Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория обработки металлов давлением. Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов 3 курса очного и 4 курса очно-заочной форм об
.pdf
61
Библиографический список
1. Шевакин, Ю.Ф. Обработка металлов давлением [Текст]/ Ю.Ф.Шевакин,
[и др.] – М.: Интермет Инжиниринг, 2005. – 496 с.
2. Колбасников, Н.Г. ТОМД. Физические основы прочности и пластично-
сти металлов. [Текст]: учеб. пособие / Н.Г. Колбасников. – СПб: СПбГПУ. 2004.
– 268 с.
3. Сторожев, М.В. Теория обработки металлов давлением. [Текст]/ М.В.
Сторожев, Е.А. Попов. – М.: Машиностроение. 1971. – 424 с.
4. Громов, Н.П. Теория обработки металлов давлением. [Текст]: учебник /
Н.П. Громов. – М.:Металлургия. 1978. – 360 с.
62
Приложение
Методические рекомендации по статистической обработке эксперимен-
тальных результатов
Общие положения
Измерению величин при экспериментальных исследованиях всегда сопутствуют ошибки, которые следует оценивать и по возможности устранять из
результатов. Обработку результатов исследований при наличии ошибок необходимо производить в соответствии с методами математической статистики,
которая дает объективные способы устранения ошибок и оценки точности и
достоверности получаемых результатов. Кроме того методы математической
статистики позволяют определять по экспериментальным данным наличие связи между исследуемыми величинами и устанавливать эту связь, если она имеется.
Целью работы является освоение и практическое применение основных
понятий математической статистики, определение оценок математического
ожидания, коэффициентов корреляции, линейной регрессии и доверительных
интервалов, которые в значительной мере применяются в дальнейших лабораторных работах по курсу ОМД.
Оценка ошибки измерений (расчетов)
Мы всегда имеем дело с величинами ρ, значения которых известны лишь
приближенно. Если значения измеряются экспериментально, то ошибки являются следствием ограниченной разрешающей способности прибора и погрешностей, появляющихся при преобразованиях сигналов в нем, т.е. ошибки вносятся приборной погрешностью. Если какая-либо величина моделируется и
значения ее вычисляются по математической модели, то погрешность складывается из:
погрешности модели, т.е. неточности математического описания;
погрешности метода решения (численного интегрирования, дифферен-
цирования и т.п.);
63
вычислительной погрешности, связанной с точностью представления
)(
n
n
n
x
x
xx
x
dttfxXXF )()()(
2
чисел в вычислительном устройстве.
Принято погрешность подразделять на абсолютную и относительную.
Если х – точное значение некоторой переменной, а хn – измеренное (или вычисленное, то абсолютной погрешностью называют величину Δ(хn) , про которую известно, что
│ хn – х│< Δ(хn), (1)
а относительная погрешность δ(хn) – такую, про которую можно утверждать,
что
, (2)
причем δ(хn) часто выражается в процентах.
Однако в большинстве случаев, особенно при обработке экспериментальных результатов, точного значения х нет вообще (из-за погрешностей измерения) и для оценки ошибок приходится использовать более сложные, чем (1) и
(2), математические зависимости.
Оценки среднего значения и разброса случайной величины
Полной характеристикой случайной величины Х2 является функция распределения
, (3)
где х – пробегает все значения на чистовой оси;
f(t) – плотность вероятности.
На практике функцию распределения (3) определить трудно, а иногда и
невозможно. Поэтому, если есть основания сделать некоторые предположения
о ее характере, то достаточно оценить параметры функции распределения. В
большинстве случаев ошибку измерения можно считать подчиняющейся нормальному распределению и характеризовать математическим ожиданием и
Х – есть случайная величина, если на испытаниях она принимает случайным образом значения из некоторого
множества
64
дисперсией. Чаще приходится пользоваться не математическим ожиданием и
n
i
i
x
n
X
1
1
2
1
2
)(
1
1
n
i
ix
Xx
n
S
2
x
S
дисперсией, а их выборочными оценками.
Допустим, что нужно оценить толщину партии листов, состоящей из
10 000 штук. Все 10 000 листов, для которых оценивается толщина (в общем
случае – совокупность всех N исследуемых на какой-либо признак объектов),
образуют генеральную совокупность. Если произвести измерения всех составляющих генеральную совокупность листов, то можно вычислить математическое ожидание и дисперсию толщины полосы (для данной партии).
Можно измерять не все 10 000 листов, а, например, 10 или 30 листов, выбранных случайным образом из 10 000, т.е. из генеральной совокупности. Эти
10 или 30 – вообще n (n<N, N – число объектов, образующих генеральную совокупность) листов образуют выборку, исследуя которую можно сделать некоторые выводы о статистических свойствах генеральной совокупности.
Известно, что оценкой математического ожидания X некоторой генеральной совокупности объекта N, определяемой по выборке объема n, n<N, является выборочное среднее X, вычисляемое по формуле
. (4)
Аналогично оценкой дисперсии является выборочная дисперсия, определяемая формулой
, (5)
где Sx – выборочное среднеквадратичное отклонение.
Эти оценки являются несмещенными (математическое ожидание оценки
равно определенному параметру), эффективными (дают наименьшую среднеквадратичную ошибку по сравнению с любыми другими оценками) и состоятельными (т.е. они сходятся, по вероятности, к оцениваемому параметру).
Доверительные интервалы и вероятности
Оценки X,
являются точечными и вследствие случайности выборки
недостаточно полно характеризуют изучаемую величину. На их основании нель-
65
зя ничего сказать о том, как изменятсяX,
2
x
S
n
tS
XX
n
tS
X
nxnx
2/;2/;
2
2/1,
2
2
2
2/,
2
n
x
x
n
x
X
Sn
X
Sn
2/;n
t
2
2/;n
X
2
2/1;n
X
2
х
2
x
S
3
, если взять другую из той же гене-
ральной совокупности. Для более полной оценки вводят доверительные интервалы.
Интервал, который с заданной вероятностью накроет оценку, называется
доверительным интервалом. Если, например, известно, что некоторый интервал
накроет X с вероятностью 0,95, то говорят, что X попадает в указанный интервал с вероятностью 0,95 или с 95% доверительной вероятностью.
Доверительные интервалы, соответствующие 100(1-α)% доверительной
вероятности, определяются3 по выборочным оценкам формулами:
а) для математического ожидания
; (6)
б) для дисперсии
, (7)
где – n'=n-1, n – объем выборки;
– процентиль t – распределения;
,
– процентили Х2 – распределения с «n» степенями свободы;
X – математическое ожидание случайной величины Х;
X,
– дисперсия;
– соответственно выборочное среднее и дисперсия.
Корреляция
Пусть две случайные величины Х и У распределены по нормальному закону и имеется N пар их измеренных значений (х1, у1), (х2, у2),…, (хn, уn). Тогда
о наличии между ними (Х и У) связи можно судить по выборочному коэффициенту корреляции rху, который определится по формуле
Закон распределения случайной величины предполагается нормальным.
66
N
i
i
N
i
i
N
i
ii
yx
xy
xy
YyXx
YyXx
SS
S
r
1
2
1
2
1
)()(
))((
N
i
i
N
i
i
N
i
ii
xy
YNyXNx
YXNyx
r
1
22
1
2
2
1
2/2/
3 zNz
xy
xy
r
r
1
1
ln
2
1
],[3
2/2/
zzN
],[3
2/2/
zzN
или
(8)
Известно, что rxy, как и коэффициент корреляции ρxy, лежит в пределах –
1< rxy<1, причем rxy=+1 отвечает наличию идеальной линейной зависимости, а
rxy= 0 – независимости Х от У и наоборот (в ситуациях, которые могут встре-
титься нам в дальнейшем).
Ввиду выборочной изменчивости коэффициента корреляции необходимо
убедиться в значимости корреляционной зависимости между Х и У, т.е. в том,
что полученный rxy≠0 действительно отражает статистическую зависимость У
от Х. Значимость зависимости можно определить проверкой гипотезы ρxy=0.
Если гипотеза отвергается, то корреляционную зависимость считают статистически значимой. При этом можно воспользоваться формулой
, (9)
где z
– процентиль нормированного гауссового распределения; N – число
α/2
опытов, величина ω вычисляется по формуле
.
Если
, то гипотеза ρxy=0 принимается, а корреляцион-
ная зависимость при уровне значимости α отвергается. Если
, то гипотеза ρxy=0 отвергается, а наличие корреляционной
зависимости при α % уровне значимости принимается.
Регрессия
Наконец, допустим, что наличие статистически значимой зависимости
установлено. Как найти ее, т.е. построить математическую модель этой зависимости? Известные методы линейной регрессии приводят к методу наименьших
67
квадратов, суть которого заключается в следующем. Допустим, что определяет-
ВхАу
~
i
у
~
)(
~
iiii
BxAyyy
i
у
~
2
1
)]([
N
i
ii
BxAyQ
0
B
Q
A
Q
xbуа
N
i
i
N
i
ii
N
i
i
N
i
ii
xNx
yxNyx
xx
yxx
b
1
2
2
1
1
2
1
)()(
)(
)( xxbуbxау
у
~
ся зависимость вида
. (10)
Отклонение измеренной величины уi от предсказанной
будет с учетом
(10)
.
Если имеется N точек, через которые проводится линейная регрессия, то
критерием оптимальности приближения, его точности может служить сумма
квадратов отклонений уi от
:
,
т.е. приближение будем считать тем лучше, чем меньше Q. Наименьшим значение Q будет в том случае, если А и В удовлетворяют известному из анализа
условию:
, (11)
т.к. количество экспериментальных точек N обычно мало, то фактически (11)
позволяет определить не А и В, а их оценки «а» и «b». Подставляя вместо А и В
«а» и «b» из (11), получаем формулы для оценок коэффициентов:
, (12)
, (13)
где х и у – выборочные средние; N – число опытов (пар значения Х и У).
Тогда уравнение регрессии у и х будет иметь вид
, (14)
где у есть оценка
.
Поменяв местами зависимую в независимую переменные в (12), получим
линию регрессии х по у.
68
)( ууbхх
, (15)
N
i
i
N
i
ii
yNу
yxNyx
b
1
2
2
1
)(
xy
rbb
y
~
y
~
2
1
1
2
2
2/;2/
)(
)(1
N
i
i
Nxy
xx
x
N
tSаА
2
1
1
2
2/;2/
)(
1
N
i
i
Nxy
xx
tSbВ
2
1
1
2
2
0
2/;2/
)(
)(
1
ˆ
~
N
i
i
Nxy
xx
xx
N
tSyy
2
1
1
2
/
2
)
ˆ
(
N
yy
S
N
i
ii
xy
i
y
ˆ
0
х
у
~
где
. (16)
Заметим, что «b» и «b'» (тангенсы углов наклона линий регрессии х и у и
у по х) связаны соотношением
, (17)
где rxy – выборочный коэффициент корреляции.
В силу того, что «а» и «b» – оценки А и В, необходимо определять доверительные интервалы для А, В и
на основании оценок а, b,
. Они могут
быть вычислены с использованием данных табл. 1-3по следующим формулам:
, (18)
, (19)
, (20)
где
прогноза
среднее;
; t
N-2;α/2
- значение х, при котором производится определение доверитель-
ных интервалов для
- выборочное стандартное отклонение измеренных уi от
– процентили t распределения Стьюдента; х - выборочное
.
69
n
α
0,10
0,05
0,025
0,01
3
1,638
2,353
3,182
4,541
4
1,533
2,132
2,776
3,747
5
1,476
2,015
2,571
3,365
6
1,440
1,943
2,447
3,143
7
1,415
1,895
2,365
2,998
8
1,397
1,860
2,306
2,896
9
1,383
1,833
2,262
2,821
10
1,372
1,812
2,228
2,764
15
1,341
1,753
2,131
2,602
20
1,325
1,725
2,086
2,528
2
,2nn
XХ
n
α
0,990
0,975
0,95
0,90
0,10
0,05
0,025
0,010
3
0,115
0,216
0,352
0,584
6,25
7,81
9,35
11,34
4
0,297
0,484
0,711
1,06
7,78
9,49
11,14
13,28
5
0,554
0,831
1,15
1,64
9,24
11,07
12,83
15,09
6
0,872
1,24
1,64
2,20
10,64
12,59
14,45
16,85
7
1,24
1,69
2,17
2,83
12,02
14,07
16,01
18,45
8
1,65
2,18
2,73
3,49
13,36
15,51
17,63
20,09
9
2,09
2,70
3,33
4,17
14,68
16,92
19,02
21,67
10
2,56
3,25
3,94
4,87
15,09
18,31
20,48
23,21
15
5,23
6,26
7,26
8,55
22,31
25,00
27,49
30,58
20
8,28
9,59
10,85
12,44
28,41
31,42
34,17
37,57
Площадь
равна α
t
n; α
Рис. Распределение Стьюдента ρtn>t
n;α
=α
Таблица 1
Процентные точки t распределения Стьюдента
t
n;1-α
Значения α=0,90; 0,95; 0,975 и 0,99 получают, пользуясь соотношением
= – t
n;α
.
Таблица 2
Процентные точки распределения Х2, ρ[
]=α
70
Таблица 3
][
2
1
2
zzdzе
z
z
zα 0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
1,0
0,158 7
0,163 9
0,149 2
0,144 6
0,140 1
1,1
0,135 7
0,131 4
0,127 1
0,123 0
0,119 0
1,2
0,115 1
0,111 2
0,107 5
0,103 8
0,100 3
1,3
0,096 8
0,093 4
0,090 1
0,086 9
0,083 8
1,4
0,080 8
0,077 8
0,074 9
0,072 1
0,069 4
1,5
0,066 8
0,064 3
0,061 8
0,059 4
0,057 1
1,6
0,054 8
0,052 6
0,050 5
0,048 5
0,046 5
1,7
0,044 6
0,042 7
0,040 9
0,039 2
0,037 5
1,8
0,035 9
0,034 4
0,032 9
0,031 4
0,030 1
1,9
0,028 7
0,027
0,026 2
0,025 0
0,023 9
2,0
0,022 8
0,021 7
0,020 7
0,019 7
0,018 8
2,1
0,017 9
0,017 0
0,016 2
0,015 4
0,014 6
2,2
0,013 9
0,013 2
0,012 5
0,011 9
0,011 3
2,3
0,010 7
0,010 2
0,009 64
0,009 14
0,008 66
2,4
0,008 2
0,007 76
0,007 34
0,006 95
0,006 57
Площади, покрываемые ординатами нормированной гауссовской плотно-
сти распределения α=
Промежуточные значения определяются интерполяцией.
Примечание. Более полные таблицы процентных точек можно найти в
любой монографии по теории вероятности и математической статистике,
например, в указанном в конце работы списке литературы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]