Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Программирование вычислений. Учебное пособие
.pdf
частичного сегмента
,
i i
x x
i
h
, ,
i i i i i
f x dx h f f x x
i i
h h c
max ( )
M f x
2
C c
3 2 2 2
h h f h h Ch h h
24
C M b a
2
h O h
(эти длины
1
часто называют шагами
сетки). На каждом частичном сегменте применим каноническую квадра-
турную формулу и просуммируем полученные результаты. Построенная
таким образом квадратурная формула называется усложненной:
b
a
N N
i i
x x h
1
i i i
2 24
1 1
3
1
. (43)
Заметим, что вид остаточного члена в формуле (43) не вполне удачен,
поскольку по нему сложно судить о порядке метода (хотя легко видеть,
что порядок точности остался первым). Проблема в том, что понятие «порядок метода» мы определяли для постоянного шага, а не для переменного.
Для непостоянного шага порядок метода обычно определяют следующим образом. Выбирается некоторый параметр сетки h, называемый
тоже шагом, который является общим множителем всех остальных шагов
(например, максимальный или минимальный из всех), т.е.
. Смысл
в том, чтобы определить понятие «изменение шага сетки», т.е. при уменьшении параметра h вдвое все шаги сетки одновременно уменьшатся
вдвое. Тогда появляется возможность определить порядок малости остаточного члена относительно этого параметра h, что и будем называть далее порядком метода на неравномерной сетке.
Определим порядок метода прямоугольников. Пусть
x a b
,
,
i n
.
i
1,
max
Тогда остаточный член в формуле (43) можно оценить следующим образом:
N N N
1
24 24 24 24
i i i i i
1 1 1
i i i
M M
C M b a
.
Так как
– константа, не зависящая от параметра h, то можно
утверждать, что остаточный член усложненной квадратурной формулы
прямоугольников имеет как минимум второй порядок малости относи-
тельно параметра h, т.е.
.
51
5.2. СЕМЕЙСТВО ФОРМУЛ НЬЮТОНА–КОТЕСА
f x dx h h
0, 0
0, 0
h f h
,0
h
h
0,
f C h
F x
f x
F x
F h F hF F h t F t dt
hf f h t f t dt
h
y
0
f x
x
Описанный выше метод прямоугольников фактически построен на
том, что интегрируемая функция заменяется кусочно-постоянной. Идея
улучшить точность квадратурных формул путем более точной интерполяции подынтегрального выражения приводит к семейству формул Нью-
тона–Котеса. Основной идеей метода Ньютона–Котеса является замена
на каждом шаге интегрирования подынтегральной функции каким-либо
интерполяционным полиномом (чаще всего полиномом Лагранжа с равномерной расстановкой точек, включая концы отрезка).
5.2.1. Метод трапеций
Простейшим вариантом формул Ньютона–Котеса
является метод трапеций, получаемый заменой
подынтегральной функции на каждом шаге линейной
функцией, определяемой двумя точками – значениями
интегрируемой функции на концах отрезка:
h
Формула (44) получила такое название, поскольку для положительной
функции, как это видно из рисунка, площадь криволинейной трапеции,
аппроксимируется площадью трапеции с вершинами
0
0
f f h
2
,
. (44)
,
f
,
,
.
Получим в явном виде остаточный член
ции
членом в интегральной форме, получим для функции
2
выражением (38), тогда используя формулу Тейлора с остаточным
. Как и ранее, определим первообразную
2
h
0 0 0
0 0 0
2 2
2
h
2 2
52
формулы (44) для функ-
функции
h
1
0
h
1
0
2
2
, (45)
и аналогично для
f x
f h f hf h t f t dt
f f h
2
f f h
f f h
h f h t f t dt
h f h f h t f t dt h t f t dt
.
t h t f t dt
, 0,
f x dx h f h
0 1
N
a x x x b
1
i i i
h x x
1,
i N
Из выражений (44), (45) получаем
:
0 0
h
h f x dx h
0
F h F h
h
0
0
0
0
. (46)
2
2
h
f f h
Отсюда, используя теорему о среднем значении интеграла, получаем остаточный член в явном виде:
Таким образом, каноническая формула трапеций с остаточным членом имеет вид
Для получения усложненной квадратурной формулы метода трапеций
разобьем, как и для метода прямоугольников (см. с. 50), промежуток интегрирования на N отрезков:
0 0
hf f h t f t dt h
0
2 2 2
1 1
h t h t f t dt f t h tdt f
2 2 12
h
0
2 2 2
0
f f h
2 2 2
h
h h
0 0
h
1
0
2
h
h h
0
0 0
h
1
2
0
0
f f h
2 12
...
2
h
1
0
0
3
h
,
0
2
1
,
2
3
h
. (47)
.
.
53
Применив на каждом частичном сегменте каноническую квадратур-
f x dx f a h f x h h f b h h
, ,
f x dx h f x h f a b
N
1N
( )
f x dx
2 2
h h
0, 0
2 2
h h
f x
0
/ 2
h
/ 2
h
y
x
ную формулу (47) и просуммировав результаты, получим усложненную
квадратурную формулу трапеций:
b
a
1
2
1
N
1 1
i i i N
1
i
, (48)
где h, как и в методе прямоугольников, общий параметр – шаг. Несложно
показать, что остаточный член в формуле (48) имеет второй порядок малости относительно этого параметра.
Если промежуток разбит на N равных частей, то усложненная квадратурная формула трапеций с остаточным членом примет вид
b
a
f a f b
2 2 12
N
i
1
i
1
2
b a
.
Заметим, что по сравнению с методом прямоугольников точность метода трапеций в смысле порядка остаточного члена и порядка точности не
увеличилась. В принципе, это и не слишком удивительно, поскольку число
вычислений функции тоже практически не изменилось (при больших N,
очевидно, не важно, делать
вычислений или
).
5.2.2. Метод Симпсона
Метод Симпсона также относится к семейству формул Ньютона –
Котеса, в нем подынтегральная функция заменяется квадратичным полиномом.
Иногда этот метод называют методом парабол, поскольку для положительной функции,
как видно из рисунка, интеграл
/2
h
/2
h
приближенно заменяется площадью криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через точки:
,
f
,
f
,
f
,
.
54
Указанная парабола задается уравнением
2
y x f x x
h
h
f x dx y x dx h f f f h
h
,
2 2
h h
F x
0 0 0 0
,
t f t dt
f x
0 0 0 0
t f t dt
F x
f x
h h
f f
0
,
2 2
2 2 0
h h
f f f
2 2
2
откуда получается каноническая формула Симпсона
/2 /2
h h
/2 /2
h h
Получим в явном виде остаточный член
h h h
6 2 2
4 0
формулы (49) . Для этого
. (49)
потребуем от подынтегральной функции большей гладкости, чем для ме-
тода прямоугольников и трапеций, пусть теперь
f C
4
. Тогда,
согласно формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме,
для функции
h h h h h
F f f f f
2 2 8 48 384
и аналогично для
f f f f f
Из выражений (51), (50), учитывая, что
, определяемой соотношением (38), имеем
2 3 4
/2
h
1
24 2
0
4
h
h h h h
2 2 8 48
2 3
/2
h
1
6 2
0
3
h
(4 )
(50)
(4 )
. (51)
– первообразная
получаем
/2
h
h f x dx f f f
/2
h
h h h h h
F F f f f
2 2 6 2 2
h h h
4 0
6 2 2
4 0
,
55
3
hf f t f t f t dt
t t f t f t dt
5
2 24 2 36 5760
h h h h
( ) 4 0 ( )
1
[ , ]
i i
x x
i i i
f x dx f x f f x h
N i
f x dx f a h f b h f h
4
f x h h O h
h h
h h h
6 8 6 2
0 0
24 24 2
2 0 0 4 0
f f t f t f t dt f
2
/2
h
1
24 2 36 2
0
/2
h
h h h
1
0
/2
h
1
0
4 3
4
(4 ) ( 4)
3
(4 ) ( 4)
(4 ) ( 4)
(52)
Применив теорему о среднем и преобразовав полученное значение
с учётом того, что
/2
h
0
3
1
t t dt
, (53)
получим каноническую формулу Симпсона с остаточным членом:
/2
h
f x dx f f f f
/2
h
h h h h
6 2 2 2880
5
(4 )
. (54)
Как и для метода трапеций и прямоугольников (см. с. 50), для получения усложненной квадратурной формулы метода Симпсона разобьём
отрезок интегрирования на N сегментов. Запишем каноническую формулу Симпсона применительно к отрезку
x
i
( ) 4
x
1
i
h x x
i i i
1
6 2
1
:
.
Суммируя левую и правую часть этого соотношения по i от 1 до N,
получаем усложненную квадратурную формулу Симпсона
b
( ) 4
a
1
1
N
1
i
1
i i i
6 2
N
x x
1
i i
i
1
1
. (55)
Таким образом, метод Симпсона имеет четвертый порядок. В принципе, можно строить по той же идее, путем повышения степени интерполяционного полинома, и другие методы семейства Ньютона – Котеса (заметим, однако, что фактически порядок метода повышается только при
четных степенях полинома [2], т.е. следующий после метода Симпсона порядок, шестой, будет у метода с интерполяцией по пяти точкам).
56
5.3. МЕТОД ГАУССА
n
j
x
,
a b
j
q
2
n
j
x
, 1,
q j n
2
n
2
P x x x x x x
0
0
P x
1n
n
1, 1
1, 1
1,
j n
q p x dx
1,
j n
В формулах семейства Ньютона–Котеса точки (узлы интерполяции)
на каждом шаге сетки расставлялись равномерно. Можно попробовать
найти среди всех квадратурных формул с
ную формулу с таким расположением узлов
весами
, при которых она точна для алгебраических полиномов макси-
узлами вида (36) квадратур-
на отрезке
и с такими
мально возможной степени. Именно на такой идее основано семейство
квадратурных формул Гаусса.
Заметим, что искомая максимальная степень полинома, для которой интегрирование будет точным, обязательно меньше, чем
узлов интерполяции), так как при любом выборе узлов интерполяции
(удвоенное число
и
весов
j
, можно построить полином степени
2 1 2n n
2 2
вида
,
который обладает тем свойством, что
b
P x dx
2
n
a
,
n
j
1
q P x
2
j n j
,
т.е. приближенное равенство (36) не может стать точным.
5.3.1. Интегрирование полинома с использованием
базисных полиномов Лагранжа
Сначала покажем, как можно просто и точно посчитать интеграл от
любого полинома
1n
степени
, вычисляя его значения в
произ-
вольных точках.
Очевидно, что любой полином совпадает с построенным для него
интерполяционным полиномом Лагранжа той же степени (в силу теоремы
о существовании и единственности интерполяционного полинома).
Построим формулы интегрирования для отрезка
x
j
,
– произвольные различные узлы. Возьмем в качестве
. Пусть
весов квадратурной формулы
1
j j
1
,
, (56)
57
где
p x
1n
L x
P x dx L x dx p x P x dx
,
j n j j n j
p x dx P x q P x
1n
( ) 1
n
( )nP x
1 ...
1
n x P x n P x
n
0 1
P P x
3 1 , 5 3 , 35 30 3 , ...
2 2 8
полинома степени
(20), для
– базисные полиномы Лагранжа (19) для интерполяционного
j
. Тогда, учитывая определение полинома Лагранжа
получим равенство
1n
1 1 1
1 1 1
n n j n j
1 1 1
1
n n
1 1
j j
1
n
1
j
1 1
а значит, квадратурная формула с выбранными параметрами точна для любых полиномов
степени.
Для дальнейшего построения метода Гаусса нам понадобятся полиномы Лежандра.
5.3.2. Полиномы Лежандра
Полиномом Лежандра называется полином, определяемый выражением
n
1
d
P x x
n
2 !!
n
dx
2
n
. (57)
Полином Лежандра
является алгебраическим полиномом n-й
степени со старшим коэффициентом, не равным нулю, так как при n-крат-
ном дифференцировании полинома
n
2 2 2 2
x x nx
n n
степень понижается в точности на n.
Для полиномов Лежандра справедлива рекуррентная формула [4]
2 1
1,
n n
, может быть найден полином
P x
1
n
по которой с учетом того, что
Лежандра любой степени. В частности:
1 1 1
P x x P x x x P x x x
2 3 4
2 3 4 2
58
1
,
Теорема об ортогональности полиномов Лежандра. Полином Ле-
( )nP x
1,1
( )mQ x
m n
( ) ( ) 0
0
0, 1
k n
n Q x P x dx Q x dx
Q x Q x dx
Q x Q x dx
Q x dx
( 1) ( ) 0
1;1
0, ,
, .
n m
жандра
степени
ортогонален в пространстве
, т.е.
1
Q x P x dx
m n
1
L
2
любому полиному
. (58)
Поскольку
2
k n
( 1)
d x
dx
k
x
,
1
,
последовательно интегрируя по частям, получим
1 1
2 !! ( ) ( ) ( )
m m
m n m
1 1
1
1 2 1 2
n n n n
( 1) ( 1)
d x d x
( ) ( )
1 1
n n
dx dx
1
1
1
2
n n
( 1)
d x
dx
n
…
1 1
n m n m
d x d x
2 1 1
m m m
( ) ( 1) ( )
m m
( 1) ( 1)
n m n m
dx dx
( 1) ( )
Следствие. На отрезке
1
2 2
n n
1 1
1
( )
m m
m
d x
( )
m m
Q x
m
полиномы Лежандра обладают следую-
1
1
1
1
n m n
2
n m n
( 1)
d x
n m
dx
1 2
( 1)
1
n m
dx
1
.
1
щим свойством:
n m
2
2 1
n
(59)
1
, ( ) ( )
P P P x P x dx
n m n m
1
Ортогональность следует непосредственно из теоремы.
59
Для вычисления нормы полиномов Лежандра воспользуемся интегри-
P x dx P x x Q x dx P x x dx
x dx
x dx
x d x x x dx
x dx
x x x n x x dx
x x dx
2
2 1
n
1, 1
рованием по частям:
1 1 1
2
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
1 1 1
(2 1)!! ( 1) ( 1)
n d x d x
!(2 )!!
n n
(2 1)!! (2 1)!!
n n
n n
(2 1)!! ( 1)
n d x
!(2 )!!
n n dx
(2 1)!! ( 1)
n d x
!(2 )!!
n n
n n n n
n n
x dx
(2 1)!! ( 1)
n d x
1 !(2 )!!
n n
n n
1
! !
1 2 1 1 2 1
n n
dx dx
1
2
n n
1
1
n n
n
x d
1
1
1 1
1
1
1
n
1
n
n
1 2 1
1
n
dx
1
1
1 2 1
n n
1
n
dx
…
(2 1)!! (2 1)!!
n n
1 2 1 2 1 2
n n n n
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
(2 )!! (2 2)!!
(2 1)!! 1
n
1 3 2 1 3 2 2
n n n
( 1) ( 1) 1 2 ( 1)
(2 2)!! 3
n
1 1
n n
1 1
(2 1)!! 1
n
1 2 1 3
n n
( 1) ( 1)
(2 2)!! 3
n
(2 1)!! 1
n
2 2 2 4
n n
( 1) ( 1)
(2 4)!! 3
n
1
1
1
1
1
1
1
1
…
1
2
n
x dx
1
.
Теорема о корнях полиномов Лежандра. Все корни полинома Лежандра действительные, простые (однократные) и расположены в интервале
симметрично относительно начала координат.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]