Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Трехзначные семантики для классической логики высказываний
.pdf
(33) |¬C*|
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
M
v
3
M
v
(34) |¬C*|
L⊃¬-формулы).
(35) |C*|
M
v*
(36) φ0|C*|
(37) φ0|C*|
M
2
= 1 (из 29).
v*
M
2
= ¬2|C*|
v*
2
= 0 (из (33), (34), по определению ¬2).
= |C*|
M
2
(по определению значения
v*
M
2
(индуктивное допущение).
v*
= 0 (из (35) и (36)).
(38) |C*|
(39) пусть |C*|
∈ {½, 0} (из (37), по определению φ0).
= x и |¬C*|
= y. Верно следующее:
x, y ∈ {½, 0} и ¬3 x = y (из (31), (32), (38) и того факта, что ¬3 есть
унарная операция, заданная на {1, ½, 0}).
(40) ∀z: если z ∈ {½, 0}, то ¬3z ∈ {½, 0} или $z: z ∈ {½, 0} и ¬3z = 1
(из (39) и того факта, что ¬3 есть унарная операция, заданная на
{1, ½, 0}).
(41) ∀z: если z ∈ {½, 0}, то ¬3z ∈ {½, 0} (допущение).
(42) пусть формула F не выполнима в M
2
(43) формула F не выполнима в M3 (из (2), по Лемме 2.1).
(44) формула ¬F общезначима в M2 (из (40), в силу определений
операции ¬2, выполнимой формулы и общезначимой формулы).
(45) формула ¬F общезначима в M3 (из (2), по Лемме 2.1).
(46) ∀v: если v – оценка в M3, то |F|
∈ {½, 0} (из (41) по
определению выполнимой формулы).
(47) ∀v: если v – оценка в M3, то |(¬F)|
∈ {½, 0} (из (41), (46),
по определению значения L⊃¬-формулы).
(48) неверно, что (41) (из (45), (47), по определению
общезначимой формулы).
(49) $z: z ∈ {½, 0} и ¬3z = 1 (из (48), (40)).
31
(50) в силу того, что ¬3 есть унарная операция, заданная на
3
M
3
M
3
M
v
3
M
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
3
M
v
3
M
2
M
3
M
3
M
v
{1, ½, 0}, и пунктов (49), (40) настоящего доказательства, операция
¬3 задается одной из следующих таблиц:
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
1 0 0 0 0 ½ ½ ½ ½
½ ½ 0 1 1 ½ 0 1 1
0 1 1 ½ 0 1 1 ½ 0
Однако, в случаях (b), (c), (f), (g), неверно, что ¬¬p╞
случаях (d), (e) неверно, что p╞
Пусть v(p) = 0. Тогда |¬p|
= 0. Чтобы имело место ╞
¬¬p. Рассмотрим случай (h).
необходимо, чтобы x ⊃3 x = 1. Следовательно, |¬p ⊃ p |
силу определения φ0, φ0|¬p ⊃ p |
M
получаем: |¬p ⊃ p |
разом, остается единственный вариант отрицания – (a).
2
= 0. Противоречие с пунктом (26). Таким об-
v
= 1. Однако v(0) = 0. Отсюда
p. В
(p ⊃ p),
= 1. В
(51) рассмотрим формулу (p ⊃ ¬p) ⊃ ¬(¬p ⊃ p). v(p) = ½. Тогда
|¬p|
Если 1 ⊃3 0 = 1, неверно, что p, p ⊃ q╞
пункту (2). Таким образом, |(p ⊃ ¬p) ⊃ ¬(¬p ⊃ p)|
Следовательно, неверно, что ╞
= ½. Так как x ⊃3 x = 1, |p ⊃ ¬p|
(p ⊃ ¬p) ⊃ ¬(¬p ⊃ p). Вновь
= 1 и |¬(¬p ⊃ p)|
q, что противоречит
= 0.
≠ 1.
получаем противоречие с пунктом (2).
(52) не существует такой унарной операции ¬
на {1, ½, 0}, что
3
x, y ∈ {½, 0} и ¬3 x = y (из (51), (50)).
(53) неверно, что (1) (из (52), (41)).
Случай 2. Пусть L⊃¬-формула А содержит в точности n вхож-
дений связок и графически совпадает с формулой D ⊃ E. Докажем,
что У1 выполняется для А.
(1) неверно, что У1 (допущение).
(2) Г╞
В е.т.е. Г╞
В (из (1)).
(3) неверно, что ∀(D ⊃ E)∀v: если (D ⊃ E) есть L⊃¬-формула и
v – оценка в M3, то φ0|(D ⊃ E)|
= |(D ⊃ E)|
M
2
(из (1)).
v
32
(4) $(D ⊃ E)$v: (D ⊃ E) есть L⊃¬-формула, v – оценка в M3 и
3
M
v
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
2
M
3
M
3
*Mv
φ0|(D ⊃ E)|
≠ |(D ⊃ E)|
M
2
(из (3)).
v
(5) пусть (D* ⊃ E*) и v* есть такие, соответственно,
L⊃¬-формула и оценка в M3, что φ0|(D* ⊃ E*)|
≠ |(D* ⊃ E*)|
(4), исключение кванторов).
M
(6) (φ0|(D* ⊃ E*)|
(φ0|(D* ⊃ E*)|
= 1 и |(D* ⊃ E*)|
= 0 и |(D* ⊃ E*)|
M
2
= 1) (из (5) и того факта, что v*
v*
2
= 0) или
v*
и v* суть оценки в соответствующих матрицах).
M
(7) φ0|(D* ⊃ E*)|
(8) |(D* ⊃ E*)|
(9) |(D* ⊃ E*)|
L⊃¬-формулы).
(10) |D*|
M
v*
(11) φ0|D*|
щение).
M
2
= 0 (из (7)).
v*
M
2
= |D*|
v*
2
= 1 и |E*|
= |D*|
= 1 и |(D* ⊃ E*)|
M
2
⊃2 |E*|
v*
M
2
= 0 (из (8), (9), по определению ⊃2).
v*
M
2
и φ0|E*|
v*
2
= 0 (допущение).
v*
M
2
(по определению значения
v*
M
= |E*|
2
(индуктивное допу-
v*
M
v*
2
(из
(12) φ0|D*|
(13) |D*|
(14) φ0|(D* ⊃ E*)|
(15) |(D* ⊃ E*)|
(16) D*, D* ⊃ E*╞
(17) D*, D* ⊃ E*╞
= 1 и φ0|E*|
= 1 и |E*|
= 1 (из (14), по определению φ0).
= 0 (из (10), (11)).
∈ {½, 0} (из (12), по определению φ0).
= 1 (из (7)).
E*
E* (из (16) и (2)).
(18) при оценке v* D* и D* ⊃ E* принимают выделенное
значение, а E* – нет. Следовательно, неверно, что (17) (из (13), (15)
и определения отношения логического следования).
(19) неверно, что (7). (из (17) и (18)).
M
(20) φ0|(D* ⊃ E*)|
= 0 и |(D* ⊃ E*)|
2
= 1 (из (6), (19)).
v*
33
(21) |(D* ⊃ E*)|
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
2
M
2
M
3
M
3
**Mv
3
*Mv
3
*Mv
(22) |D*|
L⊃¬-формулы).
(23) |D*|
M
v*
(24) пусть |E*|
(25) φ0|E*|
(26) φ0|E*|
M
2
= 1 (из (20)).
v*
M
2
⊃2 |E*|
v*
2
= 0 или |E*|
M
2
v*
M
2
= 1 (допущение).
v*
M
= |E*|
2
v*
= 1 (из (24), (25)).
= 1 (из (21), по определению значения
M
2
= 1 (из (22), по определению ⊃2).
v*
(индуктивное допущение).
(27) |E*|
(28) φ0|(D* ⊃ E*)|
(29) |(D* ⊃ E*)|
(30) |D*|
= 1 (из (26), по определению φ0).
= 0 (из (20)).
∈ {½, 0} (из (28), по определению φ0).
⊃3 |E*|
∈ {½, 0} (из (30), по определению
значения L⊃¬-формулы).
(31) $z(z ∈ {1, ½, 0} и z ⊃
(32) пусть╞
G.
1 ∈ {½, 0}) (из (27), (30)).
3
(33) пусть α есть пропозициональная переменная языка L⊃¬.
(34) ╞
(35) ╞
α ⊃ G (из (32)).
α ⊃ G (из (2)).
(36) пусть v** оценка в М3, такая что v**(α) = z. Тогда
|α ⊃ G|
∈ {½, 0} (из (31)).
(37) неверно, что (35) (из (36) по определению общезначимой
формулы).
(38) неверно, что (24) (из (37) и (35)).
M
(39) |D*|
(40) φ0|D*|
2
= 0 (из (23), (38)).
v*
= 0 (индуктивное допущение).
(41) |D*|
∈ {½, 0} (из (40)).
34
(42) $z1$z2(z1, z2 ∈ {½, 0} и z1 ⊃3 z2 ∈ {½, 0}) (из (27), (30)).
2
M
3
M
3
**Mv
3
**Mv
3
**Mv
3
**Mv
3
**Mv
3
**Mv
(43) ╞
¬α ⊃ (α ⊃ β), где α и β – пропозициональные
переменные языка L⊃¬ (в силу определения M2).
(44) ╞
¬α ⊃ (α ⊃ β) (из (43), (2)).
(45) пусть v** оценка в М3, такая что v**(α) = z1, v**(β) = z2.
(46) |α ⊃ β|
(47) |α|
(48) ¬3|α|
∈ {½, 0} (из (45), (42)).
∈ {½, 0} (из (45), (42) и определения 0-замещения).
= 1 (из (47), в силу Случая 1 настоящего
доказательства).
(49) |¬α|
(50) |α ⊃ β|
= 1 (из (48), по определению значения L⊃¬-формулы).
2
= 0 (из (49), (45), (42), в силу определений ⊃2 и
**Mv
0-замещения).
(51) |¬α|
2
= 1 (из (49), (45), (42), в силу определений ¬2 и
**Mv
0-замещения).
(52) |(¬α) ⊃ (α ⊃ β)|
2
= 0 (из (50), (51) , по определению ⊃2 и
**Mv
по определению значения L⊃¬-формулы).
(53) φ0|(¬α) ⊃ (α ⊃ β)|
(54) |(¬α) ⊃ (α ⊃ β)|
= 0 (из (52), (19)).
∈ {½, 0} (из (53), по определению
0-замещения).
(55) неверно, что (44) (из (51) по определению общезначимой
формулы).
(56) неверно, что (1) (из (55), (44)).
У1 доказано.
35
Докажем У2.
3
M
v
2
M
v
�
2
M
3
M
2
M
3
M
3
M
2
M
2
M
3
M
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
(1) неверно, что У2 (допущение).
(2) ∀А∀v: если А есть L⊃¬-формула и v – оценка в M3,
то φ0|A|
= |A|
(из (1)).
(3) неверно, что Г╞
(4) $Г$В: Г╞
неверно, что Г╞
(5) $Г$В: Г╞
В (из (3)).
В е.т.е. Г╞
В и неверно, что Г╞
В и неверно, что Г╞
В (из (1)).
В или $Г$В: Г╞
В (допущение).
В и
(6) для каждой оценки в M2, для каждых Г и B верно, что,
если каждая формула из Г принимает выделенное значение, то B
принимает выделенное значение при этой оценке (из (2)).
(7) найдется такая оценка в M3, множество посылок Г и
заключение B, что все формулы из Г примут выделенное значение
и B примет невыделенное значение (из (2)).
(8) пусть v* – оценка в M3 и ∀A: если A ∈ Г*, то |A|
и |B*|
∈ {½, 0} (из (7), исключение кванторов).
(9) ∀A: если A ∈ Г*, то |A|
(10) ∀A: если A ∈ Г*, то φ0|A|
(11) ∀A: если A ∈ Г*, то |A|
(12) если ∀A: если A ∈ Г*, то |A|
= 1 (из (8)).
= 1 (из (9), по определению φ0).
2
= 1 (из (10), (2)).
*Mv
*Mv
2
= 1, то |B*|
2
= 1 (из (3),
*Mv
= 1
исключение квантора).
(13) |B*|
(14) |B*|
2
= 1 (из (12), (11)).
*Mv
∈ {½, 0} (из (8)).
(15) φ0|B*|
(16) |B*|
= 0 (из (14), по определению φ0).
2
= 0 (из (15), (2)).
*Mv
(17) неверно, что (5) (из (16), (13)).
36
(18) $Г$В: Г╞
3
M
2
M
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
3
*Mv
2
M
3
M
В и неверно, что Г╞
В (из (17), (3)).
(19) для каждой оценки в M3, для каждых Г и B верно, что,
если каждая формула из Г принимает выделенное значение, то B
принимает выделенное значение при этой оценке (из (18)).
(20) найдется такая оценка в M2, множество посылок Г и
заключение B, что все формулы из Г примут выделенное значение
и B примет невыделенное значение (из (18)).
(21) пусть v* – оценка в M2 и ∀A: если A ∈ Г*, то |A|
2
|B*|
= 0 (из (20), исключение кванторов).
*Mv
(22) ∀A: если A ∈ Г*, то |A|
(23) ∀A: если |A|
2
= 1, то |A|
*Mv
2
= 1 (из (21)).
*Mv
2
= 1 (из (12), по определению φ0).
*Mv
(24) ∀A: если A ∈ Г*, то φ0|A|
= 1 (из (22), (23), (2)).
2
= 1 и
*Mv
(25) ∀A: если A ∈ Г*, то |A|
(26) |B*|
(27) φ0|B*|
(28) |B*|
(29) |B*|
= 1 (из (25), (19)).
= 1 (из (26), по определению φ0).
2
= 1 (из (27), (2)).
*Mv
2
= 0 (из (21)).
*Mv
= 1 (из (24), по определению φ0).
(30) неверно, что (1) (из (26), (25)).
У2 доказано. Теорема доказана.
Благодаря доказанной выше теореме, мы можем сформулиро-
вать определение матрицы M3, отвечающей следующим условиям: L⊃¬-формула А общезначима в M3 е.т.е. А общезначима в M2
и Г╞
В, е.т.е. Г╞
В.
37
Лемма 2.2.
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
Рассмотрим логическую матрицу M3 = <{1, ½, 0}, ⊃3, ¬3, {1}>.
∀А∀v: если А есть L⊃¬-формула и v – оценка в M3, то φ0|A|
тогда и только тогда, когда ⊃3 и ¬3 отвечают следующим условиям:
x ⊃
y ≠ 1 е.т.е x = 1 и y ≠ 1;
3
= |A|
M
2
v*
¬3 x = 1 е.т.е x ≠ 1.
Пусть ⊃3 и ¬3 отвечают условиям Леммы. Докажем индукцией
по построению формулы, что ∀А∀v: если А есть L⊃¬-формула и
v – оценка в M3, то φ0|A|
M
Пусть φ0|A|
менее, чем n вхождений связок. Тогда достаточно доказать, что утверж-
= |A|
2
имеет место для формул, которые содержат
v*
= |A|
M
2
.
v*
дение верно, если L⊃¬-формула А содержит в точности n вхождений
связок и графически совпадает с формулой ¬С либо с формулой D ⊃ E.
Случай 1. Пусть L⊃¬-формула А содержит в точности n вхож-
дений связок и графически совпадает с формулой ¬C.
M
(1) φ0|¬C|
(2) (φ0|¬C|
≠ |¬C|
= 0 и |¬C|
(1), по определению φ0 и определению оценки в M2).
(3) φ0|¬C|
(4) |¬C|
(5) ¬2|C|
(6) |C|
(7) φ0|C|
(8) φ0|C|
= 0 и |¬C|
M
2
= ¬2|C|
v*
M
2
= 1 (из (4), (3)).
v*
M
2
= 0 (из (5), по определению ¬2).
v*
= |C|
= 0 (из (7), (6)).
2
(допущение).
v*
M
2
= 1) или (φ0|¬C|
v*
M
2
= 1 (допущение).
v*
M
2
(по определению значения L⊃¬-формулы).
v*
M
2
(индуктивное допущение).
v*
= 1 и |¬C|
M
v*
2
= 0) (из
,
(9) |C|
(10) ¬3|C|
(11) ¬3|C|
∈ {½, 0} (из (8), по определению φ0).
= 1 (из (9), по определению ¬3).
= |¬C|
(из (10), по определению значения
L⊃¬-формулы).
38
(12) |¬C|
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
= 1 (из (11), (10)).
(13) φ0|¬C|
(14) φ0|¬C|
= 1 (из (12), по определению φ0).
= 0 (из (3)).
(15) неверно, что (3) (из (14), (13)).
M
(16) φ0|¬C|
(17) ¬2|C|
M
(18) |C|
2
v*
(19) φ0|C|
(20) |C|
(21) ¬3|C|
(22) |¬C|
(23) φ0|¬C|
(24) φ0|¬C|
= 1 и |¬C|
M
2
= 0 (из (16), (4)).
v*
= 1 (из (17)).
= 1 (из (18), (7)).
= 1 (из (19), по определению φ0).
∈ {½, 0} (из (20), по определению ¬3).
∈ {½, 0} (из (21), (11)).
= 0 (из (22), по определению φ0).
= 1 (из (16)).
2
= 0 (из (15), (2)).
v*
(25) неверно, что (1).
Случай 2. Пусть L⊃¬-формула А содержит в точности n вхож-
дений связок и графически совпадает с формулой D ⊃ E. Докажем,
что утверждение (i) выполняется для А.
M
(1) φ0|D ⊃ E|
(2) (φ0|D ⊃ E|
и |D ⊃ E|
M
v*
(3) φ0|D ⊃ E|
(4) φ0|D ⊃ E|
≠ |D ⊃ E|
= 0 и |D ⊃ E|
2
= 0) (из (1), по определению φ0 и определению оценки в M2).
= 0 и |D ⊃ E|
= 0 (из (3)).
2
(допущение).
v*
M
2
v*
M
2
= 1 (допущение).
v*
= 1) или (φ0|D ⊃ E|
= 1
(5) |D ⊃ E|
(6) |D ⊃ E|
∈ {½, 0} (из (4), по определению φ0).
= |D|
⊃3 |E|
(по определению значения
L⊃¬-формулы).
39
(7) |D|
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
3
M
v
⊃3 |E|
∈ {½, 0} (из (6), (5)).
(8) |D|
(9) φ0|D|
(10) |D|
(11) φ0|E|
(12) |E|
(13) |D|
(14) |D ⊃ E|
L⊃¬-формулы).
(15) |D ⊃ E|
= 1 и |E|
∈ {½, 0} (из (7)).
= 1 (из (8), по определению φ0).
M
2
= 1 (из (9), в силу индуктивного допущения).
v*
= 0 (из (8), по определению φ0).
M
2
= 0 (из (11), в силу индуктивного допущения).
v*
M
v*
2
⊃2|E|
M
v*
M
2
= 0 (из (12), (10), по определению ¬2).
v*
M
2
= 0 (из (13), по определению значения
v*
2
= 1 (из (3)).
(16) неверно, что (3) (из (15), (14)).
(17) φ0|D ⊃ E|
(18) |D ⊃ E|
M
(19) |D|
(20) |D|
2
⊃2|E|
v*
M
2
= 1 и |E|
v*
(21) φ0|D|
(22) |D|
= 1 (из (21), по определению φ0).
= 1 и |D ⊃ E|
M
2
= 0 (из (17)).
v*
M
2
= 0 (из (18)).
v*
M
2
= 0 (из (19), по определению ¬2).
v*
= 1 (из (20), в силу индуктивного допущения).
M
2
= 0 (из (16), (2)).
v*
(23) φ0|E|
(24) |E|
(25) |D|
(26) |D ⊃ E|
(27) φ0|D ⊃ E|
(28) φ0|D ⊃ E|
= 0 (из (21), в силу индуктивного допущения).
∈ {½, 0} (из (23), по определению φ0).
⊃3 |E|
∈ {½, 0} (из (24), (22), по определению ⊃3).
∈ {½, 0} (из (25), (6)).
= 0 (из (26), по определению φ0).
= 1 (из (17)).
(29) неверно, что (1) (из (27), (28)).
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]