Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория алгоритмов. Учебное пособие
.pdf
2.6. Операции навешивания кванторов. Операции навешивания кванторов
( )
( )
( )
() 0
() 0
∃=
() 0
() 1
∃=
Μ≠∅
( )
(,)
yM∈
(, ) 1
∀=
( )
xM∈
(,)
yM∈
(, ) 1
∃=
( )
() (,)
() (,)
p y xp x y
= ∀
( , ) ( ), ,pxy xx y xy R=∃< ∈
Из определения следует, что если
px истинно
на множестве M, то высказывание ()xp x∀ тоже истинно
на этом множестве; и в случае, когда
px ложно на множестве M, то высказывание ()xp x∀ тоже является ложным на данном множестве.
Определение. Будем говорить, что выражение ()xp x∃
на множестве M представляет собой истинное высказывание тогда и только тогда, когда
px истинно хотя бы для
одного элемента из этого множества.
Очевидно, если
px=, то
xp x
;
и если
px≠, то
Пусть на множестве
кат
,pxy .
Определение. Выражение
ставляет собой высказывание
сказывание) тогда и только тогда, когда
но для любого элемента
Определение. Выражение
представляет высказывание
0
высказывание) тогда и только тогда, когда
xp x
.
задан двуместный преди-
xp x y∀ при
xp x y
0
(истинное вы-
,pxy — истин-
0
пред-
0
.
xp x y∃ при заданном
xp x y
(истинное
0
,pxy истин-
0
но хотя бы для одного элемента из множества M.
Таким образом, операции навешивания кванторов
(всеобщности и существования) к двуместным предикатам
приводит к одноместному предикату, т.е.
Пример. Пусть задан двуместный предикат
Для проверки на истинность предиката, поступим
следующим образом. Берем произвольный элемент 0y
p y xp x y
= ∃
где
— 61 —
.
Глава 2. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
( )
( , ) ( ), ,pxy xx y xy R=∀< ∈
{ }
Mx x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
{ }
Mx x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
{ }
из множества M, подставляя в данный предикат, получим
одноместный предикат:
px= (x<y0).
Тогда выражение ∃х (x<y0) является истинным высказыванием, так как во множестве действительных чисел
всегда для произвольного элемента из этого же множества
найдется элемент меньше его.
Если взять предикат вида
где
, то он является ложным во множестве R. (Проверка
самостоятельно.)
Если множество М, на котором рассматривается предикат р(х) является конечным множеством, т.е.
,...,
= , то высказывание вида ()xp x∀тождествен-
1
n
но равно высказыванию
px px∧⋅⋅⋅∧ , т.е. имеет место
1 n
следующее равенство
xpx px px∀ = ∧⋅⋅⋅∧ .
1 n
Аналогично, если множество М, на котором рассматривается предикат р(х) является конечным множеством,
т.е.
ственно равно высказыванию
,...,
= , то высказывание вида ()xp x∃ тожде-
1
n
px px∨⋅⋅⋅ ∨ , т.е. имеет
1 n
место следующее равенство:
xpx px px∃ = ∨⋅⋅⋅∨ .
1 n
Как нам известно, предикатом называют логическую
функцию, определенную на заданном множестве объектов.
Будем рассматривать в качестве области определения предиката конечный набор, состоящий из натуральных чисел.
Таким образом, рассматриваемые предикаты представляют логические функции вида:
В качестве примера предикатов можно привести следующие логические функции:
2.7. Примитивно рекурсивный предикат
n
: 0,1
pN → .
— 62 —
2.7. Примитивно рекурсивный предикат
( ) ( )
rx x= −
rx x= −
( ) ( )
( )
xx
( )
DDD
= =
( )
xx
xu
( ) ( )
( ) ( )
( )
φ=−
1, 0
0
x
sg
если
( ) ( )
( )
( )
CCRCC sgx
— простое число
,q xy x y= =
и т.д.
Определение. Функция
ставляющей функцией для предиката
,...,
φ называется пред-
1
n
,...,
px x , если
1
n
выполняются следующие условия:
1)
φ
2) для любого набора
xx
, т.е. их область определения совпадают;
p
1
,...,
,...,
1
0, ,...,
если
n
1, ,...,
если л
из области определения
n
px
1
n
px x
1
n
Определение. Предикат р(х) называется примитивно
рекурсивным, если его представляющая функция является примитивно рекурсивной функцией.
Например, следующие предикаты
,p xy x y= = ;
1
,p xy x y= <
2
являются примитивно рекурсивными, так как их представляющие функции являются ПРФ.
Действительно, в качестве представляющей функции
первого предиката можно взять функцию вида
,x y sg x y
1
,
где
x
0,
Покажем, что данная функция — ПРФ.
По определению операции примитивной рекурсии по-
лучаем, что
Следовательно, ПРО данной функции является после-
довательность функций
является ПРФ.
x
если
sg g C
sg x h x sg x C
0 00
= = =
1,
+= =
( ) ( )
02 02
,, , ,
01 01
( )
— 63 —
0
0
2
1
.
Глава 2. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
( )
f xy x y
,
xy xy
fx
xy
если
( )
f xy x y
0, 0
0
x
fx
xx
если
0,
xy
fx
xy
если
( )
( ) ( )
1 11 , , .
( )
,, , , 1
( )
f xy x y
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
3
3
,0
, 1 1 1 ,, , ,, , ,
fx gx x I x
f xy x y x y hxyf xy I xyf xy
= = =
+=−+= −−= =
( ) ( )
( )
,,
Функция
разом:
Прежде чем доказать, что функция
ляется примитивно рекурсивной, рассмотрим следующие
функции:
1)
2)
Покажем, что эти функции являются ПРФ.
1) Рассмотрим функцию
По определению операции примитивной рекурсии получаем, что
Следовательно, ПРО для данной функции является
последовательность функций:
2) Рассмотрим теперь функцию
По определению операции примитивной рекурсии получаем, что
,
yxy
0 00
fg C
= = =
fx x x hxfx I xfx
+ = + −= = =
( ) ( ) ( )
,
= − определяется следующим об-
,
yxy
1
x
02 02
CIRCI x−.
01 01
yx
если
1,
если
,
xy
0
0
,
= −.
,
если
1fx x= −.
( )
1
,
2
( )
( )
= − яв-
где в последнем равенстве
функцию, сходную с функцией в первом случае, следовательно, в качестве ПРО данной функции можно взять последовательность функций:
f xy f xy= ι
— 64 —
, т.е. получили
2.7. Примитивно рекурсивный предикат
( )
( )
( )
( )
( )
,,,,,,I f xy R I f xy x yι ι−
( )
f xy x y
( ) ( ) ( )
,.fxy xy xy yx
( )
φ=−
( ) ( )
1,
xy
xy
если
( ) ( )
( ) ( )
φ=−
( )
{ }
11
mk
pp
11
mk
φ φψ ψ
ikψ ≤≤
( )
{ }
11
mk
pp
11
mk
φ φψ ψ
ikψ ≤≤
11
11
Исходя из последнего примера, функцию
.
,
= −
будем представлять следующим образом:
=−= − + −
Очевидно, данная функция является ПРФ. (Покажите
самостоятельно.)
Теперь можно говорить, что выбранная представляю-
щая функция
,x y sg x y
1
для предиката
,p xy x y= =
1
является ПРФ и удовлетворяет исходным условиям, т.е.
xsgx y
1
Для предиката
0,
если
,p xy x y= < в качестве представля-
2
ющей функции можно брать
,x y sg x y
2
и очевидно, она удовлетворяет исходным условиям и является ПРФ.
Определение. Функция
,...,
fx x называется
1
n
ПРФ относительно совокупности функций и предикатов
,..., , ,...,
ψ= φ φ , если она ПРФ относительно сово-
купности функций
,..., , ,...,
, где 1
i
—
представляющая функция предиката ip .
Определение. Предикат
,...,
px x называется
1
n
ПРФ относительно совокупности функций и предикатов
,..., , ,...,
ψ= φ φ , если представляющая функция
предиката p является примитивно рекурсивной относительно совокупности функций
1
i
— представляющая функция предиката ip .
,..., , ,...,
, где
Теорема. Логические операции над предикатами со-
храняют свойства примитивной рекурсивности предикатов.
— 65 —
Глава 2. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
( )qx( )
( )
( )
( )
xx x
( ) ( )
( )
Доказательство. Приведем в виде таблицы истинностные значений логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания.
Таблица 12
p(x)
0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0
1 1 0 1 1 1
Пусть
р(х);
где в общем случае
являются представляющими функциями для соответствующих логических операций относительно предикатов,
представленных в таблице 12:
ставленные функции действительно удовлетворяют требуемому условию как представляющие функции предиката.
xφ — представляющая функция предиката q(x),
q
Тогда нетрудно проверить, что следующие функции
В виде упражнения, проверьте самостоятельно что пред-
px
xφ — представляющая функция предиката
p
p(x) ∧q(x) p(x)∨q(x) p(x)→q(x)
,...,
= .
1
n
sg x x
φ = φ +φ
pq p q
∧
φ =φ ⋅φ
pq p q
∨
φ=φ +φ
pq p q
→
φ= φ
pp
xx
( ) ( )
sg x sg x
( ) ( )
( )
sg x
( )
( )
( )
щем случае
2.8. Операция навешивания ограниченного квантора
над предикатами
Пусть задан двуместный предикат p(x,y), где в об-
— 66 —
2.8. Операция навешивания ограниченного квантора над предикатами
( )
xx x
( ) ( ) ( )
,,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
,,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
,5
( ) ( ) ( )
,,
R xz y p xy
( ) ( ) ( )
,,
Q xz y p xy
3
24
y
Ryyu
Ry
0
24
05
y
Qy
Qyyu
л
{ }
( )
( ) ( ) ( )
,,
( )
,...,
= .
1
n
Определение. Говорят, что предикат R(x,z) получен
из предиката p(x,y) с применением операции навешивания ограниченного квантора существования, т.е.
R xz y p xy
= ∃ ,
yz
≤
если выполняется следующее равенство:
, ,0 ,1 ,Rxz px px pxz= ∨ ∨⋅⋅⋅∨ .
Определение. Говорят, что предикат Q(x,z) получен
из предиката p(x,y) с применением операции навешивания ограниченного квантора всеобщности, т.е.
Q xz y p xy
= ∀ ,
yz
≤
если выполняется следующее равенство:
, ,0 ,1 ... ,Qxz px px pxz= ∧ ∧∧ .
Пример. Пусть
pxy x y= += .
Рассмотрим
= ∃ и
yz
≤
= ∀ .
yz
≤
Очевидно
4,
1,315
л
2
y
5
y
4,
5,
Теорема. Операция навешивания ограниченных
кванторов существования и всеобщности сохраняет свойство примитивной рекурсивности функций относительно
совокупности
p
.
Доказательство. Пусть задан предикат p(x,y)
и
,pxyφ — представляющая его функция и пусть
Представляющую функцию предиката R(x, z) обо-
значим через
,Rxzφ и покажем, что ее можно предста-
вить следующим образом:
5
y
R xz y p xy
= ∃ .
— 67 —
y
2
5
yz
≤
Глава 2. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
,,
Rp
φ=φ
( )
R xz u
00
yz≤≤
( )
pxy u
( )
,0
φ=
, ,0
Rp
φ=φ=
( )
( )
( )
( )
,1
φ=
, ,1
Rp
φ=φ=
( )
( )
{ }
( ) ( ) ( )
,,
( )
,,
Qp
( )
( )
{ }
{ }
φφ
{ }
pp
z
xz xy
( ) ( )
∏
y
0
=
.
Действительно:
1) Пусть предикат
,
= . Тогда по определению
0
операции навешивания ограниченного квантора существования найдется 0y такое, что
довательно
p
xy
. Отсюда следует, что
0
xz xy
( ) ( )
2) Предположим, что предикат
z
∏
y
=
0
и
,
0
= , сле-
.
0
,R xz =л. Тогда по оп-
0
ределению операции навешивания ограниченного квантора существования для любого набора
,xy ,
,pxy=л,
следовательно
z
p
xy
и
xz xy
( ) ( )
∏
y
.
0
=
Так как ранее у нас было доказано, что операция конечного произведения обладает свойством примитивной
рекурсивности, то
сивной относительно совокупности
,Rxzφ является примитивно рекур-
,pxyφ .
Пусть
Q xz y p xy
= ∀ .
yz
≤
Аналогично доказывается случай, когда задана операция навешивания ограниченного квантора всеобщности.
Легко можно доказать, что в качестве представляющей
функции предиката
φ= φ
и
,Rxzφ является ПРФ относительно совокупности
,Q xz можно брать
z
x z Sg x y
( ) ( )
∑
y
0
=
,pxyφ . В виде упражнение докажите самостоятельно.
Пусть задана совокупность функций
купность предикатов
,...,
1
m
.
,...,
1
и сово-
k
— 68 —
2.9. Кусочное задание функции
( )
{ }
φ−
1 ik≤≤
( ) ( ) ( )
{ }
11
( ) ( )
{ }
xx x=
( )
11
22
kk
u
fx
u
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
.ψ
( )
φ−
ik≤≤
i iki
oo o
x xx x
Определение. Функция
относительно заданной совокупности функций и предикатов, если она ПРФ относительно совокупности
,..., , ,...,
ψ= φ φ φ φ , где
1
mp p
1
m
ция предиката pi,
2.9. Кусочное задание функции
Пусть задана совокупность функций
,..., ,
fx fxf x+ и совокупность предикатов
px px, где в общем случае
1
области истинности предикатов попарно не пересекаются.
сочным образом относительно заданной совокупности
функций и предикатов, если она удовлетворяет следующим условиям:
из совокупности
является ПРФ относительно
ция для предиката pi(x), где 1
следующим образом
kk
,...,
k
Определение. Говорят, что функция
,
fx px u
,
fx px
,
fx px
,
fx
1
k
в остальных случаях
Теорема. Функция f(x), заданная кусочным образом
,..., , , ,...,
fx fxf x px px+= ψ ,
1 11
kk k
Доказательство. Пусть
Тогда покажем, что функцию f(x) можно представить
k
f x f x Sg x f x
= φ + ⋅φ
( ) ( ) ( )
∑
i
1
=
1) Рассмотрим произвольный набор
,...,
fx x , называется ПРФ
1
n
представляющая функ-
p
i
.
,...,
1
n
fx задана ку-
если
если
если
x
i
представляющая функ-
.
k
.
( )
— 69 —
1
+
( )
∏
i
1
=
= .
0 12
, ,...,
, причем
,
n
Глава 2. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
( )
px u
ik≤≤
( )
φ=
( )
( )
( ) ( )
000
000
iii
Sg x fx fx
( )
( )
( )
00
φ⋅=
00
( )
( ) ( )
ik
xxφ=φ=
ik≤≤
( )
( )
( )
00
φ⋅=
11
k ik
++
i iki
( )
( )
xx
( )
fx
Пусть для какого-то 0i предикат
1
предиката получаем, что
. Тогда по определению представляющей функции
0
x
0
p
i
0
0
, следовательно
i
0
= , где
0
φ⋅=
а для всех остальных i≠i0, pi(x0)=л, отсюда
Sg x f x
ii
0
.
Таким образом, в данном случае, мы получаем, что
k
f x Sg x f x f x
( ) ( )
i ii
1
i
=
2) Предположим, что для любого i,
1
0
, где 1
φ= =∑.
( )
( ) ( )
0
.
px=л, тогда
0i
Следовательно,
k
Sg x f x
ii
0
, а
f xf
⋅φ =
∏
1
i
=
( )
.
Из пунктов 1–2 следует, что на множестве nN функция
k
f x Sg x f x
( ) ( )
∑
i
1
=
совпадает с функцией
φ + ⋅φ
( )
fx, которая задана кусочным об-
k
( )
∏
1
+
i
1
=
разом из совокупности ψ.
Так как операции конечного суммирования и конечного произведения сохраняют свойство примитивной рекурсивности функций, следовательно, рассматриваемая
функция является ПРФ относительно ψ.
Пример. Предположим, что задана примитивно рекурсивная функция
,...,
fx x .
1
n
Рассмотрим конечное число точек, произвольным
образом поменяем значения функции в каждой точке
,...,
1
и полученную функцию обозначим через
k
,
1
т.е.
— 70 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]