Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория алгоритмов. Учебное пособие
.pdf
2.3. Производные операции над функциями
ψ
ψ
{ }
{ }
φφ
φ
ik=
{ }
Ψ
В случае, когда в рассматриваемом ПРО функции f
относительно совокупности Ψ, встречается функция
то перед первым ее появлением в ПРО вместо
записы-
j
j
ваем ее ПРО. Тогда полученная последовательность функций является ПРО функции f относительно совокупности
′
Ψ=Ψ Ψ
\
.
j
30. Если f — ПРФ относительно совокупности
Ψ= Ψ Ψ Ψ и каждая функция из Ψ есть ПРФ отно-
, ,,
12
n
сительно Γ, то f является ПРФ относительно Γ.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству свойства 20.
Рассмотрим ПРО функции f относительно совокупности Ψ, т.е.
,,
.
k
принадлежит со-
Каждая функция
1
, где 1,2,...,
i
вокупности Ψ. Так как каждая функция совокупности Ψ
является ПРФ, то некоторые из них заменим на ПРО относительно Γ.
Таким образом, образуем ПРО функции f относительно Γ. Следовательно функция f — ПРФ относительно совокупности Γ.
40. Если f — ПРФ относительно совокупности
Ψ= Ψ Ψ Ψ , и каждая функция из совокупности
, ,,
12
n
, есть ПРФ, то f тоже является ПРФ. (Доказательство самостоятельно.)
,
2.3. Производные операции над функциями
Кроме операции подстановки и примитивной рекурсии, которые являются основными, используются и другие
операции, которые сохраняют свойства примитивной рекурсивности функций. Их называют производными и они
получаются из основных операций и базиса элементарных
функций.
— 51 —
Глава 2. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
{ }
( )
( )
(,)
( )
,, (,)
φ=
φ
( )
{ }
( )
( )
( )
33
12
II
( )
33
12
(,,)
( ) ( )
(,)
( )
( )
22 2
(,)
( ) ( )
,,
(,)
(,)
( )
22
21
Пусть задана совокупность функций
Ψ= Ψ Ψ Ψ
, ,,
12
n
и в результате некоторой операции над этими функциями
получена функция
, ,,
Fφ= Ψ Ψ Ψ .
12
n
Определение. Операция F называется примитивно ре-
курсивной операцией, если из равенства
,,
Fφ= Ψ Ψ Ψ
12
n
следует, что функция φ есть ПРФ относительно совокупности Ψ.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Пусть задана некоторая функция
ция
xyz gxy
. В этом случае говорят, что функция
gxy и функ-
получена из функции g с помощью операции введения
фиктивной переменной, именно, введением фиктивной переменной z.
При этом функция
тельно совокупности
,,xyzφ является ПРФ относи-
g . Действительно, φ можно пред-
ставить следующим образом:
,,xyzφ =g(
3
1
,,I xyz ,
3
2
,,I xyz ).
Как видим, функция φ получена из функции g
и
,
операцией подстановки, т.е.
2. Пусть задана функция
;,SgI Iφ= .
gxyz и если
, ,,xy g xyaφ= , то говорят, что функция φ получена
из функции g с помощью операции замены константы.
Действительно
xyφ можно представить следующим
образом:
, ;,,
xy S gI I Cφ=
12
a
и называется операция замены константы.
3. Пусть задана функция
gxy и
xy g yxφ= ,
то говорят, что функция φ получена из функции g с применением операции перестановки переменных.
Действительно функцию
xyφ можно представить
следующим образом:
xyφ=
;,SgI I .
— 52 —
2.3. Производные операции над функциями
( ) ( )
( ) ( )
11 11
11 11
, , . . ; ,gII SgIIφ= φ=
hi k=
( )
( )
123
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
,, , , , ,, .
{ }
,,, .
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 33 333
11 212 3123
,, ,, , ,, , ,, , ,, , ,, , ,,xyz g h I xyz h I xyz I xyz h I xyz I xyz I xyz
( )
( ) ( )
( )
* 333
4. Пусть дана функция ()gx и
ворят, что функция φ получена из функции g с помощью
операции отождествленной переменной.
Действительно, функцию φ можно представить следу-
ющим образом:
т.т.
5. Пусть заданы функции
, 1,2,...
i
ства переменных. Если
функция φ получена из функции g с помощью операции
произвольной подстановки (суперпозиции).
Например, пусть имеются функции
и
Тогда функция φ является ПРФ относительно сово-
купности
Покажем, что данная операция справедлива. Функ-
ции φ можно представить следующим образом.
φ=
( ) ( )
— некоторые функции различного количе-
, ,...,
gh h hφ= , то говорят, что
12
,,gx x x ,
hx
1
,
h xy
( )
2
,,
h xyz
( )
3
xyz g h x h xy h xyzφ=
12 3
gh h h
123
( ) ( )
, , ,...,
gh h h , где
k
.
12
,x g xxφ= , то го-
k
( ) ( ) ( )
Введем следующие обозначения:
*3
,, ,,
h xyz h I xyz
1 11
* 33
h xyz h I xyz I xyz
( ) ( ) ( )
2 21 2
h xyz h I xyz I xyz I xyz
( ) ( ) ( ) ( )
3 31 2 3
=
,, ,, , ,,
=
( )
,, ,, , ,, , ,,
=
( )
— 53 —
Глава 2. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
**
12
hh
12
hh
{ }
{ }
{ }
( )
***
123
{ }
***
,,, .
{ }
123
,,, .
( )
( )
x xz
( )
( )
x xz
( ) ( ) ( ) ( )
( )
111 1
1
0
,, , ,, ,0 ,, ,1 ,, ,
,, ,
nnn n
z
n
t
xxzgxx gxx gxxz
gx x t
=
σ = + ++ =
=
∑
( )
x xz
( )
( )
x xz
( ) ( ) ( ) ( )
1 11 1
n nn n
xxzgxx gxx gxxz
δ = ⋅ ⋅⋅ =
Как видим, функции
,
соответственно операцией введения фиктивных переменных. Поэтому
ности
Очевидно,
h и
1
*
h — ПРФ относительно совокупности
3
*
h является ПРФ относительно совокуп-
1
*
h — ПРФ относительно совокупности
2
,
получены из функции
h .
3
h .
2
Тогда функция φ приобретает вид:
;,,Sghhhφ= .
Следовательно, она ПРФ относительно совокупности
ghhh Учитывая свойство 10 относительно прими-
123
тивной рекурсивности , получаем, что функция φ — ПРФ
относительно совокупности
gh h h
2.4. Операции конечного суммирования
и конечного произведения
Пусть задана функция
Определение. Говорят, что функция
лучена из функции
,, ,
gx x y с применением операции
1
конечного суммирования, если для любого набора переменных
,, ,
выполняется следующее равенство:
1
n
,, ,
gx x y .
1
n
n
,, ,
σ по-
1
n
Определение. Говорят, что функция
лучена из функции
,, ,
gx x y с применением операции
1
n
,, ,
δ по-
1
конечного произведения, если для любого набора переменных
=
,, ,
выполняется следующее равенство:
1
n
,, , ,, ,0 ,, ,1 ,, ,
z
gx x t
( , , ,)
∏
t
=
n
1
0
— 54 —
(1)
n
(2)
2.4. Операции конечного суммирования и конечного произведения
11
nn
xxz gxxt
( ) ( )
1 11
,, , 1 ,, , ,, , 1
n nn
xxz gxxtgxxz
σ=
σ += + +
( )
( )
Rgh
′
( )
( )
22
,, ,, ( ,, ,,,, ,, ,, ,
nn
n nn n
++
( ) ( )
1 11
n nn
′
{ }
Теорема. Операции конечного суммирования и конеч-
ного произведения сохраняют свойство примитивной рекурсивности функции.
Доказательство. Приведем доказательство относи-
тельно операции конечного суммирования (аналогично
доказывается относительно операции конечного произведения).
Пусть
,, , ,, ,
σ=
( ) ( )
∑
t
z
,
0
=
тогда по определению операции примитивной рекурсии
получим:
, , ,0 , , ,0
xx gxx
11
nn
z
( ) ( ) ( )
∑
t
0
=
Таким образом, функция σ получается посредством
операции примитивной рекурсии из функции
g′ и
, , ,,
h x x zu , т.е.
1
n
σ= .
,
Действительно
′
,, , ,, ,
g x x gI I I C
1 12 0
nn
nn n n
=
h x x zu g I x x zu I x x zu
( ) ( ) ( )
1 11 1
22
nn
++
, , ,, 1 , , ,,
I x x zu I x x zu
n n nn
++
( )
( )
1 1 21
=
++
( )
Очевидно, что
,, ,0 ,,
xx gxx
σ=
11
nn
,, , 1 ,, ,, ,, ,
x xz hx xz x xz
σ += σ
( ) ( )
( )
Из задания функций g′ и h следует, что они являются
ПРФ соответственно относительно совокупности
Функция σ — ПРФ относительно функций g′ и h.
Следовательно, операция конечного суммирования сохраняет свойство примитивной рекурсивности функции.
Ч. т. д.
— 55 —
g .
, 0
x
x y
y
целой части от деления числа x на число y, если y
если
,x qy r=⋅+
ry≤<
( )
yq x
⋅−
⋅+−
Глава 2. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
Пример.
.
Покажем, что данная функция является примитивно
рекурсивной. Для доказательства ПРФ данной функции
используем операцию конечного суммирования.
Рассмотрим два случая:
1) пусть 0y>. Введем обозначения
x
q
=
.
y
Тогда по теореме о делении с остатком,
где 0
.
Очевидно, что число q удовлетворяет соотношениям
1qy x y q⋅≤ <⋅ + .
Рассмотрим следующие разности:
0
yx
1
yx
⋅−
...
yq x
⋅−
1
( )
...
yx x
⋅−
Нетрудно подсчитать, что число нулей в этой последовательности равно 1q+.
Поэтому, исходя из вышеуказанной разности, q можно выразить следующим образом
x
x
q sg y t x
= = ⋅− −
y
∑
t
0
=
( )
2) Пусть y = 0. В этом случае функция
1
.
x
может быть
y
получена из функции
— 56 —
2.5. Предикат, логическая функция. Логические операции с предикатами
( )
xx
( )
x
,,
x y z sg y t x
φ = ⋅−
( ) ( )
∑
t
0
=
операцией отождествленных переменных, т.е.
x
y
= φ
,,
xyz
( )
.
Таким образом, исходя из того, что
x
,,
x y z sg y t x
φ = ⋅−
( ) ( )
∑
t
0
=
–ПРФ
и операция отождествленных переменных сохраняет свойство примитивной рекурсивности функций, следует, что
,xf xy
=
( )
–ПРФ.
y
2.5. Предикат, логическая функция.
Логические операции с предикатами
Предикат, от лат. слова praedikatum —
сказанное, сказуемое суждения.
(Логический словарь)
Предикат — логическая функция, определенная
на некотором множестве M, то есть такая n-местная функция p, которая каждому упорядоченному набору
,...,
1
n
из множества M сопоставляет некоторое высказывание,
обозначаемое
,...,
px x .
1
n
В этом случае p называется n-местным предикатом
на множестве M.
Из курса математической логики нам известно, что
высказывание обычно отождествляется с его истинностным значением 1 («истина») или 0 («ложь»). Исходя
из этого, можно дать определение предиката для различной местности:
Пусть задано произвольное множество М≠∅.
— 57 —
Глава 2. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
{ }
( )
12
{ }
( )
{ } { }
( )
( )
=
( )
=
( )
( )
Определение. Одноместным предикатом р(х) на мно-
жестве М называется функция вида
: 1, 0pM→ .
Двуместным предикатом
зывается функция вида
: 1, 0pM M×→
и т.д.
n-местным предикатом
M называется функция вида
: ... 1, 0 1, 0
pM M M M× ×× → = → .
Например, пусть в качестве множества M задано мно-
жество натуральных чисел N. Обозначим через
простое число».
Тогда, в зависимости от значения x, логическая функ-
ция
px принимает либо значение 1 («истина») либо зна-
чение 0 («ложь»).
Действительно, при значениях 2,3,5,7,...x
ция
В данном примере в качестве объекта рассматриваются элементы из множества натуральных чисел, а в качестве
свойства взято «простое число», и это свойство обозначено
через p.
Пусть, на множестве действительных чисел задан двуместный предикат
Этот предикат становится истинным или ложным высказыванием, если x и y заменить действительными числами:
«2 меньше 10», «3 меньше 5», «1,9 меньше 0,9» и т.д.
Как видим, в этом случае рассматривается отношение
между элементами в множестве R. Тогда через p в данном
случае обозначено отношение между объектами, где в качестве объектов взяты x и y.
Таким образом другими словами, одноместный предикат отражает наличие или отсутствие того или иного
1px= и в случае, когда 4,6,8,9,...x
,pxy , означающие «x меньше y».
,px x на множестве М на-
,...,
px x на множестве
1
n
n
px: «x —
, функ-
0px = .
— 58 —
2.5. Предикат, логическая функция. Логические операции с предикатами
( )
M ≠∅
( ) ( )
{ }
|1
=∈=
Μ≠∅
( )
( )
( )
( )
qx
( ) ( ) ( )
= ∧
xM∈
( )
( )
( )
( )
( )
( )
12
Mrx M M
( )
( )
( ) ( ) ( )
= ∨
xM∈
( )
( )
свойства у объекта, а предикат от нескольких переменных
выражает отношение между объектами в рассматриваемом множестве.
Пусть задано множество Μ — область определения
предиката
жества).
Определение. Подмножество множества Μ, состоя-
щее из тех значений переменных, при которых данный
предикат превращается в истинностное высказывание, называется областью истинности предиката и обозначается
следующим образом:
,...,
px x , (где
1
n
M px x M px
— произвольная мно-
.
Операции с предикатами
Пусть на множестве
и
qx.
Определение. Конъюнкцией предикатов
и
rx px qx
для тех и только тех значений
ходных предиката
высказывание.
M — множество истинности предиката
жеством истинности предикат
вида
и
sx px qx
на» для тех и только тех значений
хотя бы одно из высказываний (предикатов)
истинно.
называется бинарный предикат, обозначаемый
, который принимает значение «истина»
px и
Пусть 1M — множество истинности предиката
2
Определение. Дизъюнкцией предикатов
qx называется новый предикат, обозначаемый
, который принимает значение «исти-
— 59 —
заданы предикаты
, при которых оба ис-
qx превращаются в истинное
qx, тогда мно-
rx является множество
=
.
, при которых
px и
px
px
px,
px
qx
Глава 2. ТЕОРИИ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ
( )
12
( )
( )
( )
xM∈
( )
( )
( )
M px M M
( )
( )
( ) ( ) ( )
xM∈
( )
( )
( )
12
MM M
Μ≠∅
( )
( )
xM∈
Msx M M
— множество истинности предикат
Определение. Отрицанием предиката
определения M называется предикат с той же областью
определения, обозначаемый
значение «истина» для тех и только тех значений
при которых
Множеством истинности предикат
множества
Определение. Импликацией предикатов
и
qx называется новый предикат, обозначаемый
zx px qx= → , который принимает значение «ложь»
для тех и только тех значений
дикат
ложным.
жества
px является истинным высказыванием, а
Множество истинности предиката
px есть ложное высказывание.
=
sx.
px с областью
px, который принимает
px является
\
=
= .
.
1
, при которых пре-
qx —
zx является мно-
px
2.6. Операции навешивания кванторов.
Операции навешивания кванторов относительно
двуместных предикатов
,
В логике предикатов кроме операций отрицания,
дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквивалентности рассматриваются и операция навешивания квантора
всеобщности и квантора существования.
Определение. Пусть на множестве
местный предикат
Будем говорить, что выражение вида ()xp x∀ на этом
множестве представляет собой истинное высказывание
тогда и только тогда, когда
мента
задан одно-
px.
px истинно для любого эле-
.
— 60 —
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]