬z и значения
*
v
L⊃¬-формулы).
ς,2
2,
V
M
(44) φ0|¬H|
3
= 0 (из (43), в силу определения φ0).
*
v
(45) формула ¬H содержит не более (n – 1) связок, следовательно, к ней применимо индуктивное допущение.
(46) |¬H|
86
2
= 0 (из (45), (44)).
*Mv
(47) |H|
2,3V
2
M
v
2
= 1 (из (45), в силу определений ¬
*Mv
и значения
2
L⊃¬-формулы).
(48) |G ⊃ H|
2
= 1 (из (47), в силу определений ⊃
*Mv
и значения
2
L⊃¬-формулы).
(49) |D*|
2
= 1 (из (48), (32)).
*Mv
(50) неверно, что (29) (из (49), (14)).
(51) неверно, что (17) (из (51), (31), (21)).
(52) неверно, что (1) (из (51), (16)).
Утверждение У1 доказано.
Докажем У2. Для этого необходимо и достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 5.
∀v: Если v – оценка в M2, то v – оценка в M
ς,2
и ∀A: |A|
ς,2
M
v
Доказательство данной леммы строится индукцией по длине
формулы, аналогично доказательству Леммы 3.
Таким образом, теорема 6 доказана.
Теорема 7.
Пусть M
оценка в M2, и A – L⊃¬-формула, и |A|
w,2
2,3w
в M
и |A|
2,3w
∈ {
w,2
2,
w
M
3
= 0.
v
'
e,2w,2
2,3e
M ,
2,3f
M ,
g,2 h,2f,2
2,3g
M ,
M
2
v
2,3h
M }. Тогда $v$A: v –
= 0, е.т.е. $v’: v’ – оценка
Чтобы доказать Теорему 7, достаточно доказать следующие
утверждения:
w,2
У1. ∀v∀A: если v – оценка в M
2,3w
w,2
M
|A|
v
= 0, то |A|
У2. ∀v∀A: если v – оценка в M2 и A – L⊃¬-формула, то если
|A|
= 0, то |A|
M
2
= 0.
v
w,2
2,3w
M
= 0.
v
2,3w
и A – L⊃¬-формула, то если
2,3V
= |A|
M
2
.
v
87
Докажем У1 индукцией по длине L⊃¬-формулы.
Пусть У1 верно для формул, которые содержат менее, чем n
вхождений связок. Тогда достаточно доказать, что У1 верно, если
L⊃¬-формула А содержит в точности n вхождений связок и графи-
чески совпадает с формулой ¬С либо с формулой D ⊃ E.
Случай 1. Пусть L⊃¬-формула А содержит в точности n вхождений связок и графически совпадает с формулой ¬C.
(1) неверно, что У1 (допущение).
w,2
(2) $v$(¬C): v – оценка в M
что |¬C|
(3) пусть |¬C*|
2,3w
w,2
M
v
= 0 и |¬C|
M
*
v
M
2
v
w,2
2,
w
3
= 0 и |¬C*|
торов).
w,2
2,
w
M
(4) |¬C*|
(5) |C*|
3
= 0 (из (3)).
*
v
2,
w
w,2
M
3
= 1 (из (4), в силу определений ¬ω и значения
*
v
≠ 0 (из (1)).
2,3w
и ¬C – L⊃¬-формула такие,
2
≠ 0 (из (2), исключение кван-
*Mv
L⊃¬-формулы).
(6) C* есть пропозициональная переменная α, или ¬D,
или E ⊃ F, где D, E, F – L⊃¬-формулы (В силу того, что C* есть
L⊃¬-формула).
(7) C* есть пропозициональная переменная α (допущение).
(8) v*(α) = 1 (из (7), (5)).
(9) v(α) = 1 (из (8), по определениюv).
(10) |C*|
(11) |¬C*|
L⊃¬-формулы).
(12) |¬C*|
2
= 1 (из (9), (7)).
*Mv
2
= 0 (из (10), в силу определений ¬
*Mv
2
≠ 0 (из (3)).
*Mv
и значения
2
(13) неверно, что (6) (из (12), (3)).
(14) C* есть ¬D или E ⊃ F, где D, E, F – L⊃¬-формулы (из (13), (6)).
88
(15) C* есть L⊃¬-формула ¬D (допущение).
*Mv
w,2
2,
w
M
(16) |¬D|
(17) |D|
3
= 1 (из (15), (5)).
*
v
w,2
2,
w
M
3
= 0 (из (5), в силу определений ¬ω и значения
*
v
L⊃¬-формулы).
(18) |D|
(19) |¬D|
L⊃¬-формулы).
(20) |C*|
(21) |¬C*|
L⊃¬-формулы).
2
= 0 (из (17), по индуктивному допущению).
*Mv
2
= 1 (из (18), в силу определений ¬
*Mv
2
= 1 (из (19), (15)).
2
= 0 (из (20), в силу определений ¬
*Mv
(22) неверно, что (15) (из (21), (12)).
и значения
2
и значения
2
(23) C* есть L⊃¬-формула E ⊃ F (из (22), (14)).
w,2
2,
w
M
(24) |E ⊃ F|
(25) |E|
3
= 1 (из (23), (5)).
*
v
w,2 w,2
2,
w
M
3
= 0 или |F|
*
v
2,
w
M
3
= 1 (из (24), в силу определений ⊃
*
v
и значения L⊃¬-формулы).
w,2
2,
w
M
(26) |E|
(27) |E|
(28) |E ⊃ F|
L⊃¬-формулы).
(29) |C*|
(30) |¬C*|
L⊃¬-формулы).
3
= 0 (допущение).
*
v
2
= 0 (из (26), по индуктивному допущению).
*Mv
2
= 1 (из (27), в силу определений ⊃
*Mv
2
= 1 (из (28), (23)).
*Mv
2
= 0 (из (29), в силу определений ¬
*Mv
(31) неверно, что (26) (из (30), (12)).
w,2
2,
w
M
(32) |F|
(33) |¬F|
3
= 1 (из (31), (25)).
*
v
w,2
2,
w
M
3
= 0 (из (32), в силу определений ¬ω и значения L⊃¬-
*
v
формулы).
и значения
2
и значения
2
ω
89
(34) формула ¬F содержит (n – 1) связок, следовательно, к ней
применимо индуктивное допущение.
(35) |¬F|
(36) |F|
L⊃¬-формулы).
(37) |E ⊃ F|
L⊃¬-формулы).
(38) |C*|
(39) |¬C*|
L⊃¬-формулы).
2
= 0 (из (33), по индуктивному допущению).
*Mv
2
= 1 (из (35), в силу определений ¬
*Mv
2
= 1 (из (36), в силу определений ⊃
*Mv
2
= 1 (из (37), (23)).
*Mv
2
= 0 (из (38), в силу определений ¬
*Mv
и значения
2
и значения
2
и значения
2
(40) неверно, что (23) (из (39), (12)).
(41) неверно, что (6) (из (40), (22), (7)).
(42) неверно, что (1) (из (6), (41)).
Случай 2. Пусть L⊃¬-формула А содержит в точности n вхождений связок и графически совпадает с формулой D ⊃ E. Докажем,
что У1 выполняется для А.
(1) неверно, что У1 (допущение).
w,2
(2) $v$(D ⊃ E): v – оценка в M
что |¬D ⊃ E |
(3) пусть |D* ⊃ E*|
w,2
2,3w
M
= 0 и |D ⊃ E |
v
M
v
ние кванторов).
w,2
2,
w
M
w,2
2,
w
3
3
*
v
2
≠ 0 (из (3)).
*Mv
⊃ω |E*|
= 0 (из (3)).
M
*
v
(4) |D* ⊃ E*|
(5) |D* ⊃ E*|
(6) |D*|
M
*
v
w,2
2,
w
3
= 0 и |D* ⊃ E*|
*
w,2
2,
w
3
= 0 (из (4), в силу определения значения
2,3w
и D ⊃ E – L⊃¬-формула такие,
M
2
≠ 0 (из (1)).
v
2
≠ 0 (из (2), исключе-
*Mv
L⊃¬-формулы).
w,2 w,2
2,
(7) |D*|
w
M
3
*
v
= 1 и |E*|
2,
w
M
3
= 0 (из (6) , в силу определения ⊃ω).
*
v
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]