Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматов и формальных языков. Учебник.pdf
§ 8.3. Алгоритм Кока-Янгера-Касами 391
Сл едствие 226.
Проблема выводимости для КС-грамматик при-
надлежит классу P.
Пр име р 107. Пусть КС-грамматика G содержит следующие правила:
S → AB B → C B | AA | b
A → AC | a C → CA | c | a
Применим алгоритм Кока-Янгера-Касами к слову
тате получится таблица, изображённая на рис. 53. Поскольку
w1∈ L(G). Прокомментируем некоторые клетки таблицы.
Клетка
m
содержит нетерминалыAиC, так как для первого символа
1,1
слова есть только два правила: A → a и C → a.
Рассмотрим теперь вычисление клетки
m
может принимать только значениеk= 1. Алгоритм уже вычислил множества
m
=
{A, C }иm
1,1
m
с каждым нетерминалом из
1,1
AC,CAиCC
. В грамматике есть три правила с такими правыми частями:
A → AC , B → AA и C → CA, поэтому m
Рассмотрим ещё вычисление клетки
2,2
=
{A, C }
. Комбинируя каждый нетерминал из
m
, мы получаем четыре варианта:AA,
2,2
= {A, B, C }.
1,2
m
. Теперьkможет принимать
2,5
три значения: 2, 3, 4. Приk= 2 рассматриваются клетки
и
m
=
{B }
3,5
CB
, то в
клетки
то в
m
m
2,5
рассматриваются клетки
правило
Итак, мы получаем m
. Так как в грамматике есть правила
m
добавляются символыSиB. Приk= 3 рассматриваются
2,5
=
{A }иm
2,3
добавляетсяS, то есть
S → AB
, то в
2,5
=
{S, B }
4,5
m
2,5
m
=
{A, B }иm
2,4
m
добавляетсяS, то есть
2,5
= {S, B }.
. Так как есть правило
не меняется. Наконец, приk= 4
Теперь применим алгоритм Кока-Янгера-Касами к слову
В результате получится таблица, изображённая на рис. 54. Поскольку
S /∈ m
, то w2/∈ L(G).
1,4
w1=
aacab
. В резуль-
S ∈ m
. В строке 7 параметр
1,2
m
=
2,2
S → ABиB →
S → AB
=
{B }
5,5
m
. Так как есть
снова не меняется.
2,5
w2=
, то
1,5
{A, C }
acac
k
,
.
Задачи
306. КС-грамматика G содержит правила
S → AB | BC B → BS | AA | b
A → BA | a C → BC | c
392 Глава 8. Алгоритмические проблемы для КС-языков
j
i
1 A, C A, B, C A, B, C S, A, B, C S, B
2 A, C A A, B S, B
3 C C B
4 A, C S, B
5 B
Рис. 53. Таблица из алгоритма Кока-Янгера-Касами для слова
aacab.
1 2 3 4 5
j
i
1 A, C A A, B A, B
2 C C C
3 A,C A
4 C
1 2 3 4
w1=
Рис. 54. Таблица из алгоритма Кока-Янгера-Касами для слова
acac.
w2=
§ 8.3. Алгоритм Кока-Янгера-Касами 393
Используя алгоритм Кока-Янгера-Касами, определите, какие из следующих слов
выводимы в G: w1= abacc, w2= cabca, w3= bbac, w4= ccbaa.
307.
Модифицируйте алгоритм Кока-Янгера-Касами так, чтобы он не только
определял, выводимо ли слово, но и в случае положительного ответа строил
какое-нибудь дерево вывода.
308.
Модифицируйте алгоритм Кока-Янгера-Касами так, чтобы он непосредственно работал с приведёнными КС-грамматиками любого вида (не обязательно
в нормальной форме Хомского). Оцените сложность такого алгоритма.
309.
Предложите алгоритм, который по КС-грамматикеGи словуwнаходит
число различных деревьев вывода слова w в G.
310.
Предположим, что словоwдлиныnвыводимо в КС-грамматикеG. Каково
наибольшее возможное число пустых клеток
Кока-Янгера-Касами?
311.
КС-грамматикаG= (N,Σ
, P, S
) называется л и н е й н о й , если правая часть
любого правила содержит не более одного нетерминала. Предложите алгоритм,
который проверяет выводимость слова длиныnв линейной КС-грамматике за
время O(n2).
m
после выполнения алгоритма
i,j
394 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Указатель обозначений
/, 21
C1(M), 358
C2(M), 358
Dn, 221
0
D
, 223
n
E
, 289
кон
Ei, 289
GA, 232
Gск, 219
D
G
, 221
n
L(M), 54, 251
L(M, q), 56
L(q), 56
L∗, 16
L+, 16
1/2
L
, 24
LC, 378
Lск, 218
MC, 378
M
, 387
i,j
N
, 283
кон
Ni, 282
R(S), 154
R
, 285
кон
Ri, 285
S(L), 154, 157
S(w), 154, 157
S−1(L), 157, 158
S−1(w), 157
[−1]
S
(L), 158
⇒, 25
⇒T, 25
Σ∗, 11
Σ+, 11
\, 21
Λ, 28
·, 122
C
(A), 297
кон
Ci(A), 297
КОММ, 24
·, 11, 15
ЦИКЛ, 24
≈, 222
Eq(G), 112
≡, 93, 185
≡L, 138
≡i, 185
1
L, 24
2
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 395
L−1, 20
w−1, 14
Л
≡
, 137
L
Le(M), 251
Lf(M), 251
|w|, 10
|w|a, 11
MAX, 22
|, 44
MIN, 22
ПРЕФ, 20
П
≡
, 137
L
ТАС, 21
ПОДПОСЛ, 20
ПОДСЛ, 20
СУФ, 20
τw, 120
→, 25, 52
ε, 11
`, 29
∗,e
`
, 351
M
`M, 29, 53, 69, 117, 153, 250
yield(T ), 233
396 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Указатель терминов
ε-правило, 289
2ДКА, 117
АСЯ, 169
полное, 169
Абстрактное семейство языков,
169
полное, 169
Автомат
конечный
двусторонний, 117
детерминированный, 51
недетерминированный,
67
линейно-ограниченный, 38
с магазинной памятью, 249
детерминированный, 342
однозначный, 268
Автоматная отделимость, 147
Автоматы
конечные эквивалентные,
54
Аксиома, 33
Алгоритм
Кока-Янгера-Касами,
389
Алфавит, 10
вспомогательный, 33
входной, 51, 153
выходной, 153
магазинный, 249
основной, 33
Буква, 10
Булева алгебра, 166
Вершина
ветвящаяся, 326
левая, 327
правая, 327
Взаимозамещаемость, 138
левая, 137
правая, 137
Вход, 154
Вхождение слова, 13
Вывод
в полусистеме Туэ, 26
размеченный, 27
левый, 242
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ 397
правый, 242
слова из слова, 26
соответствующий дереву
вывода, 241
Выход, 154
Вычисление
ДКА, 53
Гомоморфизм, 18
неукорачивающий, 18
Грамматика
автоматная, 81
контекстно-зависимая, 37
контекстно-свободная, 43
без ε-правил, 290
без циклов, 301
бинарная, 279
леворекурсивная, 306
линейная, 393
неоднозначная, 245
обратимая, 281
однозначная, 244
операторная, 319
приведённая, 302
неукорачивающая, 38
порождающая, 33
праволинейная, 44
Грамматики
эквивалентные, 34
ДКА, 51
изоморфные, 62
минимальный, 185
ДМП-автомат, 342
дочитывающий, 362
Дерево вывода, 232, 233
полное, 235
соответствующее выводу,
239
Дерево вычислений НКА, 71
Диаграмма
конечного автомата, 52
конечного
преобразователя, 153
Длина
вывода, 26
правила, 34
Длина слова, 10
Замкнутость относительно
операции, 22
Иерархия Хомского, 36
Изоморфизм ДКА, 62
Итерация, 16
усечённая, 16
КЗ-грамматика, 37
КЗ-язык, 37
КС-грамматика, 43
КС-язык, 43
Квадратный корень, 24
Классы Майхилла-Нероуда,
138
Команда
ЛО-автомата, 39
МП-автомата, 250
конечного автомата, 52, 68,
117
398 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
пустая, 68
конечного
преобразователя, 153
Коммутативное замыкание, 24
Конечные преобразователи
эквивалентные, 154
Конкатенация
слов, 11
языков, 15
Контекст, 37
левый, 37
правый, 37
Конфигурация
2ДКА, 117
ДКА, 53
МП-автомата, 250
НКА, 69
заключительная, 53
зацикливающая, 356
конечного
преобразователя, 153
начальная, 53
Крона дерева, 233
ЛО-автомат, 38
Лемма
Огдена, 326
о выводимости
конкатенации, 231
о разрастании
для КС-языков, 320
для регулярных языков,
131
МП-автомат, 249
Максимум, 22
Маркер дна, 250
Машина Тьюринга, 28
Минимум, 22
Нетерминал, 33
бесполезный, 287
главный, 33
достижимый, 285
леворекурсивный, 306
начальный, 33
праворекурсивный, 306
пустой, 282
Нормальная форма
Грейбах
сильная, 315
слабая, 311
Куроды, 45
Хомского, 303
Образ
гомоморфный, 19
слова
при конечном
преобразовании, 154,
157
языка
при конечном
преобразовании, 154,
157
Обращение, 20
Обращение слова, 14
Отношение
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ 399
Майхилла-Нероуда, 138
выводимости, 25
конечного
преобразователя, 154
перехода за один шаг, 29
правоинвариантное, 142,
200
соединения, 200
Отображение, связанное со
словом, 120
Отсутствие предвосхищения,
63
Первые половины слов, 24
Перевод, 154
Переход за один шаг
2ДКА, 117
ДКА, 53
НКА, 69
для МП-автомата, 250
для конечного
преобразователя, 153
Подпоследовательность, 13, 20
Подслово, 13, 20
собственное, 13
Подстановка, 19
Полусистема Туэ, 25
Последовательность
соединяющая, 200
Правило, 25
пустое, 289
цепное, 297
Правило вывода, 33
Преобразование
конечное, 154
детерминированное, 157
обратное
детерминированное
конечное, 157
Преобразователь
конечный, 152
детерминированный, 156
Префикс, 13, 20
собственный, 13
Проблема
бесконечности, 172
включения, 174
принадлежности, 173
пустоты, 172
соответствий Поста, 46
тотальности, 175
эквивалентности, 174
Программа
ДКА, 52
МП-автомата, 249
НКА, 67
двустороннего ДКА, 117
конечного
преобразователя, 153,
156
машины Тьюринга, 28
Продолжение функции
переходов ДКА, 56
Проекция, 19
Произведение
400 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
класса Майхилла-Нероуда
на символ, 143
класса Майхилла-Нероуда
на слово, 143
отображения на символ,
121
Произведение ДКА, 63
Прообраз
гомоморфный, 19
слова
при конечном
преобразовании, 157
языка
при конечном
преобразовании, 157
Регулярное выражение, 91
Регулярные выражения
эквивалентные, 93
Решение
системы соответствий
Поста, 46
системы уравнений, 107
наименьшее, 108
Сверхслово, 15
Символ, 10
начальный магазина, 250
пустой, 28
Система соответствий Поста,
46
Система уравнений, 107
соответствующая
грамматике, 112
Слово, 10
Поста, 28
правильное скобочное, 218
приведённое, 222
пустое, 11
Состояние, 28, 51
заключительное, 52
начальное, 52
Состояния
i-эквивалентные, 185
эквивалентные, 185
Степень
языка, 16
Степень слова, 12
Суффикс, 13, 20
собственный, 13
Тасовка, 21
Теорема
Майхилла-Нероуда, 143
Нива, 163
Терминал, 33
Уравнение, 107
с регулярными
коэффициентами, 108
Функция Аккермана, 197
Функция переходов
ДКА, 52
МП-автомата, 249
НКА, 67
двустороннего ДКА, 117
Цепь Маркова, 60
Циклический сдвиг, 24