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ivanov666
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Файл:Элементы программирования при решении математических задач. Учебное пособие
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ɉɈɇəɌɂȿ Ɉ ȼɕɑɂɋɅɂɌȿɅɖɇɈɃ ȽȿɈɆȿɌɊɂɂ
§ 1. Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
Ɉɛɴɟɤɬɵ, ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɟ ɜ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ, ɨɛɵɱɧɨ ɡɚɞɚɸɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚɦɢ ɬɨɱɟɤ ɜ ɟɜɤɥɢɞɨɜɨɦ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ – ɱɚɫɬɧɨɦ, ɜɚɠɧɨɦ
ɫɥɭɱɚɟ ɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ. Ɉɬɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɱɚɫɬɨ ɷɬɨ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɟ
ɧɟɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɞɥɹ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɯ ɡɚɞɚɱ. ɉɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɡɚɞɚɧɚ
ɫɢɫɬɟɦɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɤɚɠɞɚɹ ɬɨɱɤɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦɚ ɧɚɛɨɪɨɦ (ɜɟɤɬɨɪɨɦ) ɞɟɤɚɪɬɨɜɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ. Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɨɛɴɟɤɬɵ ɧɟ ɨɛɹɡɚɧɵ ɫɨɫɬɨɹɬɶ
ɢɡ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɬɨɱɟɤ
ɨɩɢɫɚɧɧɵɦ ɤɨɧɟɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ
ɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ
n
ɉɨɞ
R
ɛɭɞɟɦ ɩɨɧɢɦɚɬɶ n-ɦɟɪɧɨɟ ɟɜɤɥɢɞɨɜɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ ɞɟɣ-
R, ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɧɚɛɨɪɨɜ (ɬɨɱɟɤ) ɪ = (ɯ
ɫɬɨɹɳɢɯ ɢɡ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɫ ɨɛɵɱɧɵɦ ɫɤɚɥɹɪɧɵɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ:
ɪ ɦɨɠɧɨ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɢɪɨɜɚɬɶ ɬɚɤɠɟ ɢ ɤɚɤ n-ɦɟɪɧɵɣ ɜɟɤɬɨɪ, ɢɫɯɨɞɹɳɢɣ ɢɡ
ɬɨɱɤɭ
ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
ɬɨɱɤɢ
ɪ.
n
R
ɫɨ ɫɜɨɛɨɞɧɵɦ ɤɨɧɰɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ ɪ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɤɚɤ ɪɚɞɢɭɫ-ɜɟɤɬɨɪ
ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɵ ɞɜɟ ɪɚɡɧɵɟ ɬɨɱɤɢ
, ɧɨ ɞɨɥɠɧɵ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɭɫɥɨɜɢɸ: ɛɵɬɶ
(ɱɚɫɬɨ ɤɨɧɟɱɧɵɦɢ ɰɟɩɨɱɤɚɦɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ).
, …, ɯn), ɫɨ-
1
def
n
),...,,(),,...,,(
yyyqxxxp
R
2121 nn
q
ɢɡ Rn. Ɍɨɝɞɚ ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹ
1 ɢ q2
n
¦
yxqppq
i
1
. ɉɪɢ ɷɬɨɦ
ii
),(
tǜq
+ (1– t)ǜq2 (tR)
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɦɵɯ ɬɨɱɟɤ
ɩɪɹɦɨɣ ɜ R
q
, …, qk, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɯ Rn (k n), ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹ
1
n
. ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɧɵɯ k ɥɢɧɟɣɧɨ ɧɟɡɚɜɢɫɢ-
1
t1q
+ t
+ … + t
1
2q2
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɵɦ ɦɧɨɝɨɨɛɪɚɡɢɟɦ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɢ (k – 1) ɜ
Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹ
ɜɵɩɭɤɥɭɸ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɸ ɞɥɹ
+ (1 – t1 – … – t
k–1qk–1
tǜq
1
q
1 ɢ q2
(tjR, j = 1, …, k – 1)
k–1)qk
n
R
.
+ (1 – t)ǜq2 ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ 0 t 1 ɨɩɪɟɞɟɥɢɬ
. ɗɬɚ ɜɵɩɭɤɥɭɸ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɸ
tǜq
+ (1 – t)ǜq2 (tR, 0 t 1)
1
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɵɦ ɨɬɪɟɡɤɨɦ ɢɥɢ ɨɬɪɟɡɤɨɦ, ɫɨɟɞɢɧɹɸɳɢɦ ɞɜɟ
ɬɨɱɤɢ:
q
. Ȼɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɷɬɨɬ ɨɬɪɟɡɨɤ ɤɚɤ [q1, q2] (ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɚɹ ɩɚ-
ɪɚ). ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɬɨɱɤɢ
1 ɢ q2
q
ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɤɨɧɰɚɦɢ ɨɬɪɟɡɤɚ [q1, q2].
1 ɢ q2
Ɉɤɪɟɫɬɧɨɫɬɶɸ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ p ɪɚɞɢɭɫɚ r ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ
Ɉ
(ɪ) ɬɨɱɟɤ ɢɡ Rn ɬɚɤɨɟ, ɱɬɨ
r
Ɉ
(ɪ) = {q Rn : |p – q| < r},
r
ɝɞɟ
def
||
n
2
xppp
.
¦
i
1
i
71
ɉɊɂȼȺɅɈȼ Ⱥ. Ⱥ. ɗɅȿɆȿɇɌɕ ɉɊɈȽɊȺɆɆɂɊɈȼȺɇɂə ɉɊɂ Ɋȿɒȿɇɂɂ ɆȺɌȿɆȺɌɂɑȿɋɄɂɏ ɁȺȾȺɑ
Ɂɚɞɚɱɚ. Ⱦɨɤɚɠɢɬɟ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ a < b, ɬɨ Ɉ
ɪ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɚɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ D ɢɡ Rn, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɝɪɚɧɢɱɧɨɣ
Ɍɨɱɤɚ
ɬɨɱɤɨɣ D
ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ
, ɟɫɥɢ ɜ ɥɸɛɨɣ ɟɟ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ Ɉr(ɪ) ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɬɨɱɤɢ qɈr(ɪ),
D (qD), ɢ ɬɨɱɤɢ qɈ
Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɬɨɱɟɤ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ
Ɍɨɱɤɚ
ɪ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɚɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ D ɢɡ Rn, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɣ
ɬɨɱɤɨɣ D
, ɟɫɥɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɶ Ɉr(ɪ), ɥɟɠɚɳɚɹ ɜ D (Ɉr(ɪ)D).
Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ
D ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɤɪɵɬɵɦ, ɟɫɥɢ ɜɫɟ ɟɝɨ ɬɨɱɤɢ ɜɧɭɬɪɟɧɧɢɟ.
ɉɭɫɬɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɨɬɤɪɵɬɵɦ ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ.
Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ
ɬɵɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ
D ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɜɹɡɧɵɦ, ɟɫɥɢ ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɜ R
Ⱥ ɢ ȼ, ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɵɯ ɩɭɫɬɨ (Ⱥȼ = ), ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ
(ɪ) Ɉb(ɪ) .
a
(ɪ), ɧɟ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ D (qD).
r
D ɛɭɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɤɚɤ D.
n
ɞɜɭɯ ɨɬɤɪɵ-
ȺD ɢ ȼD ɧɟ ɩɭɫɬɵ ɢ D Ⱥȼ.
Ɉɬɤɪɵɬɨɟ ɢ ɫɜɹɡɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ
Ɉɛɥɚɫɬɶ
n
D ɢɡ R
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɩɭɤɥɨɣ, ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɩɚɪɵ ɬɨɱɟɤ q
D ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɥɚɫɬɶɸ.
1 ɢ q2
ɢɡ D ɨɬɪɟɡɨɤ [q1, q2] ɰɟɥɢɤɨɦ ɥɟɠɢɬ ɜ D ([q1, q2]D).
Ʌɟɝɤɨ ɞɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɟɦ ɜɵɩɭɤɥɵɯ ɨɛɥɚɫɬɟɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɵɩɭɤ-
D
ɥɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ. ȼ ɫɚɦɨɦ ɞɟɥɟ, ɩɭɫɬɶ
q
ɪɟɫɟɱɟɧɢɟɦ ɢ
ɨɬɪɟɡɨɤ [
. ɉɨɷɬɨɦɭ [q1, q2] D1D2.
D
2
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ
, q2D1D2. Ɍɨɝɞɚ q1, q2D1 ɢ, ɬɚɤ ɤɚɤ D1 ɜɵɩɭɤɥɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ, ɬɨ
1
q
, q2] D1. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, ɢɡ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ q1, q2D2, ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ [q1, q2]
1
n
R
ɜɵɩɭɤɥɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ.
ȼɵɩɭɤɥɨɣ ɨɛɨɥɨɱɤɨɣ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɬɨɱɟɤ S, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɯ R
ɟɬɫɹ ɝɪɚɧɢɰɚ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɣ ɜɵɩɭɤɥɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ
SDD).
(
Ɇɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɦ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ
ɢ D2 – ɜɵɩɭɤɥɵɟ ɨɛɥɚɫɬɢ ɫ ɧɟɩɭɫɬɵɦ ɩɟ-
1
n
n
D ɜ R
, ɤɨɬɨɪɚɹ ɨɯɜɚɬɵɜɚɟɬ S
2
R
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ
, ɧɚɡɵɜɚ-
ɨɬɪɟɡɤɨɜ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɤɚɠɞɵɣ ɤɨɧɟɰ ɨɬɪɟɡɤɚ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɪɨɜɧɨ ɞɜɭɦ ɨɬɪɟɡɤɚɦ
ɢ ɧɢɤɚɤɨɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɷɬɢɯ ɨɬɪɟɡɤɨɜ ɧɟ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɭɤɚɡɚɧɧɵɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ.
ɗɬɢ ɨɬɪɟɡɤɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ
ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ. (Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɱɢɫɥɨ ɫɬɨɪɨɧ ɢ ɱɢɫɥɨ ɜɟɪɲɢɧ ɫɨɜɩɚɞɚ-
ɧɚɦɢ
ɸɬ). Ɇɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ ɫ
Ɇɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɫɬɨɪɨɧɚɦɢ (ɢɧɨɝɞɚ ɪɟɛɪɚɦɢ), ɚ ɢɯ ɤɨɧɰɵ – ɜɟɪɲɢ-
N-ɜɟɪɲɢɧɚɦɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬ N-ɭɝɨɥɶɧɢɤɨɦ.
ɩɪɨɫɬɵɦ, ɟɫɥɢ ɧɢɤɚɤɚɹ ɩɚɪɚ ɧɟɩɨɫɥɟɞɨɜɚ-
ɬɟɥɶɧɵɯ ɪɟɛɟɪ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɨɛɳɢɯ ɬɨɱɟɤ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ ɀɨɪɞɚɧɚ ɭɬɜɟɪɠɞɚɟɬ, ɱɬɨ ɩɪɨɫɬɨɣ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ ɪɚɡɛɢɜɚɟɬ
ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ
ɪɚɧɢɱɟɧɧɭɸ)) ɢ
2
R
ɧɚ ɞɜɟ ɧɟɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɟɫɹ ɨɛɥɚɫɬɢ – ɜɧɭɬɪɟɧɧɸɸ (ɤɨɧɟɱɧɭɸ (ɨɝ-
ɜɧɟɲɧɸɸ (ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɭɸ (ɧɟɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɭɸ)), ɪɚɡɞɟɥɟɧɧɵɟ
ɷɬɢɦ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɦ (ɝɪɚɧɢɰɟɣ).
ȼ ɨɛɢɯɨɞɟ ɬɟɪɦɢɧ «ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ» ɱɚɫɬɨ ɭɩɨɬɪɟɛɥɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɹ ɝɪɚɧɢɰɵ ɢ ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ.
ɉɪɨɫɬɨɣ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ
Ɋ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɩɭɤɥɵɦ, ɟɫɥɢ ɟɝɨ ɜɧɭɬɪɟɧɧɹɹ
ɨɛɥɚɫɬɶ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɵɩɭɤɥɨɣ.
ɉɪɨɫɬɨɣ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ
ɬɨɱɤɚ
z, ɧɟ ɜɧɟɲɧɹɹ ɞɥɹ Ɋ, ɬɚɤɚɹ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɬɨɱɟɤ ɪ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɯ Ɋ, ɨɬ-
z, p] ɥɟɠɢɬ ɜ Ɋ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɬɨɱɟɤ z, ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɯ ɭɤɚɡɚɧ-
ɪɟɡɨɤ [
ɧɵɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɹɞɪɨɦ
Ɋ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɡɜɟɡɞɧɵɦ, ɟɫɥɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ
Ɋ.
72
ɉɈɇəɌɂȿ Ɉ ȼɕɑɂɋɅɂɌȿɅɖɇɈɃ ȽȿɈɆȿɌɊɂɂ
Ɂɚɞɚɱɚ. Ⱦɨɤɚɠɢɬɟ, ɱɬɨ ɥɸɛɨɣ ɜɵɩɭɤɥɵɣ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ ɡɜɟɡɞɧɵɣ
ɢ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫɨ ɫɜɨɢɦ ɹɞɪɨɦ.
ɉɭɫɬɶ
V ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ ɩɪɢɪɨɞɵ ɢ ȿV×V. ɍɩɨ-
ɪɹɞɨɱɟɧɧɚɹ ɩɚɪɚ
ɜɟɪɲɢɧɚɦɢ, ɚ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ȿ (ɬɨ ɟɫɬɶ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɟ
ɸɬɫɹ
v
ɩɚɪɵ (
1, v2
ɤɨɧɰɟɜɵɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ) ɪɟɛɪɚ (v
(
Ƚɪɚɮ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɛɟɡ ɫɚɦɨɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ: ɩɥɨɫɤɚɹ ɭɤɥɚɞɤɚ ɩɥɚɧɚɪɧɨɝɨ ɝɪɚɮɚ
ɷɬɨ ɨɬɨɛɪɚɠɟɧɢɟ ɤɚɠɞɨɣ ɜɟɪɲɢɧɵ ɢɡ
ɪɟɛɪɚ ɢɡ
ȿ ɜ ɩɪɨɫɬɭɸ (ɬɨ ɟɫɬɶ ɢɦɟɸɳɭɸ ɤɨɧɟɱɧɭɸ ɞɥɢɧɭ) ɥɢɧɢɸ, ɫɨɟɞɢɧɹɸ-
G = <V, ȿ> ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɝɪɚɮɨɦ, ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɬɨɱɤɢ vV ɧɚɡɵɜɚ-
), ɝɞɟ v 1,
V) – ɪɟɛɪɚɦɢ ɝɪɚɮɚ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ v 1,
v2
)ȿ.
1, v2
ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɤɨɧɰɚɦɢ
v2
ɩɥɨɫɤɢɦ ɢɥɢ ɩɥɚɧɚɪɧɵɦ, ɟɫɥɢ ɟɝɨ ɦɨɠɧɨ ɭɥɨɠɢɬɶ ɧɚ
V ɜ ɬɨɱɤɭ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ R
G = <V, ȿ> –
2
, ɚ ɤɚɠɞɨɝɨ
ɳɭɸ ɩɚɪɭ ɨɛɪɚɡɨɜ ɤɨɧɰɟɜɵɯ ɜɟɪɲɢɧ ɷɬɨɝɨ ɪɟɛɪɚ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɨɛɪɚɡɵ ɪɟɛɟɪ ɩɟɪɟɫɟɤɚɥɢɫɶ ɬɨɥɶɤɨ ɜ ɫɜɨɢɯ ɤɨɧɰɟɜɵɯ ɬɨɱɤɚɯ.
ɏɨɪɨɲɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɥɸɛɨɣ ɩɥɚɧɚɪɧɵɣ ɝɪɚɮ ɦɨɠɧɨ ɭɥɨɠɢɬɶ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɜɫɟ ɟɝɨ ɪɟɛɪɚ ɨɬɨɛɪɚɡɢɥɢɫɶ ɜ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɵɟ ɨɬɪɟɡɤɢ. ɉɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɚɹ ɭɤɥɚɞɤɚ ɪɟɛɟɪ ɩɥɨɫɤɨɝɨ
ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɟ
ɩɥɚɧɚɪɧɵɦ ɩɨɞɪɚɡɛɢɟɧɢɟɦ, ɢɥɢ ɤɚɪɬɨɣ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɝɪɚ-
ɧɢɰɵ ɤɨɬɨɪɵɯ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɵ ɪɟɛɪɚɦɢ, ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ
ɝɪɚɮɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɪɚɡɛɢɟɧɢɟ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ,
ɝɪɚɧɹɦɢ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
ɜ ɩɨɧɹɬɢɟ «ɝɪɚɧɢ» ɜɯɨɞɹɬ ɩɪɨɫɬɵɟ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɢ ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɚɦɢ – ɪɟɛɪɚɦɢ
ɝɪɚɮɚ ɢ ɨɞɧɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɚɹ ɨɛɥɚɫɬɶ.
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ
Ȟ – ɱɢɫɥɨ ɜɟɪɲɢɧ, ɟ – ɱɢɫɥɨ ɪɟɛɟɪ ɢ f – ɱɢɫɥɨ ɝɪɚɧɟɣ (ɜɤɥɸ-
ɱɚɹ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɭɸ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɭɸ ɝɪɚɧɶ) ɬɚɤɨɝɨ ɩɨɞɪɚɡɛɢɟɧɢɹ. Ɍɨɝɞɚ ɷɬɢ ɬɪɢ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɫɜɹɡɚɧɵ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ
ɮɨɪɦɭɥɨɣ ɗɣɥɟɪɚ:
Ȟ – ɟ + f = 2.
Ɂɚɞɚɱɚ. Ⱦɨɤɚɠɢɬɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ:
2
°
3
°
°
®
°
°
°
¯
QQ
ee
dd
,63,
2
effe
dd
,63
,
3
QQ
fF
dd
,42,42
ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɨɤɚɡɵɜɚɸɬ, ɱɬɨ
Ȟ, ɟ ɢ f ɩɨɩɚɪɧɨ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɵ. Ɉɬɦɟɬɶɬɟ, ɱɬɨ
ɬɪɢ ɩɪɚɜɵɯ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɜɟɪɧɵ ɩɪɢ ɜɫɟɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ.
ɉɥɚɧɚɪɧɨɟ ɪɚɡɛɢɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɝɪɚɧɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚɦɢ.
ɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɥɨɫɤɢɣ ɝɪɚɮ ɫ
V = S, ɢɦɟɸɳɢɣ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɪɟɛɟɪ.
Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɹ
ɬɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɟɣ, ɟɫɥɢ ɜɫɟ ɟɝɨ ɤɨɧɟɱɧɵɟ
Ɍɪɢɚɧɝɭɥɹɰɢɟɣ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ S ɧɚ-
S ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɩɭɬɟɦ ɫɨɟɞɢɧɟɧɢɹ ɬɨɱɟɤ ɢɡ S ɧɟ-
ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɦɢɫɹ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɵɦɢ ɨɬɪɟɡɤɚɦɢ ɬɚɤ, ɱɬɨ ɥɸɛɚɹ ɝɪɚɧɶ, ɥɟɠɚɳɚɹ
ɜɧɭɬɪɢ ɜɵɩɭɤɥɨɣ ɨɛɨɥɨɱɤɢ
S, ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɦ.
73
ɉɊɂȼȺɅɈȼ Ⱥ. Ⱥ. ɗɅȿɆȿɇɌɕ ɉɊɈȽɊȺɆɆɂɊɈȼȺɇɂə ɉɊɂ Ɋȿɒȿɇɂɂ ɆȺɌȿɆȺɌɂɑȿɋɄɂɏ ɁȺȾȺɑ
ɉɨɥɢɷɞɪɨɦ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ R
3
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɚɤɨɟ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ
ɩɥɨɫɤɢɯ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ, ɤɨɝɞɚ ɤɚɠɞɚɹ ɫɬɨɪɨɧɚ ɥɸɛɨɝɨ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ
ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɟɳɟ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɨɫɬɚɥɶɧɵɯ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ (ɫɦɟɠɧɵɟ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɢ), ɢ ɧɢɤɚɤɨɟ ɢɡ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɷɬɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ɧɟ
ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɭɤɚɡɚɧɧɵɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ. ȼɟɪɲɢɧɵ ɢ ɫɬɨɪɨɧɵ ɷɬɢɯ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ
ɧɚɡɵɜɚɸɬ
ɜɟɪɲɢɧɚɦɢ ɢ ɪɟɛɪɚɦɢ ɞɚɧɧɨɝɨ ɩɨɥɢɷɞɪɚ, ɚ ɫɚɦɢ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɢ –
ɝɪɚɧɹɦɢ ɩɨɥɢɷɞɪɚ.
ɉɨɥɢɷɞɪ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɩɪɨɫɬɵɦ, ɟɫɥɢ ɧɢɤɚɤɚɹ ɩɚɪɚ ɧɟɫɦɟɠɧɵɯ ɟɝɨ ɝɪɚɧɟɣ
ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɨɛɳɢɯ ɬɨɱɟɤ. ɉɪɨɫɬɨɣ ɩɨɥɢɷɞɪ ɪɚɡɛɢɜɚɟɬ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɧɚ ɞɜɟ ɧɟɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɟɫɹ ɨɛɥɚɫɬɢ –
ɜɧɭɬɪɟɧɧɸɸ (ɤɨɧɟɱɧɭɸ) ɢ ɜɧɟɲɧɸɸ (ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɭɸ).
(ȼ ɨɛɢɯɨɞɟ ɬɟɪɦɢɧ «ɩɨɥɢɷɞɪ» ɱɚɫɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɞɥɹ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɨɛɴɟɞɢɧɟ-
ɧɢɹ ɝɪɚɧɢɰɵ ɢ ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɣ ɨɛɥɚɫɬɢ).
ɉɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɥɸɛɨɝɨ ɩɨɥɢɷɞɪɚ ɢɡɨɦɨɪɮɧɚ ɩɥɚɧɚɪɧɨɦɭ ɩɨɞɪɚɡɛɢɟɧɢɸ.
ɉɨɷɬɨɦɭ ɱɢɫɥɚ
Ȟ, ɟ ɢ f ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɞɥɹ ɟɝɨ ɜɟɪɲɢɧ, ɪɟɛɟɪ ɢ ɝɪɚɧɟɣ ɭɞɨɜɥɟ-
ɬɜɨɪɹɸɬ ɮɨɪɦɭɥɟ ɗɣɥɟɪɚ.
ɉɪɨɫɬɨɣ ɩɨɥɢɷɞɪ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɜɵɩɭɤɥɵɦ, ɟɫɥɢ ɟɝɨ ɜɧɭɬɪɟɧɧɹɹ ɨɛɥɚɫɬɶ
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɵɩɭɤɥɵɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ.
§ 2. ɇɟɤɨɬɨɪɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ
ɂɡɥɨɠɟɧɢɟ ɦɚɬɟɪɢɚɥɚ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɢ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɡɚɞɚɱ.
ɇɚɱɧɟɦ ɫɨ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɩɪɨɫɬɨɣ ɡɚɞɚɱɢ.
Ɂɚɞɚɱɚ ȼȽ0. ɇɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɢɦɟɸɬɫɹ ɞɜɚ ɨɬɪɟɡɤɚ Ⱥȼ ɢ ɋD. Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɩ-
ɪɟɞɟɥɢɬɶ: ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹ ɨɧɢ ɢɥɢ ɧɟɬ?
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɬɨɱɟɤ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɯ ɤɚɠɞɨɦɭ ɢɡ ɷɬɢɯ ɨɬɪɟɡɤɨɜ,
ɡɚɞɚɸɬɫɹ ɤɚɤ
Ⱥȼ = {Ⱥt + B(1 – t) : 0 t 1} ɢ CD ={Ct + D(1 – t): 0 t 1} , ɬɨ
ɞɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɜɵɹɫɧɢɬɶ, ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹ ɥɢ ɷɬɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ
ɢɥɢ ɧɟɬ. Ɍɨ ɟɫɬɶ ɜɵɹɫɧɢɬɶ, ɢɦɟɟɬ ɥɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɚ:
xxxttx
WW
)1()1(
°
°
®
dd
t
10
°
°
dd
W
10
¯
DCBA
°
yyytty
WW
)1()1(
°
DCBA
®
°
°
¯
W
W
dd
t
10
dd
W
10
.
xxxxxxt
)()(
BDCDBA
yyyyyyt
)()(
BDCDBA
Ɉɞɧɚɤɨ ɬɚɤɨɣ ɩɨɞɯɨɞ ɢɦɟɟɬ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɤ, ɬɪɟɛɭɸɳɢɣ ɚɧɚɥɢɡɚ ɪɟɲɟɧɢɣ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ. ɉɨɫɬɭɩɢɦ ɢɧɚɱɟ. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɨɬɪɟɡɤɢ
Ⱥȼ ɢ ɋD ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹ, ɟɫɥɢ ɜɟɤɬɨɪ Ⱥȼ ɛɭɞɟɬ ɥɟɠɚɬɶ ɦɟɠɞɭ ɜɟɤɬɨɪɚɦɢ Ⱥɋ
ɢ
ȺD, ɚ ɜɟɤɬɨɪ ɋD – ɦɟɠɞɭ ɋȺ ɢ ɋȼ. ɗɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɜɟɤɬɨɪɧɵɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟ-
ɧɢɟ
Ⱥȼ × Ⱥɋ ɢ Ⱥȼ × ȺD ɛɭɞɭɬ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɵ ɜ ɪɚɡɧɵɟ ɫɬɨɪɨɧɵ ɜɦɟɫɬɟ ɫ ɋD ×
ɢ ɋD × ɋȼ. ȼɟɤɬɨɪɧɵɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɨɩ-
ɋȺ
ɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ:
74
ɉɈɇəɌɂȿ Ɉ ȼɕɑɂɋɅɂɌȿɅɖɇɈɃ ȽȿɈɆȿɌɊɂɂ
kji
ACAB )))(())(((
yyxx
u
ABAB
yyxx
ACAC
0
0
k.
yyxxyyxx
AbACAcAB
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɞɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɷɬɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɫɨɜɦɟɫɬɧɨɟ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ:
((
ɯ
)(yC –
ȼ – ɯA
) – (ɯC –
yA
)(yB –yA))((ɯȼ –
ɯA
ɯA
)(yD –
) – (ɯD –
yA
)(yB –yA)) 0
ɯA
ɢ
((
ɯ
C – ɯD
)(yC –
) – (ɯC –
yA
ɯA
)(yC –
))((ɯC –ɯD)(yC –yB) – (ɯC –
yD
ɯB
)(yC –
yD
)) 0.
ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɣ ɩɪɟɞɥɚɝɚɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɧɟ
ɬɨɥɶɤɨ ɨɰɟɧɢɜɚɟɬ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɯ ɨɬɪɟɡɤɨɜ ɜ ɤɜɚɞɪɚɬɟ [0,1] × [0,1], ɧɨ ɢ ɧɨɫɢɬ ɪɚɡɜɥɟɤɚɬɟɥɶɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ, ɢɡɨɛɪɚɠɚɹ ɞɜɚ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɨɬɪɟɡɤɚ.
Ⱥɥɝɨɪɢɬɦ 24 (ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɟ ɞɜɭɯ ɨɬɪɟɡɤɨɜ
ɫ ɨɰɟɧɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɢɯ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ).
function d(a,b,c,e){return (a*e-b*c)}
n=10000; s=0; for(j=0; j<n; j++){for(i=0; i<8; i++)v[i]=random();
x=v[2]-v[0]; y=v[3]-v[1]; x1=v[6]-v[0]; y1=v[7]-v[1];
if(d(x,y,x1,y1)*d(x,y,(v[4]-v[0]),(v[5]-v[1]))>0)t='ɇȿ ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹ'
else{x=v[6]-v[4]; y=v[7]-v[5]; x1=v[0]-v[4]; y1=v[1]-v[5];
if(d(x,y,x1,y1)*d(x,y,(v[2]-v[4]),(v[3]-v[5]))>0)t='ɇȿ ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹ';
else{s++; t='ɉɟɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹ'}}}
u[0]=new Array(); u[1]=new Array(); u[2]=new Array(); cle()
u[0][0]=v[0]+','+v[1]; u[0][1]=v[2]+','+v[3]; u[1][0]=v[4]+','+v[5];
u[1][1]=v[6]+','+v[7]; wc[0]='red'; wc[1]='blue'; wt[0]=3; wt[1]=3; ris(u,wc,wt,3)
t+'\nɈɰɟɧɤɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɨ ɱɚɫɬɨɬɟ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ = '+s/n
Ɂɞɟɫɶ ɦɨɞɟɥɢɪɭɸɬɫɹ
ɜɚɟɬɫɹ ɱɢɫɥɨ ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɯɫɹ ɩɚɪ ɢ ɱɚɫɬɨɬɚ (ɱɢɫɥɨ
n ɩɚɪ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɨɬɪɟɡɤɨɜ ɢɡ ɤɜɚɞɪɚɬɚ, ɩɨɞɫɱɢɬɵ-
n ɜ ɬɟɤɫɬɟ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ɪɚɜ-
ɧɨ 10000, ɟɝɨ ɦɨɠɧɨ ɦɟɧɹɬɶ), ɢ ɩɨɫɥɟɞɧɹɹ ɩɚɪɚ ɢɡɨɛɪɚɠɚɟɬɫɹ ɧɚ ɞɢɫɩɥɟɟ.
75
ɉɊɂȼȺɅɈȼ Ⱥ. Ⱥ. ɗɅȿɆȿɇɌɕ ɉɊɈȽɊȺɆɆɂɊɈȼȺɇɂə ɉɊɂ Ɋȿɒȿɇɂɂ ɆȺɌȿɆȺɌɂɑȿɋɄɂɏ ɁȺȾȺɑ
ɉɟɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹ
Ɉɰɟɧɤɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ
ɩɨ ɱɚɫɬɨɬɟ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɣ = 0,2314
Ɂɚɞɚɱɚ ȼȽ1
ɯɨɞɢɬɫɹ ɥɢ
ɉɨɥɶɡɭɹɫɶ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɣ ɡɚɞɚɱɟɣ, ɞɨɤɚɠɟɦ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɬɟɨɪɟɦɭ.
. Ⱦɚɧɵ ɩɪɨɫɬɨɣ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ Ɋ ɢ ɬɨɱɤɚ ɯ; ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ, ɧɚ-
ɯ ɜɧɭɬɪɢ Ɋ?
Ɍɟɨɪɟɦɚ 20 (ɡɚɞɚɱɚ ȼȽ1). ɉɪɢɧɚɞɥɟɠɧɨɫɬɶ ɬɨɱɤɢ ɯ ɩɪɨɫɬɨɦɭ n-
ɭɝɨɥɶɧɢɤɭ
Ɋ ɦɨɠɧɨ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɡɚ ɜɪɟɦɹ Ɉ(n) ɛɟɡ ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨɣ ɨɛɪɚɛɨɬɤɢ.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ. ɉɭɫɬɶ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ Ɋ[a,b]×[c,d]. ɉɪɨɜɟɞɟɦ ɱɟɪɟɡ
ɯ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɵɣ ɨɬɪɟɡɨɤ q ɫ ɚɛɫɰɢɫɫɚɦɢ ɤɨɧɰɨɜ a ɢ b. Ɍɨɝɞɚ ɥɟɜɵɣ
ɬɨɱɤɭ
ɤɨɧɟɰ
q ɥɟɠɢɬ ɜɧɟ Ɋ ɫɥɟɜɚ, ɩɪɚɜɵɣ – ɫɩɪɚɜɚ. ȿɫɥɢ q ɧɟ ɩɟɪɟɫɟɤɚɟɬ Ɋ, ɬɨ ɬɨɱɤɚ
ɯ – ɜɧɟɲɧɹɹ. ɉɭɫɬɶ q ɩɟɪɟɫɟɤɚɟɬ Ɋ, ɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɜ ɧɚɱɚɥɟ ɫɥɭɱɚɣ, ɤɨɝɞɚ q ɧɟ
ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɧɢ ɨɞɧɭ ɢɡ ɜɟɪɲɢɧ
ɫ ɝɪɚɧɢɰɟɣ Ɋ ɫɥɟɜɚ ɨɬ
ɞɨ
ɯ. ɇɚ ɫɚɦɨɦ ɥɟɜɨɦ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɢ q ɫ ɝɪɚɧɢɰɟɣ Ɋ ɦɵ ɩɨɩɚɞɟɦ ɜɧɭɬɪɶ Ɋ, ɧɚ
ɯ. Ȼɭɞɟɦ ɞɜɢɝɚɬɶɫɹ ɩɨ q ɨɬ ɥɟɜɨɝɨ ɤɨɧɰɚ ɧɚɩɪɚɜɨ ɜɩɥɨɬɶ
ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɢ ɜɵɣɞɟɦ ɧɚɪɭɠɭ ɢ ɬ.ɞ. ɉɨɷɬɨɦɭ
ɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ
ɱɟɪɟɡ ɜɟɪɲɢɧɵ
Ɋ, ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɣ ɩɨɜɨɪɨɬ q ɜɨɤɪɭɝ ɬɨɱɤɢ ɯ ɧɟ ɢɡɦɟɧɢɬ
L ɧɟɱɟɬɧɨ. ȼ ɜɵɪɨɠɞɟɧɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ q ɩɪɨɯɨɞɢɬ
ɤɥɚɫɫɢɮɢɤɚɰɢɢ (ɜɧɭɬɪɢ/ɜɧɟ) ɬɨɱɤɢ
Ɋ. ɉɭɫɬɶ L – ɱɢɫɥɨ ɬɨɱɟɤ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ q
ɯ ɥɟɠɢɬ ɜɧɭɬɪɢ Ɋ ɬɨ-
ɯ, ɧɨ ɭɫɬɪɚɧɢɬ ɜɵɪɨɠɞɟɧɧɨɫɬɶ. Ɉɬɫɸɞɚ
ɢ ɡɚɞɚɱɢ ȼȽ0 ɫɥɟɞɭɟɬ ɚɥɝɨɪɢɬɦ: ɩɨɫɱɢɬɚɬɶ ɱɢɫɥɨ ɬɨɱɟɤ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɨɬɪɟɡɤɚ
ɯ0ɯ, ɝɞɟ ɯ
ɱɟɬɧɨ, ɬɨ
ɥɟɜɵɣ ɤɨɧɟɰ q, ɫ n ɪɟɛɪɚɦɢ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ Ɋ. ȿɫɥɢ ɷɬɨ ɱɢɫɥɨ ɧɟ-
0 –
ɯ ɥɟɠɢɬ ɜɧɭɬɪɢ Ɋ ɢ ɜɧɟ – ɟɫɥɢ ɱɟɬɧɨ.
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɷɬɨɬ ɩɪɨɫɬɨɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɢɦɟɟɬ ɫɥɨɠɧɨɫɬɶ
Ɉ(n). Ɍɟɨɪɟɦɚ
ɞɨɤɚɡɚɧɚ.
Ɂɚɞɚɱɚ ȼȽ2. Ⱦɚɧɵ ɜɵɩɭɤɥɵɣ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ Ɋ ɢ ɬɨɱɤɚ ɯ; ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ,
ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɥɢ
ɯ ɜɧɭɬɪɢ Ɋ?
Ɍɟɨɪɟɦɚ 21 (ɡɚɞɚɱɚ ȼȽ2). ȼɪɟɦɹ ɨɬɜɟɬɚ ɧɚ ɡɚɩɪɨɫ ɨ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɧɨɫɬɢ
ɬɨɱɤɢ ɜɵɩɭɤɥɨɦɭ
n-ɭɝɨɥɶɧɢɤɭ ɪɚɜɧɨ Ɉ(log n) ɩɪɢ ɡɚɬɪɚɬɟ Ɉ(n) ɩɚɦɹɬɢ ɢ Ɉ(n)
ɜɪɟɦɟɧɢ ɧɚ ɩɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɭɸ ɨɛɪɚɛɨɬɤɭ.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ. ɉɭɫɬɶ Ɋ – ɜɵɩɭɤɥɵɣ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ ɫ ɜɟɪɲɢɧɚɦɢ ɪ
ɪ
, …, ɪn. ȼɨɡɶɦɟɦ ɤɚɤɭɸ-ɧɢɛɭɞɶ ɜɧɭɬɪɟɧɧɸɸ ɬɨɱɤɭ q ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ Ɋ, ɟɟ
2
ɥɟɝɤɨ ɧɚɣɬɢ: ɧɚɩɪɢɦɟɪ,
q – ɰɟɧɬɪ ɦɚɫɫ ɤɚɤɨɣ-ɥɢɛɨ ɬɪɨɣɤɢ ɜɟɪɲɢɧ Ɋ (ɤɨɨɪɞɢ-
ɧɚɬɵ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ – ɫɪɟɞɧɢɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɢɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ). Ⱦɚɥɟɟ ɢɡ ɷɬɨɣ
ɬɨɱɤɢ ɩɪɨɜɟɞɟɦ
ɤɥɢɧɶɟɜ. ɋɱɢɬɚɹ
76
n ɥɭɱɟɣ ɱɟɪɟɡ ɜɟɪɲɢɧɵ Ɋ. Ɉɧɢ ɪɚɡɨɛɶɸɬ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ ɧɚ n
q ɧɚɱɚɥɨɦ ɩɨɥɹɪɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ, ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɨɬɵɫɤɚɬɶ ɬɨɬ
,
1
ɉɈɇəɌɂȿ Ɉ ȼɕɑɂɋɅɂɌȿɅɖɇɈɃ ȽȿɈɆȿɌɊɂɂ
ɤɥɢɧ, ɝɞɟ ɥɟɠɢɬ ɬɨɱɤɚ ɯ, ɩɪɨɜɟɞɹ ɛɢɧɚɪɧɵɣ ɩɨɢɫɤ, ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɥɭɱɢ ɫɥɟɞɭɸɬ
ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ ɢɯ ɭɝɥɨɜ. ɉɨɫɥɟ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɤɥɢɧɚ ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ
ɫɪɚɜɧɢɬɶ
ɢ ɪɟɲɢɬɶ, ɥɟɠɢɬ ɥɢ
ɜ ɩɨɢɫɤɟ
ɯ ɫ ɬɟɦ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɦ ɪɟɛɪɨɦ Ɋ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɪɚɡɪɟɡɚɟɬ ɷɬɨɬ ɤɥɢɧ,
ɯ ɜɧɭɬɪɢ Ɋ.
Ȼɢɧɚɪɧɵɣ ɩɨɢɫɤ ɡɚɣɦɟɬ
q ɢ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɢ ɜɟɪɲɢɧ ɪ
Ɉ(log n) ɜɪɟɦɟɧɢ, ɩɪɟɞɨɛɪɚɛɨɬɤɚ ɫɨɫɬɨɢɬ
, ɪ2, …, ɪn ɜ ɫɬɪɭɤɬɭɪɟ ɞɚɧɧɵɯ, ɩɪɢɝɨɞɧɨɣ
1
ɞɥɹ ɞɜɨɢɱɧɨɝɨ ɩɨɢɫɤɚ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɜ ɜɟɤɬɨɪɟ). Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɷɬɨ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨɞɟɥɚɬɶ
ɡɚ ɜɪɟɦɹ
ɱɚɫɨɜɨɣ ɫɬɪɟɥɤɢ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɭɝɥɵ (
Ɉ(n).
ɉɭɫɬɶ ɜɟɪɲɢɧɵ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɜɨɤɪɭɝ ɰɟɧɬɪɚ
ɪiqp
) ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ (ɡɧɚɤ ɭɝɥɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ-
i+1
q ɩɪɨɬɢɜ
ɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ, ɤɚɤ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ȼȽ0). Ɍɨɝɞɚ ɫɯɟɦɚ ɧɚɲɟɝɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ɛɭɞɟɬ ɫɨɫɬɨɹɬɶ ɢɡ ɞɜɭɯ ɲɚɝɨɜ:
1)
Ɇɟɬɨɞɨɦ ɞɜɨɢɱɧɨɝɨ ɩɨɢɫɤɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ɤɥɢɧ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɥɟɠɢɬ ɬɨɱɤɚ ɯ
(
ɯ ɥɟɠɢɬ ɦɟɠɞɭ ɥɭɱɚɦɢ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɦɢ p
ɤɨɝɞɚ ɭɝɥɵ (
2)
ȿɫɥɢ p
ɤɨɝɞɚ ɭɝɨɥ (
ɯqp
) ɢ (ɯqpi) ɢɦɟɸɬ ɪɚɡɧɵɟ ɡɧɚɤɢ).
ɢ p
i
i+1
, ɧɚɣɞɟɧɵ, ɬɨ ɯ – ɜɧɭɬɪɟɧɧɹɹ ɬɨɱɤɚ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ,
i+1
ɪip
ɯ) ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɣ.
i+1
ɢ p
, ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ,
i
i+1
Ɍɟɨɪɟɦɚ ɞɨɤɚɡɚɧɚ.
ɋɥɟɞɭɸɳɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɧɟ ɬɚɤɨɣ ɩɪɨɫɬɨɣ, ɦɨɠɧɨ ɫɤɚɡɚɬɶ, ɧɟɨɠɢɞɚɧɧɵɣ,
ɧɨ, ɤ ɫɨɠɚɥɟɧɢɸ, ɟɝɨ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɡɚɣɦɟɬ ɦɧɨɝɨ ɜɪɟɦɟɧɢ, ɢ ɦɵ ɟɝɨ ɨɩɭɫɬɢɦ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ 22
. ȼɪɟɦɹ ɨɬɜɟɬɚ ɧɚ ɡɚɩɪɨɫ ɨ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɧɨɫɬɢ ɬɨɱɤɢ ɡɜɟɡɞɧɨɦɭ
n-ɭɝɨɥɶɧɢɤɭ ɪɚɜɧɨ Ɉ(log n) ɩɪɢ ɡɚɬɪɚɬɟ Ɉ(n) ɩɚɦɹɬɢ ɢ Ɉ(n) ɜɪɟɦɟɧɢ ɧɚ ɩɪɟɞ-
ɜɚɪɢɬɟɥɶɧɭɸ ɨɛɪɚɛɨɬɤɭ.
ȼ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɢɡɭɱɟɧɢɹ ɢ ɢɡɥɨɠɟɧɢɢ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɩɨɹɜɢɥɚɫɶ ɡɚɞɚɱɚ ɢ ɞɚɠɟ ɰɢɤɥ ɡɚɞɚɱ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɵ ɫɟɣɱɚɫ ɩɨɞɪɨɛɧɨ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ.
ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ
1.
ɇɚɣɬɢ ɩɪɹɦɭɸ l ɫ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɣ ɫɭɦɦɨɣ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɣ ɞɨ ɷɬɢɯ ɬɨɱɟɤ, ɬɨ
ɟɫɬɶ ɬɚɤɭɸ, ɱɬɨ
n ɬɨɱɟɤ Ⱥ
n
i
, Ⱥ2, …, Ⱥn (n > 2) ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ. Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ:
1
n
d
i
1
lArlAr
),(),(
i
, l1,
1
¦¦
1
i
ɝɞɟ
r(A, l) – ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɬɨɱɤɢ Ⱥ ɞɨ ɩɪɹɦɨɣ.
2.
ɇɚɣɬɢ ɩɪɹɦɭɸ l ɫ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɣ ɫɭɦɦɨɣ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɣ ɞɨ ɷɬɢɯ
ɬɨɱɟɤ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɬɚɤɭɸ, ɱɬɨ
n
2
1
i
n
2
d
¦¦
i
lArlAr
),(),(
, l1.
1
i
1
i
3. ɇɚɣɬɢ ɩɪɹɦɭɸ l ɧɚɢɦɟɧɟɟ ɭɤɥɨɧɹɸɳɭɸɫɹ ɨɬ ɷɬɢɯ ɬɨɱɟɤ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɬɚɤɭɸ,
ɱɬɨ
d
i
ni dddd
11
),(max),(max
lArlAr
, l1.
1
i
ni
ɇɚɡɨɜɟɦ ɷɬɢ ɡɚɞɚɱɢ ȼȽ4, ȼȽ5 ɢ ȼȽ6.
77
ɉɊɂȼȺɅɈȼ Ⱥ. Ⱥ. ɗɅȿɆȿɇɌɕ ɉɊɈȽɊȺɆɆɂɊɈȼȺɇɂə ɉɊɂ Ɋȿɒȿɇɂɂ ɆȺɌȿɆȺɌɂɑȿɋɄɂɏ ɁȺȾȺɑ
Ɂɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ l ɜ ɜɢɞɟ:
ycosĮ – xsinĮ + c = 0,
ɝɞɟ Į – ɭɝɨɥ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɫ ɨɫɶɸ ɚɛɫɰɢɫɫ (Ɉɯ), ɫ – ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɱɢɫɥɨ,
ɬɨɝɞɚ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɬɨɱɤɢ
ɢ ɧɚɲɢ ɡɚɞɚɱɢ ɫɜɨɞɹɬɫɹ ɤ ɦɢɧɢɦɢɡɚɰɢɢ ɮɭɧɤɰɢɣ
11
22
ff
Ⱥ(ɯ
, ɭ0) ɞɨ l ɪɚɜɧɨ r(A, l) = |ɭ0cosĮ – ɯ0sinĮ + c |
0
¦
n
1
i
n
¦
1
i
1
dd
ni
ii
ii
,|sincos|),(
cxycSS
DDD
2
,)sincos(),(
cxycSS
DDD
ii
DDD
(20)
|,sincos|max),(
cxycSS
ɝɞɟ (xi, yi) – ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɟɤ Ⱥi(xi,yi), i = 1, … n.
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɢ (20) ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵ ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦ
ɡɚɞɚɱɢ 1–3 ɢɦɟɸɬ ɪɟɲɟɧɢɹ. ɉɪɹɦɚɹ
ɦɟɧɟɟ ɭɤɥɨɧɹɸɳɟɣɫɹ
ɫɬɪɚɧɫɬɜɚ
ɬɨɱɟɤ
l
). ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɡɚɞɚɱɢ 2 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɪɹɦɚɹ ɧɚɢɦɟɧɟɟ ɭɤɥɨɧɹɸɳɟɣɫɹ ɨɬ
1
Ⱥ
, Ⱥ2, …, Ⱥn ɜ l2-ɦɟɬɪɢɤɟ (ɩɨ ɧɨɪɦɟ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ l2 ɢɥɢ ɟɜɤɥɢɞɨɜɨɣ
1
ɨɬ ɬɨɱɟɤ Ⱥ1, Ⱥ2, …, Ⱥn ɩɪɹɦɨɣ ɜ l1-ɦɟɬɪɢɤɟ (ɩɨ ɧɨɪɦɟ ɩɪɨ-
l – ɪɟɲɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɣ ɡɚɞɚɱɢ, ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɚɢ-
ɦɟɬɪɢɤɟ). ɂ, ɧɚɤɨɧɟɰ, ɪɟɲɟɧɢɟ ɬɪɟɬɶɟɣ ɡɚɞɚɱɢ –
Ⱥ
ɬɨɱɟɤ
ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ
ɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɟɣ
, Ⱥ2, …, Ⱥn ɩɪɹɦɨɣ ɜ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɣ ɦɟɬɪɢɤɟ (lf-ɦɟɬɪɢɤɟ ɢɥɢ ɩɨ ɧɨɪɦɟ
1
l
ɢɥɢ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ m).
f
l
ɇɚɩɨɦɧɢɦ,
(p 1) – ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɥɢɧɟɣɧɨɟ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ ɩɨɫɥɟɞɨ-
p
§
z = (z
, z2,… ) ɫ ɧɨɪɦɨɣ
1
¨
¦
j
©
ɧɚɢɦɟɧɟɟ ɭɤɥɨɧɹɸɳɟɣɫɹ ɨɬ
1
p
·
p
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¹
Į ɢ ɫ, ɩɨɷɬɨɦɭ
, ɟɫɥɢ ɪ = f, ɬɨ lf –
ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɵɯ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɟɣ – ɥɢɧɟɣɧɨɟ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ
||max||||||||
ɫ ɧɨɪɦɨɣ
f
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɟɪɜɭɸ ɡɚɞɚɱɭ ȼȽ4. ɉɭɫɬɶ
ɩɪɹɦɚɹ, ɬɨɝɞɚ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɩɪɢɦɨɣ
zzz
(ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɚɹ ɧɨɪɦɚ) .
j
j
l
: ycosĮ1 – xsinĮ1 + c1 = 0, ɛɭɞɟɬ ɜɵɩɨɥɧɹɬɶɫɹ
1
l: ycosĮ – xsinĮ + c = 0 – ɢɫɤɨɦɚɹ
ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ:
s0 = S
(Į, c) S2(Į1, c1). (21)
2
Ⱦɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɬɨɝɞɚ ɩɪɹɦɚɹ ɛɭɞɟɬ ɫɨɞɟɪɠɚɬɶ, ɩɨ ɤɪɚɣɧɟɣ ɦɟɪɟ, ɞɜɟ ɬɨɱ-
ɤɢ ɢɡ
Ⱥ
, Ⱥ2, …, Ⱥn.
1
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ
Ⱥ
}. ȼɜɟɞɟɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɫ ɨɫɶɸ ɚɛɫɰɢɫɫ, ɫɨɜɩɚɞɚɸɳɟɣ ɫ ɩɪɹɦɨɣ l. Ɍɨɝɞɚ
n
l ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɧɢ ɨɞɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ {Ⱥ
n
||
0
i
i
yyys
, (22)
¦¦¦
i
i
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0:0:2
yi
yi
ii
, Ⱥ2, …,
1
ɬɚɤ ɤɚɤ ɧɢ ɨɞɧɚ ɬɨɱɤɚ ɧɟ ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɩɪɹɦɨɣ l (ɧɚ Ɉɯ), ɬɨ ɟɫɬɶ ɜɫɟ ɨɪɞɢɧɚɬɵ ɭk
ɢɥɢ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɢɥɢ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɟ. ɉɨɫɬɪɨɢɦ ɩɪɹɦɭɸ
–
xsinĮ
+ c1 = 0, ɩɨɜɨɪɚɱɢɜɚɹ ɩɪɹɦɭɸ l ɜɨɤɪɭɝ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨ-
1
78
l
: ycosĮ1 –
1
ɉɈɇəɌɂȿ Ɉ ȼɕɑɂɋɅɂɌȿɅɖɇɈɃ ȽȿɈɆȿɌɊɂɂ
ɪɵɣ ɨɫɬɪɵɣ ɭɝɨɥ Į1, ɧɨ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ ɢɡ Ⱥ1, Ⱥ2, …, Ⱥn
ɫ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ ɨɫɬɚɥɢɫɶ ɧɚɞ ɩɪɹɦɨɣ
ɫ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɦɢ ɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ – ɩɨɞ
l
. Ɍɨɝɞɚ, ɬɚɤ ɤɚɤ l1 ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɱɟɪɟɡ ɧɚɱɚ-
1
l
ɢ ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ
1
ɥɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ, ɬɨ
n
1
i
1111
ii
§
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1
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.sincos|sincos|)0,(
xxyyxyS
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¹
Ɍɟɩɟɪɶ, ɟɫɥɢ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ
ɱɚɫɨɜɨɣ ɫɬɪɟɥɤɢ (
ɱɚɫɨɜɨɣ ɫɬɪɟɥɤɢ (
ɦɟɧɶɲɟ
s
. ɇɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ (21) ɧɚɪɭɲɢɬɫɹ ɢ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɹɦɚɹ ɛɭɞɟɬ ɫɨ-
0
Į
< 0); ɟɫɥɢ ɠɟ ɷɬɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɨ – ɩɪɨɬɢɜ
1
Į
> 0). Ʉɚɤ ɧɟɫɥɨɠɧɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɜ ɨɛɨɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ S1(Į1, 0) ɛɭɞɟɬ
1
§
¨
i
¨
yi
©
ɞɟɪɠɚɬɶ, ɩɨ ɤɪɚɣɧɟɣ ɦɟɪɟ, ɨɞɧɭ ɬɨɱɤɭ ɢɡ
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ
l ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɧɢ ɨɞɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ {Ⱥ
·
ɦɟɧɶɲɟ ɧɭɥɹ, ɬɨ ɩɨɜɟɪɧɟɦ l ɩɨ
xx
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¹
Ⱥ
, Ⱥ2, …, Ⱥn. ɉɭɫɬɶ ɷɬɨ ɬɨɱɤɚ Ⱥ1.
1
, …, Ⱥn}.
2
ȼɜɟɞɟɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɫ ɨɫɶɸ ɚɛɫɰɢɫɫ, ɫɨɜɩɚɞɚɸɳɟɣ ɫ ɩɪɹɦɨɣ
ɢ ɧɚɱɚɥɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ
Ⱥ
. Ɍɨɝɞɚ ɜ ɷɬɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ Ⱥ2, …, Ⱥn ɛɭ-
1
ɞɭɬ ɢɦɟɬɶ ɧɟ ɧɭɥɟɜɵɟ ɨɪɞɢɧɚɬɵ. ɉɨɜɬɨɪɹɹ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɟ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ, ɞɨɤɚɠɟɦ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɹ ɬɨɱɤɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ {
Ⱥ
, …, Ⱥn} ɢ ɩɪɹɦɨɣ l. ɂɬɚɤ, ɦɵ ɞɨɤɚ-
2
ɡɚɥɢ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɬɟɨɪɟɦɭ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ 23
(ɡɚɞɚɱɚ ȼȽ4). ɋɪɟɞɢ ɥɸɛɵɯ n (n > 1) ɬɨɱɟɤ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɧɚɣ-
ɞɭɬɫɹ ɞɜɟ, ɱɟɪɟɡ ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɩɪɹɦɚɹ, ɧɚɢɦɟɧɟɟ ɭɤɥɨɧɹɸɳɚɹɫɹ ɨɬ ɜɫɟɯ
ɷɬɢɯ ɬɨɱɟɤ ɩɨ ɦɟɬɪɢɤɟ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ
l
.
1
Ɋɟɲɢɬɟ ɬɪɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ.
ɚ) Ⱦɨɤɚɠɢɬɟ, ɱɬɨ ɧɚɢɥɭɱɲɚɹ ɩɪɹɦɚɹ ɞɥɹ ɬɪɟɯ ɬɨɱɟɤ ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɱɟɪɟɡ
ɛɨɥɶɲɭɸ ɫɬɨɪɨɧɭ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɫ ɜɟɪɲɢɧɚɦɢ ɜ ɷɬɢɯ ɬɨɱɤɚɯ.
ɛ) Ⱦɨɤɚɠɢɬɟ, ɱɬɨ ɧɚɢɥɭɱɲɚɹ ɩɪɹɦɚɹ ɞɥɹ ɱɟɬɵɪɟɯ ɬɨɱɟɤ, ɨɛɪɚɡɭɸɳɢɯ
ɜɵɩɭɤɥɵɣ ɱɟɬɵɪɟɯɭɝɨɥɶɧɢɤ, ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɱɟɪɟɡ ɟɝɨ ɛɨɥɶɲɭɸ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶ.
ɜ) ɉɪɢɜɟɞɢɬɟ ɩɪɢɦɟɪ ɫɤɨɥɶɤɢɯ-ɬɨ ɬɨɱɟɤ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɞɚɱɚ
ȼȽ4
ɢɦɟɟɬ ɧɟɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ.
Ɋɚɫɫɭɠɞɚɹ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɩɪɢɣɬɢ ɤ ɪɟɲɟɧɢɸ ɧɚɲɟɣ ɬɪɟɬɶɟɣ ɡɚ-
ɞɚɱɢ (ȼȽ6). Ⱥ ɢɦɟɧɧɨ, ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɬɟɨɪɟɦɭ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ 24
(ɡɚɞɚɱɚ ȼȽ6). ɋɪɟɞɢ ɥɸɛɵɯ Ⱥ1, …, Ⱥn, (n > 2) ɬɨɱɟɤ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɧɚɣɞɭɬɫɹ ɬɚɤɢɟ ɬɪɢ, ɱɬɨ ɫɪɟɞɧɹɹ ɥɢɧɢɹ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɫ ɜɟɪɲɢɧɚɦɢ ɜ ɷɬɢɯ
ɬɨɱɤɚɯ ɛɭɞɟɬ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬɶ ɧɚɢɦɟɧɟɟ ɭɤɥɨɧɹɸɳɟɣɫɹ ɨɬ ɬɨɱɟɤ
Ⱥ
, …, Ⱥn ɩɪɹ-
1
ɦɨɣ ɜ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɣ ɦɟɬɪɢɤɟ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜɟɪɲɢɧɵ ɭɩɨɦɹɧɭɬɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ
ɥɟɠɚɬ ɩɨɩɟɪɟɦɟɧɧɨ ɧɚɞ ɢ ɩɨɞ ɷɬɨɣ ɩɪɹɦɨɣ.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ. ɉɭɫɬɶ l – ɧɚɢɥɭɱɲɚɹ ɩɪɹɦɚɹ ɢ
),,(max),(max llArlArs
d
. (23)
0
i
ni
i
11
dddd
ni
11
Ⱦɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɢɡɥɨɠɟɧɢɹ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɫɟɛɟ, ɱɬɨ ɷɬɚ ɩɪɹɦɚɹ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɚɹ.
79
l
ɉɊɂȼȺɅɈȼ Ⱥ. Ⱥ. ɗɅȿɆȿɇɌɕ ɉɊɈȽɊȺɆɆɂɊɈȼȺɇɂə ɉɊɂ Ɋȿɒȿɇɂɂ ɆȺɌȿɆȺɌɂɑȿɋɄɂɏ ɁȺȾȺɑ
ɉɨɧɹɬɧɨ, ɱɬɨ ɧɚɣɞɟɬɫɹ ɬɨɱɤɚ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ Ⱥ1, ɬɚɤɚɹ, ɱɬɨ s0 = r(A1, l). ȿɫɥɢ
ɞɪɭɝɢɯ ɬɚɤɢɯ ɬɨɱɟɤ ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ, ɬɨ ɟɫɬɶ
ɛɨɥɶɲɢɦ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵɦ ɫɞɜɢɝɨɦ ɩɪɹɦɨɣ
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ (23). Ɂɧɚɱɢɬ, ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɞɜɟ ɬɨɱɤɢ, ɩɭɫɬɶ
ɱɬɨ
s
= r(A1, l) = r(A2, l). ȿɫɥɢ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɞɪɭɝɢɯ ɬɚɤɢɯ ɬɨɱɟɤ ɧɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ, ɬɨ
0
ɧɟɛɨɥɶɲɢɦ ɩɨɜɨɪɨɬɨɦ ɜɨɤɪɭɝ ɬɨɱɤɢ
r(A
l ɤ ɬɨɱɤɟ Ⱥ
2
, l) < s0, i = 2, 3, …, n, ɬɨ ɧɟ-
i
ɩɨɥɭɱɢɦ ɩɪɹɦɭɸ l1, ɧɟ
1
AAB
21
ɩɨɥɭɱɢɦ ɩɪɹɦɭɸ l1, ɬɚɤɠɟ ɧɟ
Ⱥ
ɢ Ⱥ2, ɬɚɤɢɟ,
1
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɭ (23). Ɍɨ ɠɟ ɫɚɦɨɟ ɩɪɨɢɡɨɣɞɟɬ ɞɥɹ ɬɪɟɯ ɬɨɱɟɤ
Ⱥ
(ɩɭɫɬɶ
, Ⱥ2 ɢ
1
ɬɨɪɵɯ ɞɜɟ (
ɢ Ⱥ2 (ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɨɜɨɪɨɬ ɜɨɤɪɭɝ
ɬɟɥɶɧɨ, ɧɚɣɞɭɬɫɹ ɬɪɢ ɬɨɱɤɢ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ,
(A3, l), ɢ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɨɧɢ ɩɨɩɟɪɟɦɟɧɧɨ ɧɚɞ ɢ ɩɨɞ ɩɪɹɦɨɣ l. ɇɟɫɥɨɠɧɨ ɜɢ-
r
ɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɷɬɚ ɩɪɹɦɚɹ ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɱɟɪɟɡ ɫɪɟɞɧɸɸ ɥɢɧɢɸ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ
, s0 = r(A1, l) = r(A2, l) = r(A3, l) ɢ r(Ai, l) < s0, i = 3, …, n), ɢɡ ɤɨ-
Ⱥ3
Ⱥ
Ⱥ2) ɥɟɠɚɬ ɧɚɞ (ɩɨɞ) ɩɪɹɦɨɣ l, ɚ ɬɪɟɬɶɹ Ⱥ
1 ɢ
Ⱥ
, Ⱥ2 ɢ
1
AAB
31
2
Ⱥ3
ɢɥɢ
, ɱɬɨ s0 = r(A1, l) = r(A2, l) =
– ɩɨɞ l ɢ ɩɪɚɜɟɟ Ⱥ
3
AAB
32
2
). ɋɥɟɞɨɜɚ-
Ⱥ1Ⱥ2Ⱥ
Ɍɟɨɪɟɦɚ ɞɨɤɚɡɚɧɚ.
Ɋɟɲɢɬɟ ɞɜɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ.
ɚ) Ⱦɨɤɚɠɢɬɟ, ɱɬɨ ɧɚɢɥɭɱɲɚɹ ɩɪɹɦɚɹ ɞɥɹ ɬɪɟɯ ɬɨɱɟɤ ɩɪɨɯɨɞɢɬ ɱɟɪɟɡ
ɛɨɥɶɲɭɸ ɫɪɟɞɧɸɸ ɥɢɧɢɸ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɫ ɜɟɪɲɢɧɚɦɢ ɜ ɷɬɢɯ ɬɨɱɤɚɯ.
ɛ) ɉɪɢɜɟɞɢɬɟ ɩɪɢɦɟɪ ɫɤɨɥɶɤɢɯ-ɬɨ ɬɨɱɟɤ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɞɚɱɚ
ȼȽ6 ɢɦɟɟɬ ɧɟɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ.
Ⱥɥɝɨɪɢɬɦ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɧɚɢɥɭɱɲɢɯ ɩɪɹɦɵɯ ɜ ɩɟɪɜɨɣ (ɬɪɟɬɶɟɣ) ɡɚɞɚɱɢ ɡɚɤɥɸɱɚɟɬɫɹ
ɢ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɣ ɩɚɪɵ (ɬɪɨɣɤɢ) ɬɨɱɟɤ ɫɬɪɨɢɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɩɪɹɦɚɹ
ɞɢɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ
ɜ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ 10 ɜɫɟɯ ɩɚɪ (ɬɪɨɟɤ) ɬɨɱɟɤ,
S
(Sf). ȼɵɛɢɪɚɟɬɫɹ l ɫ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɣ S1 (Sf).
1
Ɂɚɞɚɱɚ ȼȽ6 ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɩɪɨɳɟ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɯ, ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɮɭɧɤɰɢɹ
l, ɧɚɯɨ-
S
(Į, c)
2
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɜ ɬɨɱɤɟ ɦɢɧɢɦɭɦɚ ɟɟ ɱɚɫɬɧɵɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɨɛɪɚɳɚɸɬɫɹ ɜ ɧɨɥɶ. ɇɚɣɞɟɦ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
c ɢ, ɩɪɢɪɚɜɧɹɜ ɟɟ ɤ ɧɭɥɸ, ɩɨɥɭɱɢɦ:
n
w
S
2
w
c
i
ii
0)sincos(2
DD
ccxy
n
y
i
n
i
n
sincos
DD
.
x
¦¦¦
i
n
i
111
ɂ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ:
y – y
)cosĮ – (ɯ – ɯɫ)sinĮ + c = 0,
(
n
1
x
ɝɞɟ
Ⱥ
, Ⱥ2, …, Ⱥn ɫ ɟɞɢɧɢɱɧɵɦɢ ɦɚɫɫɚɦɢ.
1
x
y
ɢ
¦
ic
n
1
i
Ȼɟɡ ɩɨɬɟɪɢ ɨɛɳɧɨɫɬɢ, ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɧɚɱɚɥɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ
ɫ ɷɬɢɦ ɛɚɪɢɰɟɧɬɪɨɦ ɫɢɫɬɟɦɵ ɬɨɱɟɤ {
Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ
80
ɫ
n
1
y
– ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɰɟɧɬɪɚ ɦɚɫɫ ɫɢɫɬɟɦɵ ɬɨɱɟɤ
¦
ic
n
1
i
n
¦
Ⱥ
, Ⱥ2, …, Ⱥn}, ɬɨɝɞɚ
1
01
yx
. ȼ ɫɚɦɨɦ ɞɟɥɟ, ɟɫɥɢ
ii
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n
i
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i
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, ɬɨ
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1
.
3
011
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