Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Программирование вычислений. Учебное пособие
.pdf
Симметричность вытекает из четности
P x
P x
1, 1
P x
1 2
, , ..., ,
m
m n
m
P x Q x
1, 1
0
0
0
0
0
m n
P x
, 1,
x j n
,nP x
1, 1
j
q
j j
f x dx q f x
2 1
n
Q x
2 1
n
Q x U x P x V x
показать, что полином
Допустим противное, что полином
где
. Тогда полином
Q x x x
в интервале
n
m x
меняет знак в точках
n
1 2
...
меняет знак в тех же точках. Следовательно, произведение
сохраняет знак на
– если
так как
– если
P x Q x
n m
x P x Q x
n m
P x Q x
n m
, при этом:
1
, то
P x Q x
n m
1
);
1
, то
P x Q x
n m
1
что противоречит ортогональности полиномов при
Таким образом, полином Лежандра
n
, поэтому достаточно
n
меняет знак ровно n раз.
n m
(равенства быть не может,
,
.
имеет порядок n и в n точ-
ках меняет знак, значит, у него нет ни комплексных корней, ни кратных
корней.
5.3.3. Каноническая формула метода Гаусса
Возьмем в качестве узлов
которые согласно доказанной выше теореме все различны и расположены
в интервале
, а веса
Построенная таким образом квадратурная формула
называется канонической квадратурной формулой Гаусса.
Докажем, что построенная таким образом квадратурная формула
точна для полиномов степени
мально возможной степени.
Пусть
2 1n
. Очевидно, его можно представить в виде
, корни полинома Лежандра
j
найдем по формуле (56).
1
1
n
1
j
(60)
и тем самым для полиномов макси-
– произвольный алгебраический полином степени
2 1 1 1n n n n
,
61
где
U x
V x
1n
Q x
P x
1;1
P x
1n
Q x dx U x P x dx V x dx V x dx
j
q
1n
n j n j
V x dx q V x
0
j
x
j n j j n j n j j n j j n j
q Q x q U x P x q V x q V x
n j n j
Q x dx q Q x
j
x
j
q
j
x
0x
j
q
ления полинома
В силу ортогональности на отрезке
любому полиному степени
Квадратурная формула (36) с весами
и
1n
– полиномы степени
1n
2 1n
на полином Лежандра
(частное и остаток от де-
n
полинома Лежандра
справедливо:
1 1 1 1
2 1 1 1 1
n n n n n
1 1 1 1
, заданными формулой (56),
).
n
. (61)
как было показано выше, заведомо точна для полиномов степени
поэтому
Учитывая, что
P x
n j
1
1 1
1
(так как
n
1
j
. (62)
– корни полинома Лежандра),
получим
n n n n
2 1 1 1 1
1 1 1 1
j j j j
. (63)
Из (61) – (63) следует, что
1
2 1 2 1
1
n
1
j
. (64)
Обратим внимание, что в формуле (60) отсутствует остаточный член.
Это объясняется тем, что формула записана для шаблонного отрезка
длины 2, а не длины h, что делает бессмысленным само понятие остаточного члена для неё.
Таким образом, для практической реализации квадратурных формул
семейства Гаусса необходимо знать выражения корней полиномов Лежандра
тельно точки
и весов
(интегралов от базисных полиномов Лагранжа).
Как было показано выше, узлы
. Нетрудно доказать [4] и то, что веса
расположены симметрично относи-
положительны
и в симметричных узлах совпадают.
Узлы и веса для первых пяти формул семейства Гаусса приведены
ниже, в табл. 3.
,
62
Т а б л и ц а 3
j
x
j
q
1 3
8 9
3 5
5 9
3 2 6 5 7
18 30
36
3 2 6 5 7
18 30
36
128 225
5 2 10 7
3
322 13 70
900
5 2 10 7
3
322 13 70
900
1n
,
a b
,
k k
x x
1,
k N
x a
x b
1
k k k
h x x
, 1,
2 2
x x j n
n Корни полинома Лежандра
(узлы интерполяции
)
Интегралы от базисных
полиномов Лагранжа (веса
1 0 2
2
0
1
3
4
0
5
Как видно, при
1
1
формула Гаусса совпадает с канонической фор-
мулой прямоугольников.
5.3.4. Усложненная квадратурная формула Гаусса
Усложненная квадратурная формула для метода Гаусса строится так
же, как и для формул Ньютона–Котеса. Разобьем отрезок
на N про-
)
извольных частичных отрезков
. На каждом частичном отрезке зададим по n узлов (пропор-
ционально пересчитав корни полинома Лежандра):
,
1
x x h
1
k k k
, (65)
,
k j j
ˆ
,
,
0
63
,
N
где
ˆjx
f d
j k j k
q f x h
2 1
n
,
k k
x x
n
f x dx q h f x O h
2 1
n
*
I
h
I
h
k k m
– узлы канонической формулы Гаусса (60). В силу этого квадратур-
ная формула
x
k
x
1
k
f x dx
2
x x
1
h
k
2
k
h
k
n
1
j
также точна для полиномов степени
1
h x x h
k k k k
2 2 2
1
,
на отрезке
1
(66)
1
. Можно
доказать, что остаточный член данной формулы имеет вид [2]
2 1
n
4
h n
h f
k
k
2 ! 2 1
n n
!
3
2
n
. (67)
Суммируя соотношение (66) по k, получаем усложненную квадратурную формулу Гаусса:
b
a
n N
1
j k k j
2
1 1
j k
,
2
. (68)
Обратим внимание, что квадратурные формулы Гаусса имеют очень
высокий порядок, но их сходимость доказана только для случая, когда
функция имеет
непрерывную производную. Этим существенно
ограничивается область применимости методов типа Гаусса.
5.4. ПРАВИЛО РУНГЕ И ПОПРАВКА РИЧАРДСОНА
Мы рассмотрели несколько идей построения квадратурных формул,
однако так и не стало ясно, как на практике (когда истинное значение интеграла неизвестно) оценить, насколько точно решена задача численного
интегрирования. Рассмотрим один из универсальных способов такой
оценки – правило Рунге.
Пусть
– неизвестное точное значение некоторого интеграла,
его приближенное значение, полученное на сетке с параметром
с. 51), который может принимать сколь угодно малые значения. Запишем
квадратурную формулу в виде
*
I I Ch O h
, (69)
h
64
(см.
–
где C – некоторая не зависящая от h постоянная; k – порядок малости
1m
k m
k k m
k m
2 1
k m
( )
2 1
k m
( )
k m
остаточного члена квадратурной формулы;
– некоторое натуральное
число, определяемое остаточным членом квадратурной формулы.
Тогда для сетки с уменьшенным вдвое шагом справедливо
k
h
*
I I C O h
h
2
2
. (70)
Вычитая (69) из (70), получим
k
h
I I C O h
h
h
2
2 1
2
,
откуда
k
I I
h
h
C O h
2
2
k
2 1
h
. (71)
Подставив (71) в (70), получим правило Рунге оценки погрешности
численного интегрирования:
I I
h
*
I I O h
h
2
h
2
k
. (72)
Заметим, что остаточный член в (72) имеет более высокий порядок,
чем сама квадратурная формула. Это позволяет использовать полученный
результат оценки погрешности для уточнения решения. Квадратурная
формула
I I
h
*
I I O h
h
2
h
2
k
(73)
имеет, очевидно, более высокий порядок малости остаточного члена, чем
исходная формула (70). Такой способ повышения точности численного интегрирования называется поправкой Ричардсона.
Обратим внимание, что правило Рунге – это лишь приближенная
оценка погрешности (хотя порядок малости погрешности этой оценки
выше, чем порядок малости остаточного члена самого метода интегрирования). Фактически это означает, что оценка погрешности по правилу
Рунге, как и сам метод численного интегрирования, начинает работать
только при достаточно малых шагах, при больших же h влияние остаточ-
ного члена (который мы записали в виде
O h
) может оказаться суще-
ственным и оценка (69) окажется практически неверной. Кроме того,
65
оценка погрешности, как и сами квадратурные формулы, зависят от глад-
( )
k m
h
I
2
h
I
1 0.1
кости интегрируемой функции (поскольку фактически в
ется производная функции соответствующего порядка).
O h
скрыва-
Необходимо еще отметить, что при слишком малом шаге h на точность оценки начинает влиять конечность используемой для вычислений
арифметики, и оценка (72) вследствие этого может показать погрешность
численного интегрирования существенно меньшую, чем есть на самом
деле (просто потому, что значения
и
стали слишком мало разли-
чаться из-за конечности используемой для вычислений арифметики).
Кроме того, возможен случай, когда для интегрируемой функции константа C в (69) равна нулю (как видно из приведённых в этом пособии
квадратурных формул, константа C определяется именно интегрируемой
функцией). В этом случае правило Рунге даст неверную оценку просто потому, что порядок малости остаточного члена k определён неверно для
конкретной интегрируемой функции.
На практике для оценки возможности применения правила Рунге и поправки Ричардсона часто используют эмпирическое соотношение
I I
h
2
h
1
k
2 1
I I
h
2
h
2
. (74)
Фактически это соотношение проверяет, что на трех вложенных сетках погрешность падает в соответствии с порядком метода хотя бы в первой значащей цифре.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Значение величины
— приближенное 6
— — по избытку 6
— — по недостатку 6
— точное 6
Интерполяция 40
Исчезновение порядка 21
Квадратурная формула 48
— метода
— — Гаусса 61, 64
— — прямоугольников 49, 50
— — Симпсона 55, 56
— — трапеций 54, 55
— порядок
— — аппроксимации 48
— — метода 48, 51
— — точности 48
Матрица
— лента 30
— — полуширина 30
— — ширина 30
— портрет 36
— профиль 36
— — столбца 33
— — строки 33
— формат хранения
— — диагональный 26, 28
— — ленточный 26, 30
— — плотный 27
— — профильный 26, 33, 34
— — разреженный 26, 36
Округление чисел 9
Переполнение 23
Погрешность 4
— абсолютная 6
— арифметических операций 13
— относительная 7
Полином
— Лагранжа 41, 57
— Лежандра 58
Поправка Ричардсона 65
Потеря значащих цифр 16
Правила
— Брадиса 18
— записи приближенных чисел 10
Правило Рунге 65
Сплайн 41
Число
— верные цифры 9
— денормализованное 21, 23
— значащие цифры 8
— мантисса 8, 20
— нормализованное 8
— нормальное 8
— порядок 8, 20
— правила округления 9
— скрытый бит 21
— характеристика 20
Шаг разбиения 48, 51
Экстраполяция 40
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. – М.: Мир, 1988.
2. Вержбицкий В.М. Численные методы. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.:
Наука, 1966.
4. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. – М.: Наука,
1979.
5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.:
БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012, 413 c.
Рояк Михаил Эммануилович
Рояк Светлана Хаимовна
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Учебное пособие
2-е издание, исправленное и дополненное
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.С. Семенова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка С.Х. Рояк
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать _12.12.2024. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 100 экз.
Уч.-изд. л. 3,95 Печ. л. 4,25 Изд. № 167. Заказ № 212. Цена договорная
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]