Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Частотные характеристики колебаний и цепей. Учебное пособие
.pdf
Далее выразим на основе закона Ома в комплексной
ɺ
R
,
U I Z
= ⋅
R C
( ).
U I Z Z
ɺ ɺ
R C
( ) .
U Z Z
( ) .
R j RC
j RC
( ) ,
1 ( )
форме комплексные амплитуды входного и выходного напря-
I
жений через комплексную амплитуду тока
:
m
ɺ ɺ
m2 m
= ⋅ +
m1 m
Тогда комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению, определяемый по формуле (1.8), будет иметь вид
ɺ
K
ω = =
m2
ɺ
m1
R
+
ɺ
U Z
Заменив в последней формуле обозначения комплексных сопротивлений соответствующими выражениями, получим
1
+ ω⋅
ω⋅
(1.9)
ɺ
K
ω = =
R
+
1
j C
ω⋅
Чтобы определить аналитические выражения АЧХ и
ФЧХ цепи, необходимо представить комплексный коэффициент передачи в показательной форме, для чего числитель и
знаменатель комплексной дроби (1.9) следует перевести из алгебраической формы записи в показательную форму:
2/
j
π
e
RC
RC
⋅⋅ω
⋅⋅ω+
=
RCj
⋅ω
ɺ
)(
K
=ω
RC
⋅ω
⋅ω+
RC
)](arctg2/[
RCj
⋅ω−π
⋅
2)(arctg2
)(1e)(1
.e
Аналитическое выражение АЧХ цепи определяется модулем
комплексного коэффициента передачи:
а ФЧХ – аргументом комплексного коэффициента передачи:
11
K
ω =
ω⋅
+ ω⋅
RC
RC
2
(1.10)
( ) /2 arctg( ).
RC
ϕ ω = π − ω⋅
∞=ω
2
( ) ( )
1 ( )
∞→ω
( ) ,
K RC
ω ≈ ω⋅
(1.11)
Для построения графика АЧХ цепи по аналитическому
выражению достаточно выполнить несколько стандартных
операций:
1) указать диапазон значений частоты ω (область опре-
деления функции
)(ωK
); частота, как правило, изменяется в
пределах от нуля до бесконечности;
2) рассчитать значения АЧХ на границах области определения; из выражения АЧХ (1.10) видно, что на нулевой частоте
0)0(=K
; для расчёта
)(ωK
при
необходимо найти
предел:
lim
RC
⋅ω+
lim
=
)(1
∞→ω∞→ω
⋅ω
3) отыскать экстремумы функции
1
⋅ω+
RCRC
;1
=
22
)]/(1[1
)(ωK
; как известно,
точки экстремумов функции можно определить, взяв производную от функции и приравняв её нулю; в данном случае
производная
обращается в нуль лишь при
4) определить приближённое поведение функции
)(ωK
RC
1
2
dK RC RC
ω ω⋅
= ⋅ −
d RC
ω + ω⋅
1 ( )
+ ω⋅
;
2
)(ωK
на разных интервалах частоты; для этого следует условно разбить частотный диапазон на три области: область I, в которой
ω⋅
RC « 1, область II – ω⋅RC
применительно к области I в знаменателе
небречь слагаемым
1 и область III – ω⋅RC » 1; тогда
≈
)(ωK
можно пре-
2
)( RC⋅ω
под корнем и получить прибли-
жённое выражение
12
)(ωK
0
K
ω
II III
б
ϕ(ω
ω
которое указывает на линейность функции
в этой облас-
ти (тангенс угла наклона такой прямой к оси абсцисс определяется RC); в области III разумно пренебречь единицей под
корнем знаменателя, тогда
)(ωK ≈
1; в области II имеет место
сопряжение кривых первой и третьей областей.
На основании информации, полученной о поведении АЧХ
RC-цепи со съёмом напряжения с сопротивления, на рис. 1.3,
а
получен её график. График ФЧХ (рис. 1.3, б) построить не
представляет особого труда, поскольку его форма определяется стандартной функцией y
arctg(x).
=
(ω), безразм.
1
90
), градусы
I
Полученные кривые несложно проверить, рассуждая ло-
гически, по крайней мере, в окрестности двух точек − нулевой
и бесконечно большой частоты. Если частота действующего
на входе напряжения мала, то реактивное сопротивление ёмкости, имеющейся в цепи, велико, так что ёмкость можно заменить разрывом цепи (рис. 1.4,
при этом будет равен нулю и напряжение, снимаемое с сопротивления, также будет нулевым. Последнее означает, что в окрестности нулевой частоты АЧХ цепи должна быть равна нулю. Если частота по-прежнему мала, но отлична от нуля, в цепи протекает ток малой величины. Его начальная фаза в силу
малости сопротивления R по сравнению с сопротивлением ёмкости отличается от фазы входного напряжения практически
13
0
а
Рис. 1.3
а). Очевидно, что ток в цепи
°
Рис. 1.4
а
R
R
точно на 90
, следовательно, сдвиг фаз между выходным и
входным напряжениями (ФЧХ) составляет 90°. Если частота
входного колебания велика, сопротивление ёмкости мало: ёмкость можно заменить коротким замыканием (рис. 1.4, б). Напряжение на выходе при этом совпадает по амплитуде и фазе
со входным: АЧХ равна единице, ФЧХ – нулю.
u
1
u
2
u
1
u
2
Из графика АЧХ RC-цепи (рис. 1.3, а) видно, что на
больших частотах амплитуды входного и выходного напряжений практически одинаковы, сдвиг фаз между этими напряжениями близок к нулю. RC-цепь пропускает колебания больших
частот практически «один к одному». В области малых частот,
близких к нулевой частоте, амплитуда выходного колебания
практически равна нулю. Цепь ослабляет (подавляет, задерживает) колебания малых частот. Разный характер поведения частотных характеристик цепи говорит о том, что прохождение
через цепь колебания, содержащего в своём составе как малые,
так и большие частоты, будет сопровождаться искажениями.
Частотная избирательность рассмотренной RC-цепи
должна учитываться при проектировании цепей, имеющих похожую схему замещения, например апериодического усилителя. Пусть, например, по техническому заданию требуется,
чтобы АЧХ усилителя в области рабочих частот превышала
значение 0.9, а расчёты показывают, что при минимальной
частоте усиливаемого колебания значение АЧХ меньше этого
уровня. Чтобы обеспечить выполнение технического задания
⋅
следует увеличить значение R
С, например, за счёт ёмкости С;
14
при этом уровень АЧХ на заданной частоте согласно формуле
ɺ
ɺ
ɺ
Рис. 1.5
а
б
2
2'
1
1'
R
ɺ
ɺ
ɺ
C
(1.10) должен возрасти.
1.3. Частотные характеристики простейшей RC-цепи
со съёмом напряжения с ёмкости
В радиоэлектронных устройствах очень часто используется цепь, схема которой представлена на рис. 1.5, а. Она
представляет собой RC-цепь, выходное напряжение у которой
снимается с ёмкости. Такая цепь относится к фильтрам ниж-
них частот (ФНЧ).
Найдём АЧХ и ФЧХ рассматриваемого фильтра нижних
частот. Для этого определим комплексный коэффициент пере-
дачи цепи по напряжению
ную схему замещения исследуемой цепи (рис. 1.5,
все её элементы комплексными сопротивлениями (R
С
→ Z2 =
тудами (u
1/(jω⋅C)), а напряжения и ток – комплексными ампли-
(t)
→
U
1,2
, i(t)
2,1m
→
)(ωK
. Сначала составим комплекс-
б), заменив
I
).
m
I
m
→ Z1 =
R,
i(t)
u1(t)
Схему на рис. 1.5, б можно отнести к делителю напряжения. В делителе напряжения выходное напряжение составляет такую же часть от входного, что и сопротивление, с которого снимается выходное напряжение, от полного сопротивления делителя. Для делителя напряжения на рис. 1.5, б справедливо отношение
15
u2(t)
Z
U
1
m1
Z
U
m2
2
1 2
.
U Z Z
ɺ
1 2
( )
U I Z Z
2
.
U I Z
= ⋅
,
U Z Z R j C j RC
arctg( )
( ) e .
j RC
2
( ) ,
1 ( )
( ) arctg( ).
RC
=∞→
ω
U Z
m2
ɺ
m1
2
=
+
(1.12)
Такое выражение несложно получить, если использовать закон
Ома в комплексной форме для полной цепи:
ɺ ɺ
= ⋅ +
m1 m
,
и участка цепи с сопротивлением Z2:
ɺ ɺ
m2 m
Так как в схеме Z1 = R, а Z2 = 1/(jω⋅C), то
ɺ
U Z j C
m2
ɺ
m1
2
= = =
+ + ω⋅ + ω⋅
1 2
1/( ) 1
ω⋅
1/( ) 1
то есть
ɺ
K
ω = = ⋅
1 1
1
j RC
+ ω⋅
1 ( )
+ ω⋅
RC
2
− ω⋅
(1.13)
Отсюда следует, что выражение для АЧХ и ФЧХ RC-цепи со
съёмом напряжения с ёмкости имеют вид
+ ω⋅
1
RC
(1.14)
(1.15)
K
ω =
ϕ ω = − ω⋅
Кривые, соответствующие выражениям (1.14) и (1.15), показаны соответственно на рис. 1.6, а и б.
Для построения АЧХ цепи выполним описанные выше
стандартные операции; в частности, выясним, что:
1) область значений частоты (область определения АЧХ)
находится в пределах от нуля до бесконечности;
1)0(=K
2) значение АЧХ на нулевой частоте
нечно большой частоте
K
0)(
;
, а на беско-
16
K
ω
I II III
б
−
ω
=
ω
≈
ω
⋅ω≈
ω
а
б
R
=
ω
R
∞→ω
(ω), безразм.
ϕ(ω),
градусы
1
0
а
0
90
Рис. 1.6
3) АЧХ не имеет экстремумов; максимальное значение
АЧХ
max
1)(
=ωK
приходится на частоту
0
;
4) в области частот I (рис. 1.6, а), где ω⋅RC « 1, амплитуд-
но-частотная характеристика
лежащих области III (
ω⋅
RC » 1),
K
1)(
, а на частотах, принад-
)/(1)( RCK
, что соответ-
ствует поведению гиперболической функции.
Из графика АЧХ видно, что цепь пропускает практически без изменения колебания, частоты которых приходятся на
область I, а колебания с частотами, относящимися к области
III, – задерживаются (подавляются) цепью, что соответствует
понятию фильтра нижних частот.
Проверка полученных формул (1.14) и (1.15) для АЧХ и
ФЧХ легко выполняется в окрестности нулевой и бесконечно
большой частоты на основе схем замещения, представленных
на рис. 1.7.
u
1
17
u
=
u
2
u
1
1
u
→0
2
0
Рис. 1.7
1.4. Частотные характеристики делителя напряжения
m
ɺ
а
б
ɺ
ɺ
R C
C R
моста Вина
Цепь, схема которой показана на рис. 1.8,
а, часто называют делителем напряжения моста Вина и используют в качестве частотно-избирательной нагрузки в RC-автогенераторах
гармонических колебаний [1]. Исследуем частотные характеристики такой цепи.
После составления комплексной схемы замещения цепи
(заменой R
→ ZR
, С
→ ZC
, u(t)
→
, рис. 1.8, б), её можно
U
свести к рассмотренной выше схеме делителя напряжения
(рис. 1.5, б), если положить
ZZ
⋅
Z
=
2
RC
=
ZZ
+
RC
R
CjRCj
⋅ω+⋅⋅ω
RC1
CjRZZZ ⋅ω+=+=
R
=
1)]/(1[
)./(1
,
(1.16)
RCj
⋅ω+
(1.17)
Подставляя в (1.12) равенства (1.16) и (1.17), получим
R
⋅ω+
RCj
ɺ
=ω
K
)(
=
1
1
+
R
+
⋅ω
Cj
1
R
2
=
R
⋅ω+
RCj
=
)/(13
CjCRjR
⋅ω+⋅ω+
R
)1(
1
+⋅⋅ω+
RRCj
⋅ω
Cj
1
RCRCj
⋅ω−⋅ω+
R
+
1
.
)]/(1[3
=
⋅ω+
RCj
u1(t)
18
u2(t)
U
Рис. 1.8
m1
Z
Z
C
R
Z
C
U
Z
m2
R
Представляем комплексный коэффициент передачи в
arctg{[ 1/( )]/3}
( ) e .
2
9 [ 1/( )]
( ) arctg .
RC
K
ω
ω
−
ϕ(ω
ω ω
90
показательной форме комплексного числа:
ɺ
K
ω = ⋅
9 [ 1/( )]
+ ω⋅ − ω⋅
1
RC RC
j RC RC
− ω⋅ − ω⋅
2
(1.18)
Из (1.18) получаем аналитическое выражение АЧХ
K
( )
ω =
+ ω⋅ − ω⋅
1
RC RC
(1.19)
и ФЧХ делителя напряжения моста Вина
1 1
ϕ ω = − ⋅ ω⋅ −
RC
3
ω⋅
(1.20)
Кривые, построенные по выражениям (1.19) и (1.20), показаны
на рис. 1.9.
Сначала проанализируем по формуле (1.19) поведение
АЧХ (рис.
1.9, а):
1) значения частотной функции
)(ωK
на нулевой и бес-
конечно большой частоте равны нулю;
2) максимум АЧХ, очевидно, приходится на такую час-
тоту
ω
, при которой второе слагаемое под корнем в знамена-
0
теле (1.19) будет равно нулю:
(ω), безразм.
00
), градусы
;0)/(1
=⋅ω−⋅ω RCRC
⅓
0
0
0
а
90
Рис. 1.9
19
0
б
из последнего равенства получим, что максимум АЧХ прихо-
1/( ),
RC
ω =
2
( ) ,
9 ( )
дится на частоту
0
(1.21)
причём значение АЧХ на этой частоте равно ⅓;
4) если частота колебания ω меньше характерной часто-
ты
ω
, т. е. выполняется неравенство ω⋅RC « 1, то выражение
0
для АЧХ принимает вид
K
)(
≈ω
1
RC
⋅ω+
≈
RC
⋅ω
RC
⋅ω⋅+
,
22
)(91)]/(1[9
аналогичный АЧХ простейшей RC-цепи со съёмом напряжения с сопротивления (см. выражение (1.10) и рис. 1.3, а);
5) если частота колебания ω больше частоты
ω⋅
RC » 1, то АЧХ приближённо описывается формулой
K
ω
≈
1
ω
+ ⋅
RC
ω
так, что
0
характерной для RC-цепи со съёмом напряжения с ёмкости
(см. (1.14)), АЧХ которой показана на рис. 1.6, а.
Из кривой АЧХ видно, что делитель напряжения моста
Вина пропускает колебания с частотами, близкими к частоте
ω
, и ослабляет колебания с частотами, меньшими и большими
0
частоты
ω
.
0
Анализ ФЧХ приводит к кривой, показанной на рис.
1.9, б. Для малых и больших частот также наблюдается соответствие с характеристиками рассмотренных ранее RC - цепей.
Кроме того, из ФЧХ видно, что на частоте
ω
сдвиг фаз между
0
выходным и входным напряжениями равен нулю.
Итак, делитель напряжения моста Вина на малых часто-
ω
тах (по сравнению с частотой
) работает подобно RC-цепи,
0
показанной на рис. 1.2, а, на больших частотах − аналогично
RC-цепи, представленной на рис. 1.5, а.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]