Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления. Часть 1. Учебно-методическое пособие
.pdf
вых
вх
( ),
dy
fx
dt
(Q q )
h t.
S
1dh(t )
Q( t ) q(t ) .
dt S
q(t ) h(t ),
В статике все звенья можно разделить на два больших класса: статиче-
ские и астатические. Статические звенья ‒ звенья, поведение которых в статике
y
= kxвх.
описывается статической характеристикой типа
вых
Существует большой класс звеньев, для которых статическую характери-
стику не удается получить, и поэтому в зависимость y
= f (xвх) входит время.
вых
Такие объекты называются астатическими. Условно в качестве статической
характеристики для астатических звеньев считают зависимость:
подразумевающую, что в астатических объектах каждому
значению входного сигнала соответствует определенная скорость входного
сигнала.
2.2 Пример линеаризации реальной системы
Рассмотрим в качестве примера нелинейную модель системы управления
поддержанием уровня жидкости в емкости. Обозначим h ‒ уровень жидкости в
баке и Q ‒ уровень расхода жидкости из бака (рисунок 17).
Возьмем достаточно малый промежуток времени ∆t, чтобы расход Q и
количество вытекающей из бака воды q были практически постоянными.
Объем воды, поступивший в бак за это время, равен Q* ∆t, а объем выте-
кающей воды ‒ q* ∆t. Изменение уровня
При переходе к пределу:
Расход q связан с уровнем h следующей зависимостью:
31
0
q S ,
2
2
gh
2gh
00
22q S gh S g.
где α рассчитывается по формуле:
здесь ν ‒ скорость вытекания жидкости, найденная из закона Бернулли:
,
где ρ ‒ плотность жидкости (в кг/м3), g ≈ 9,81 м/с2 ‒ ускорение свободного падения.
Рисунок 17 - Система поддержания уровня воды в емкости
Отсюда:
,
Подставим это значение в уравнение для q и найдем из него α.
32
виде:
1dh(t )
Q( t ) h(t ).
dt S S
2
2
0QQ h h .
1 1 1
,
2
Q h Q h
Q S S S h S S
Sh
00
0
1 1 1
2
Q( t ) h(t ) Q h Q h.
S S S S S
Sh
0
d( h h )
dh
dt dt
00
0
11
2
dh
Q h Q h.
dt S S S
Sh
С учетом α математическая модель системы перепишется в следующем
(1)
Статическому режиму соответствует:
Пусть задана рабочая точка Q = Q0 и h = h
, вблизи которой отклонения
0
значений входа и выхода составляют Q = Q0 + ∆Q и h = h0 + ∆h. Разложим модель (1) в ряд Тэйлора вблизи этой точки.
Коэффициенты ряда (частные производные):
Подставим их в правую часть уравнения (1) вместе с начальными значе-
ниями h и Q:
Подставим это выражение в уравнение (1), а в его левую часть подставим
значение h = h0 + ∆h и учтем:
33
В статике левая часть уравнения (1) равна нулю, поэтому в начальной
00
1
0Qh
SS
hQ
dh
k h k Q,
dt
0
2
h
k
Sh
1
Q
k.
S
hQ
dh(t )
k h(t ) k Q(t ).
dt
2
21
dy
T a y a y kx
dt
0
0,1yy
точке (Q0, h0):
И линеаризованное уравнение:
Здесь
и
Знак ∆ обычно опускают, поэтому оконча-
тельный вид линеаризованного уравнения:
2.3 Задание на практическое занятие
Постройте линеаризованную модель для звена, которое описывается не-
линейным дифференциальным уравнением (значения определяются из таблицы
2 по номеру варианта):
В номинальном режиме установившееся значение
.
34
Вариант
T
2
a
1
a
k
1
0.1
0.5
1.0
0.5 2 0.2
0.4
0.9
0.6 3 0.3
0.3
0.8
0.7 4 0.3
0.2
0.7
0.8 5 0.4
0.1
0.6
0.7 6 0.5
0.2
0.5
0.6 7 0.6
0.3
0.6
0.5 8 0.7
0.4
0.7
0.6 9 0.8
0.5
0.8
0.7
10
0.9
0.4
0.9
0.8
11
1.0
0.3
1.0
0.7
12
1.1
0.2
1.1
0.6
13
1.1
0.1
1.2
0.5
14
1.3
0.2
1.3
0.6
15
1.4
0.3
1.4
0.7
16
1.5
0.4
1.5
0.8
17
1.6
0.5
1.4
0.7
18
1.7
0.4
1.3
0.6
19
1.8
0.3
1.2
0.5
20
1.9
0.2
1.1
0.4
Таблица 2.1 ‒ Значения параметров для практического задания
35
Система
ВХОД
ВЫХОД
функция
Хевисайда
Переходной
процесс
3 Практическое занятие на тему: решение
дифференциальных уравнений систем автоматического
управления
3.1 Дифференциальное уравнение системы автоматического
управления. Переходной процесс
Переходной процесс ‒ это математическая характеристика, описываю-
щая выходную реакцию (сигнал) системы при подаче на ее вход в качестве воз-
действия функции Хевисайда (ступенчатой функции) при нулевых начальных
условиях (рисунок 18).
Другими словами, переходной процесс это "переход" системы с одного режима на другой, отличающийся от предыдущего изменениями каких-либо
характеристик (например, амплитуды или фазы).
Переходной процесс также может возникать при влиянии возмущающих
воздействий на систему.
Рисунок 18 ‒ Модель, иллюстрирующая подачу ступенчатого воздействия
на систему
В качестве ситуаций "подачи ступенчатого воздействия" на систему, вызывающих в ней переходной процесс, можно привести включение/выключение
36
11
вых вых вх вх
01 вых 0 1 вх
11
... ...
n n n n
nn
n n n n
d y d y d x d x
a a a y b a b x
dt dt dt dt
Входной сигнал и его производные
до n-ой включительно
Выходной сигнал и его производные
до n-ой включительно
техники; скачки напряжения в сети; порыв ветра, действующий на самолет или
машину.
В модели системы в форме дифференциального уравнения "вход-выход"
неизвестные представляют собой входной и выходной сигналы с их производными (рисунок 19).
Рисунок 19 ‒ Общий вид уравнения-модели системы с одним входом и
одним выходом в ТАУ
Переходной процесс из рисунка 18 ‒ это сигнал на выходе системы и одновременно это переменная y в уравнении выше. Если представить изменение y
в течение переходного процесса на выходе графически, то это будет кривая
следующего вида (рисунок 20). Она же иллюстративно показана на рисунке 18
на выходе системы.
Некоторые методы расчета переходного процесса очевидны из факта, что
это неизвестная переменная в дифференциальном уравнении: 1) классический
метод ‒ интегрирование дифференциального уравнения; 2) операторный метод
‒ с помощью преобразования Лапласа; 3) операторно-классический метод ‒
комбинация предыдущих двух методов; 4) с помощью интеграла Дюамеля; 5)
частотный метод расчета переходных процессов; 6) метод переменных состояния; 6) итерационные методы.
Существуют и другие методы, но мы рассмотрим только те, которые ча-
ще всего применяются в ТАУ.
37
1
вых вых
01 вых
1
... ( ).
nn
n
nn
d y d y
a a a y F t
dt dt
Установившийся режим
до переходного процесса
Переходной процесс
Установившийся режим
после переходного процесса
h(t)
t
Рисунок 20 ‒ График переходного процесса
3.1.1 Классический метод получения решения дифференциальных
уравнений в теории автоматического управления
Классический метод расчета используется для систем, выраженных одно-
родными линейными дифференциальными уравнениями.
Запишем уравнение с рисунка 19 в следующем виде:
(3)
Уравнения подобного вида называются дифференциальными неодно-
родными, так как правая часть не равна 0, в отличие от дифференциальных од-
нородных, где правая часть отсутствует (равна нулю).
38
вых св вын
y y y
1
св св
01 св
1
... 0.
nn
n
nn
d y d y
a a a y
dt dt
; при этом
k
k
k
dd
p p px xp
dt dt
Выходной сигнал системы является решением этого уравнения. Решение
подобного неоднородного уравнения представляется в виде 2-х составляющих:
вынужденной и свободной:
(4)
Свободная составляющая представляет собой описание свободного дви-
жения системы, определяемого при отсутствии каких-либо воздействий на входе системы только ненулевыми начальными условиями, и является общим решением однородного дифференциального уравнения, полученного из уравнения (3) приравниванием к нулю правой части:
(5)
Вынужденная составляющая ‒ это изменение выходного сигнала системы
при наличии входного воздействия (возмущающего и/или управляющего),
представленного функцией F(t), и она является частным решением уравнения
(3). Вынужденная составляющая - это установившееся состояние после переходного процесса при условии постоянства сигналов на входе.
Из вышесказанного следует, что нам необходимо найти сначала свобод-
ную составляющую, как решение однородного дифференциального уравнения
(3). Поскольку неизвестное стоит под знаком дифференцирования, то выход
один ‒ интегрировать, но с n ‒ количеством производных этот процесс будет
долгим и громоздким, поэтому существует способ выяснить вид корней сразу
по более простому выражению. Рассмотрим его.
Сделаем следующую подстановку в уравнение (5):
39
Уравнение (5) примет вид:
1
0 св 1 св св
... 0.
nn
n
a p y a p y a y
11
01 св 0 1
( ... ) 0 ... 0
n n n n
nn
a p a p a y a p a p a
0
2
св 0 2
...
n
p t p t
pt
n
y C e C e C e
1
св 0 1 1
( ... )
n pt
n
y C C t C t e
Вынесем у
за скобки и приравняем к 0 выражение в них.
вын
(6)
Такое уравнение называется характеристическим. Обозначим его корни:
p1, p2, ... , pn.
Вид выражения для у
, являющегося решением дифференциального
св
уравнения, зависит от корней этого характеристического уравнения следующим
образом [3]:
1) Если корни характеристического уравнения (6) вещественные, отрица-
тельные и разные (не равны между собой), то у
будет представляться следу-
вын
ющим выражением:
2) Если корни характеристического уравнения (6) вещественные, отрица-
тельные и равные (p1 = p2 = pn = p), то у
будет выглядеть следующим обра-
вын
зом:
3) Если корни характеристического уравнения (6) комплексные и попарно
сопряженные, представленные следующим образом:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]