Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Программирование технологических контроллеров в среде Unity. Учебное пособие.pdf
101
Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями ис-
1
()
, ( ) ( ) .
()
d yp
p W p C pI A B
dt U p
()
yp
пользуются различные их преобразования. Если ввести оператор дифференцирования p = d/dt, это позволит записать дифференциальные
уравнения как алгебраические и ввести новую динамическую характеристику – передаточную функцию:
Структурный метод
Для расчета различных САУ их обычно разбивают на отдельные
элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка [10–12]. Причем
различные по своей физической природе элементы могут быть описаны одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их называют типовыми звеньями.
Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может
быть получена на основе как дифференциальных уравнений, так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного
метода. Он настолько широко используется в практике проектирования, что, по существу, может считаться одним из «языков», на котором
обсуждаются свойства САУ.
Типовые звенья
Рассмотрим подробнее отдельные типовые звенья и их различные
динамические характеристики.
Пропорциональное (усилительное) звено. Описывается передаточной функцией вида
() ,
Wp k
() 1().
ht k t
Переходная характеристика представлена на рис. 6.5.
Строго говоря, данное звено является не динамическим, а типовым.
Примерами таких звеньев могут служить безынерционные усилители,
механические редукторы, многие датчики сигналов.
()
Up
102
h(t)
t
k
()
() ,
()
() ().
yp
W p kp
Up
ht k t
h(t)
t
0
()
() ,
()
( ) 1( ) .
t
yp k
Wp
Up p
h t k d ktττ
Рис. 6.5. Переходная характеристика про порционального звена
Дифференцирующее звено. Описывается передаточной функцией
вида
Переходная характеристика представлена на рис. 6.6.
Рис. 6.6. Переходная характеристика диф ференцирующего звена
Примером дифференцирующего звена часто может служить тахогенератор постоянного тока.
Интегрирующее звено. Описывается передаточной функцией вида
Переходная характеристика представлена на рис. 6.7.
103
h(t)
t
1/k
()
() ,
() 1
( ) (1 ).
t
T
yp k
Wp
U p Tp
ht k e
h(t)
t
k
12
()
( ) ( 1),
()
yp
W p k k p k Tp
Up
2
1
1
, .
k
kk T
k
12
() 1() ().ht k t k tδ
Рис. 6.7. Переходная характеристика диф ференцирующего звена
Примером интегрирующего звена может служить операционный
усилитель в режиме интегрирования.
Апериодическое звено. Описывается передаточной функцией вида
Переходная характеристика представлена на рис. 6.8.
Рис. 6.8. Переходная характеристика апе риодического звена
Двигатели различного типа являются примерами такого звена.
Форсирующее звено. Описывается передаточной функцией вида:
где
104
По сути, форсирующее звено – это сумма пропорционального и
t
h(t)
()
() ,
()
( ) 1( ).
p
yp
W p ke
Up
ht k t
τ
τ
h(t)
t
τ
τ
12
()
21
yp k
дифференцирующего звеньев.
Переходная характеристика представлена на рис. 6.9.
Рис. 6.9. Переходная характеристика форси рующего звена
Звено с запаздыванием. Описывается передаточной функцией вида
Переходная характеристика представлена на рис. 6.10.
Примеры: транспортерная лента, полоса прокатываемого металла.
Звено 2-го порядка. Описывается передаточной функцией вида
Рис. 6.10. Переходная характеристика звена
с запаздыванием
() ,
Wp
()
Up
d
при 1
ht ce ce k t
tt
λλ
() 1().
12
22
T p dTp
105
При d ≥ 1 корни знаменателя передаточной функции вещественные
h(t)
t
k
12
при 0 1
( ) (cos ) 1( ).
t
d
ht ce t c k t
α
β
W(p)
U
y
и отрицательные, звено называется апериодическим звеном 2-го по-
рядка. Переходная характеристика представлена на рис. 6.11.
Рис. 6.11. Переходная характеристика звена
2-го порядка
При 0 ≤ d < 1 корни знаменателя передаточной функции комплексно-сопряженные, звено называется колебательным звеном
2-го порядка.
Чем меньше d, тем больше колебательность процесса. При d = 0
будут иметь место незатухающие колебания. Звено называется консервативным.
Примерам звена 2-го порядка может служить двигатель постоянного тока, если вход – напряжение якорной цепи, выход – скорость вращения и учитываются как постоянная времени цепи якоря, так и электромеханическая постоянная.
Структурные схемы. Структурные преобразования. Структурной
схемой называется графическая модель системы, в которой каждому
элементу ставится в соответствие его динамическая характеристика
(рис. 6.12).
Рис. 6.12. Изображение блока на структур ной схеме
106
С целью упрощения структурной схемы системы применяются раз-
W1(p)
Wm(p)
. . .
U
y
x1
x
m–1
1
() ().
m
i
i
y
Wp W p
U
W1(p)
W
m
(p)
U
y
y1
y
m
. . .
1
() ().
m
i
i
y
Wp W p
U
W1(p)
W2(p)
U
y
личные ее преобразования, приведем основные из них.
Последовательное соединение звеньев показано на рис. 6.13.
Рис. 6.13. Последовательное соединение m звеньев
Передаточная функция последовательного соединения звеньев
равна произведению передаточных функций всех звеньев
Параллельное соединение звеньев представлено на рис. 6.14.
Рис. 6.14. Параллельное соединение m звеньев
Передаточная функция параллельного соединения звеньев равна
сумме передаточных функций всех звеньев. Выходной сигнал – это
сумма выходных сигналов отдельных звеньев
Обратная связь. Может быть отрицательной и положительной. Отрицательная обратная связь показана на рис. 6.15.
Рис. 6.15. Отрицательная обратная связь
107
В этом случае передаточная функция всей системы вычисляется
1
12
()
() .
1 () ()
Wp
y
Wp
U W pW p
W1(p)
W2(p)
U
y
1
12
()
() .
1 () ()
Wp
y
Wp
U W pW p
lim ( ) .
t
ht k
следующим образом:
Положительная обратная связь показана на рис. 6.16.
Рис. 6.16. Положительная обратная связь
В этом случае передаточная функция всей системы вычисляется
следующим образом
Устойчивость. Важнейшим из свойств процессов, протекающих в
системах автоматики, является устойчивость. Физически устойчивость
означает, что при ограниченном входном сигнале выходной сигнал
также является ограниченным и процессы в системе стремятся к определенному значению при любых начальных условиях. Для линейной
системы устойчивость определяется только ее структурой и параметрами и не зависит от величины внешних воздействий и начальных условий.
Очевидно, что для устойчивой системы справедливо условие
Качественный вид переходных характеристик устойчивой и неустойчивой систем изображен на рис. 6.17.
108
2
t, с
1
h(t)
k
() ()
() .
() ()
yp Bp
Wp
Up Ap
1
21
( ) det( ) ... 0.
nn
n
A p pI A p a p a p a
i
Re( ) 0, 1, .inλ
Re
Im
*
*
*
*
2
3
1
Рис. 6.17. Переходные характеристики систем:
1 – устойчивая и 2 – неустойчивая
Общее условие устойчивости линейных систем. Для устойчивости
линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественная
часть всех корней характеристического уравнения (знаменателя передаточной функции) была отрицательной
Графическая интерпретация этого условия приведена на рис. 6.18.
Рис. 6.18. Распределение корней систем:
1 – устойчивой; 2 – находящейся на гнанице
устойчивости; 3 – неустойчивой
109
Применять это условие удобно только для систем невысокого по-
lim ( ) , const.
t
yt V V
V
y
t, с
y
max
y
∞
t
п.п
e
() (),et V yt
рядка, когда корни характеристического уравнения можно вычислить
аналитически. Для проверки устойчивости систем произвольного порядка (обычно начиная с 3-го) разработаны специальные критерии
устойчивости (Гурвица, Найквиста, Михайлова) [10–12], которые позволяют по характеристическому уравнению или частотной характеристике системы определить, содержит ли передаточная функция корни,
находящиеся на мнимой оси или в правой полуплоскости.
Показатели качества переходных процессов САУ. О качестве работы САУ можно судить по косвенным признакам, которые называются
показателями качества переходного процесса и определяются без непосредственного расчета переходного процесса. При этом всегда предполагается, что исследуемая система устойчива, так как бессмысленно
оценивать качество неустойчивых процессов.
Рассмотрим одноканальную систему стабилизации, для которой
входное воздействие является постоянной величиной, а цель регулирования состоит в организации свойства
Переходный процесс в такой системе показан на рис. 6.19.
Рис. 6.19. Иллюстрация основных показателей качества
Основными показателями качества таких систем являются следующие количественные характеристики переходного процесса.
Ошибка регулирования
которая с течением времени стремится к некоторому постоянному значению, называемому статической ошибкой.
110
Быстродействие – временной интервал от начала до конца пере-
п.п
t
max
% 100 %
yy
y
σ
ходного процесса
.
Оценок быстродействия несколько, одной из них является время
от начала процесса до момента достижения установившегося значения
со статической ошибкой, не превышающей заданного значения.
Перерегулирование. Характеризует склонность системы к забросам
за установившееся значение, определяется в процентах от установившегося значения по выражению
.
Очевидно, чем больше этот показатель, тем более система склонна к колебаниям. Для хороших систем этот показатель составляет
15–20 %, может быть и выше.
Режимы работы линейных САР. Выбор метода синтеза САР определяется технической ситуацией, поэтому целесообразно классифицировать режимы работы системы.
Существуют следующие режимы работы:
Режим отработки начальных условий – процесс перехода из произвольных начальных условий x(0) в равновесные при отсутствии
внешних воздействий на систему (V = 0, M = 0);
Режим отработки входа – процесс отработки входного воздейст-
вия, когда V = const;
Режим слежения за входом – процесс отработки изменяющегося
входного воздействия V(t) при нулевых начальных условиях и отсутствии возмущений (y(t) → V, V = var);
Режим отработки возмущений – процессы, вызванные в системе
возмущениями M(t) при фиксированных начальных условиях и V = const.
Методы синтеза линейных САУ. При отработке входа для описания процессов в САУ обычно используются следующие динамические
характеристики: h(t), g(t), W(p), W(jω), которым соответствуют определенные методы синтеза. К настоящему времени наиболее полно разработан частотный метод, основанный на логарифмических частотных
характеристиках.
Если рассматривается режим отработки начальных условий и возмущений, то лучше применять модальный метод синтеза.