Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вычислительных процессов. Лабораторный практикум. Учебное пособие
.pdf
91
p3
p2
p1
t4
t2
t1
t3
t5
t6
p4
p6
p5
0, 0, 2, 0, 0, 0
0, 0, 1, 0, 1, 1
t t
t4
t4
t2
1, 0, 0, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0, 0, 0
t1
0, 0, 2, 0, 0, 0
1, 0, 0, 0, 0, 0
0, 0, 1, 1, 0, 1
0, 0, 0, 2, 0, 2
0, 0, 1, 0, 1, 1
0, 0, 0, 1, 1, 2
0, 0, 0, 1, 1, 2
0, 0, 1, 1, 0, 1
0, 0, 0, 0, 2, 2
t3
t4
t5
t t t
проанализировать листья дерева достижимости и выполнить следующие
действия: если лист — дублирующая вершина с маркировкой , то лист
нужно удалить, а дугу, в него входящую, перенаправить во внутреннюю
вершину с такой же маркировкой. На рис. 31 представлена сеть
Петри, на рис. 32 — ее дерево достижимости, а на рис. 33 — граф
достижимости.
Рис. 31. Сеть Петри
Рис. 32. Дерево достижимости сети Петри (рис. 31)
92
1, 0, 0, 0, 0, 0
0, 0, 0, 0, 2, 2
t4
t4
t2
0, 1, 0, 0, 0, 0
t1
0, 0, 2, 0, 0, 0
0, 0, 1, 1, 0, 1
0, 0, 0, 2, 0, 2
0, 0, 1, 0, 1, 1
0, 0, 0, 1, 1, 2
t3
t4
t5
t6
t6
t6
t4
t5
Переход tj будет живым, если из каждой вершины достижима хотя бы
одна дуга, отмеченная этим переходом. Если все переходы живы, то и
сеть Петри жива. В сети Петри (рис. 31) переходы t4, t5 и t6 живые, т. к.
дуги, отмеченные этими переходами, достижимы из каждой вершины
графа достижимости (рис. 33), остальные переходы не являются живыми,
и, следовательно, сеть Петри не жива.
Рис. 33. Граф достижимости сети Петри (рис. 31)
Переход tj будет потенциально мертвым, если в графе достижимости
есть хотя бы одна вершина, из которой недостижима ни одна дуга,
отмеченная этим переходом. Если такая вершина в графе существует,
то соответствующая ей маркировка является t-тупиковой для перехода tj.
В сети Петри (рис. 31) переход t1 потенциально мертвый, т. к. из вершины
с маркировкой (0, 0, 2, 0, 0, 0) недостижима ни одна дуга, отмеченная
этим переходом. Маркировка (0, 0, 2, 0, 0, 0) является t-тупиковой для
перехода t1.
Если в графе достижимости есть вершина, из которой не выходит ни
одна дуга, то маркировка, соответствующая такой вершине, является
тупиковой. В графе достижимости (рис. 33) из каждой вершины выходит
хотя бы одна дуга, поэтому в сети Петри (рис. 31) тупиковая маркировка
не достижима.
Определим множество D таких вершин графа достижимости, из
которых выходят более одной дуги и одна из них отмечена заданным
переходом tj. Если в графе достижимости существует дуга, выходящая из
93
t7
p3
p2
p1
t4
t2
t1
t3
t5
t6
p4
p6
p5
вершины множества D, отмеченная переходом, отличным от tj, входящая
в вершину, из которой не выходит дуга, отмеченная переходом tj, то
переход tj не является устойчивым. В противном случае переход tj
устойчив. Если все переходы устойчивы, то сеть Петри устойчива.
Рассмотрим переход t2 сети Петри (рис. 31). В графе достижимости
только из вершины с маркировкой (0, 1, 0, 0, 0, 0) выходят дуги, одна из
которых отмечена переходом t2. Из этой вершины выходит дуга,
отмеченная переходом t3, которая входит в вершину с маркировкой (0, 0,
2, 0, 0, 0). Из этой вершины не выходит дуга, отмеченная переходом t2,
поэтому переходом t2 не является устойчивым и сеть Петри не устойчива.
Теперь рассмотрим переход t4. Для этого перехода множество D содержит
вершины с маркировками (0, 0, 1, 1, 0, 1) и (0, 0, 1, 0, 1, 1). Из вершины с
маркировкой (0, 0, 1, 1, 0, 1) выходит дуга, отмеченная переходом t5. Она
входит в вершину с маркировкой (0, 0, 1, 0, 1, 1), из которой выходит
дуга, отмеченная переходом t4. Из вершины с маркировкой (0, 0, 1, 0, 1, 1)
выходит дуга, отмеченная переходом t6. Она входит в вершину с
маркировкой (0, 0, 2, 0, 0, 0), из которой выходит дуга, отмеченная
переходом t4. Все вершины множества D просмотрены, переход t4
является устойчивым.
Множество маркировок, соответствующее маркировкам всех вершин
графа достижимости, является множеством достижимости и оно конечно.
Две сети Петри являются R-эквивалентными, если равны их множества
достижимости. Множество достижимости сети Петри (рис. 31) состоит из
маркировок (1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 2, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 0, 1),
(0, 0, 1, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 2, 0, 2), (0, 0, 0, 1, 1, 2), (0, 0, 0, 0, 2, 2) (см.
рис. 33). Анализируя граф достижимости (рис. 35) сети Петри (рис. 34)
видим, что ее множество достижимости равно множеству достижимости
сети Петри (рис. 31), поэтому эти сети являются R-эквивалентными.
Рис. 34. Сеть Петри
94
t1
p3
p2
p1
t4
t2
t3
t5
t6
p4
p6
p5
p7
t7
1, 0, 0, 0, 0, 0
0, 0, 0, 0, 2, 2
t4
t4
t2
0, 1, 0, 0, 0, 0
t1
0, 0, 2, 0, 0, 0
0, 0, 1, 1, 0, 1
0, 0, 0, 2, 0, 2
0, 0, 1, 0, 1, 1
0, 0, 0, 1, 1, 2
t3
t4
t5
t6
t6
t6
t4
t5
Рис. 35. Граф достижимости сети Петри (рис. 34)
Граф достижимости можно рассматривать как одноленточный
конечный автомат, в котором все состояния заключительные. Такой
автомат допускает слова, принадлежащие множеству
последовательностей запусков переходов. Две сети Петри являются T-
эквивалентными, если соответствующие им автоматы эквивалентны.
Автоматы, соответствующие, графам достижимости, представленными
на рис. 33 и рис. 37, эквивалентны, следовательно, сети Петри (рис. 31
и рис 36) являются T-эквивалентными.
Рис. 36. Сеть Петри
95
1, 0, 0, 0, 0, 0,1
t4
t4
t2
0, 1, 0, 0, 0, 0, 0
t1
0, 0, 2, 0, 0, 0, 0
0, 0, 1, 1, 0, 1, 0
0, 0, 0, 2, 0, 2, 0
0, 0, 1, 0, 1, 1, 0
0, 0, 0, 1, 1, 2, 0
t3
t4
t5
t6
t6
t6
t4
t5
0, 0, 0, 0, 2, 2, 0
Рис. 37. Граф достижимости сети Петри (рис. 36)
С помощью графа достижимости можно решить задачу достижимости.
Для этого достаточно сравнить заданную маркировку с маркировками в
вершинах графа достижимости, и, если хотя бы одна маркировка в графе
равна заданной, то заданная маркировка достижима, иначе — нет. Если
граф достижимости рассматривать как одноленточный конечный автомат,
в котором заключительным состоянием является вершина с заданной
маркировкой. Такой автомат допускает слова, принадлежащие множеству
последовательностей запусков переходов, приводящих к заданной
маркировке.
Задача достижимости подмаркировки решается аналогично за
исключением того, что при сравнении маркировок нужно учитывать
только позиции из заданного подмножества.
Матричные уравнения
В этом способе анализа используется матричное представление сети
Петри: матрица входов D– и матрица выходов D+. Напомним, что строки
этих матриц соответствуют переходам (n переходов), столбцы —
позициям (m позиций), а элементы определяются следующим образом:
D–
= #(pi, I(tj)), а D+
j, i
= #(pi, O(tj)), где #(pi, I(tj)) — кратность входной
j, i
позиции pi переходу tj, а #(pi, O(tj)) — кратность выходной позиции pi
переходу tj. Маркировка задается m-разрядным вектором-строкой .
Переход tj представляется n-разрядным вектором-строкой e[j],
содержащий единицу в j-ом разряде и нули во всех остальных.
96
Теперь условие разрешенности перехода tj в маркировке можно
записать так: ≥ e[j] ∙ D–, а результат запуска определяется как
= (, tj) = – e[j] ∙ D– + e[j] ∙ D+ = + e[j] ∙ (–D– + D+) = + e[j] ∙ D ,
где D = D+ – D– — составная матрица изменений.
Маркировка , достижимая из маркировки при запуске
последовательности разрешенных переходов = (tj1, tj2,…, tjK),
определяется как = (, ) = + e[j1] ∙ D + e[j1] ∙ D + … + e[jK] ∙ D =
= + (e[j1] + e[j1] + … + e[jK]) ∙ D = + f() ∙ D,
где f() — n-разрядный вектор запусков последовательности
разрешенных переходов , в котором j-й разряд определяет количество
запусков перехода tj в последовательности , следовательно, вектор
запусков является вектором с неотрицательными целыми числами.
Определим, является ли сеть Петри сохраняющей по отношению
к заданному вектору взвешивания w. Вектор взвешивания представим
m-разрядным вектором-столбцом, тогда взвешенная сумма в маркировке
определяется как ∙ w.
Пусть маркировка достижима из начальной. Тогда существует
последовательность разрешенных переходов , запуск которой приводит
к маркировке . Этой последовательности соответствует вектор запусков
f(). Маркировку , достижимую из начальной 0, при запуске
последовательности разрешенных переходов , вычисляем по формуле:
= 0 + f() ∙ D.
Если сеть Петри является сохраняющей по отношению к заданному
вектору взвешивания w, то взвешенная сумма в начальной маркировке 0
равна взвешенной сумме в маркировке , достижимой из начальной:
0 ∙ w = ∙ w = (0 + f() ∙ D) ∙ w = 0 ∙ w + f() ∙ D ∙ w, следовательно,
f() ∙ D ∙ w = 0. Т. к. это должно быть верно для всех f(), получаем:
D ∙ w = 0. Итак, если для вектора взвешивания w D ∙ w = 0, то сеть Петри
сохраняющая по отношению к этому вектору взвешивания.
Решая уравнение D ∙ w = 0 относительно w, находим вектор
взвешивания, по отношению к которому сеть Петри является
сохраняющей. Если уравнение не имеет решения, то сеть Петри не
сохраняющая.
Для определения достижимости заданной маркировки решаем
уравнение = 0 + f() ∙ D относительно f(). Если уравнение имеет
решение в целых положительных числах, то маркировка может быть
достижимой из начальной, иначе — нет. Существование решения
уравнения = 0 + f() ∙ D в целых положительных числах, является
необходимым, но не достаточным условием решения задачи
достижимости.
97
Контрольные вопросы
1. Дайте определение сети Петри.
2. Что называется кратностью входной (выходной) позиции переходу?
3. Что такое маркировка сети Петри?
4. Сформулируйте условие разрешенности перехода.
5. Как определить разрешенность перехода в заданной маркировке при
матричном задании сети Петри?
6. Как определить разрешенность перехода в заданной маркировке при
графовом задании сети Петри?
7. Как изменяется маркировка при запуске разрешенного перехода.
8. Что такое множество достижимости? Оно конечно или бесконечно?
9. Дана сеть Петри и маркировка . Найдите маркировку,
непосредственно достижимую из маркировки и маркировку, из которой
непосредственно достижима маркировка .
10. Дана сеть Петри и последовательность достижимых маркировок.
Найдите соответствующую последовательность разрешенных переходов.
11. Что такое граница позиции? Дайте определение ограниченной,
неограниченной, безопасной и небезопасной сети Петри.
12. Какая сеть Петри называется строго сохраняющей?. Является ли
строго сохраняющая сеть ограниченной? Анализируя структуру сети
Петри определите, является ли она строго сохраняющей?
13. Дайте определение потенциально живому переходу, живому
переходу и живой сети Петри.
14. Дайте определение мертвому переходу, потенциально мертвому
переходу, t-тупиковой маркировке и тупиковой маркировке.
15. Какой переход называется устойчивым?
16. Дайте определение R-эквивалентным и T-эквивалентным сетям
Петри.
17. Сформулируйте задачи достижимости и покрываемости.
18. Как определить сохраняемость сети Петри с помощью дерева
достижимости и с помощью матричных уравнений?
19. Задана последовательность разрешенных переходов. Найдите
маркировку, достижимую при запуске этой последовательности,
используя матричное представление сети Петри.
20. Какие свойства сети Петри можно определить с помощью дерева
достижимости, графа достижимости, матричных уравнений?
98
Заключение
Лабораторные работы по дисциплине «Теория вычислительных
процессов» являются обязательной частью учебного процесса. Выполнение лабораторных работ предусматривает изучение теоретического материала и его применение при решении индивидуальных задач. Для подготовки к защите лабораторных работ предложены контрольные вопросы. Качественное выполнение и защита работ способствует успешному усвоению материала.
99
Библиографический список
1. Баранов, С. И. Синтез микропрограммных автоматов / С. И. Бара-
нов. — Л., Энергия, 1979. — 232 с.
2. Зайдуллин, С. С. Теория вычислительных процессов: учеб. по-собие
/ С. С. Зайдуллин, В. Н. Яхонтов. — Казань: ТИСБИ, 2005. — 136 с.
3. Котов, В. Е. Теория схем программ / В. Е. Котов, В. К.
Сабельфельд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 248 с.
4. Котов, В. Е. Сети Петри / В. Е. Котов — М.: Наука, 1984. — 160
с.
5. Питерсон, Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем / Пи-
терсон Дж. — М.: Мир, 1984. — 264 с.
6. Рабинович, Е. В. Теория вычислительных процессов: учеб. по-собие
/ Е. В. Рабинович. — Новосибирск: СибГУТИ, 2004. — 119 с.
Учебное издание
Рязанов Юрий Дмитриевич
Теория вычислительных процессов
Лабораторный практикум
Подписано в печать 08.08.11 Формат 60х84/16. Усл.печ.л. 5,6. Уч.-изд.л.6,1.
Тираж 100 экз. Заказ Цена
Отпечатано в Белгородском государственном технологическом университете
308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46
им. В. Г. Шухова
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]