Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ и оптимизация биотехнологических производств. Учебное пособие
.pdf
Глава 4
ОПТИМИЗАЦИЯ БИОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ И ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ОЦЕНКИ
АЛЬТЕРНАТИВ
4.1. ПОСТАНОВКА И АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТОВ
ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Общая постановка задачи оптимизации – поиска
ций содержит:
1) целевую функцию I(x), определённую на n-мерном евклидовом
пространстве
n
R
, где x = (
x
1
, …,
пень достижения цели, во имя которой поставлена или решается задача оптимизации;
2) множество допустимых решений X ⊆
торого осуществляется поиск.
Требуется найти такой вектор
ний, которому соответствует минимальное значение целевой функции
I(x
) на этом множестве X, т.е. I(
Задача поиска минимума и максимума целевой функции I(x) называется задачей поиска экстремума: I(
ка максимума функции I(x) сводится к задаче поиска минимума путём
замены знака перед функцией на противоположный:
*
I(x
) = max
Если множество допустимых решений X задаётся ограничениями/
условиями, накладываемыми на вектор x, то решается задача отыскания
условного
экстремума. Если X =
отсутствуют, решается задача поиска безусловного экстремума.
Решением задачи поиска экстремума является пара (
включающая точку
*
x
и значение целевой функции в этой точке.
Множество точек минимума (максимума
на множестве X обозначим
точек (в том числе одну), бесконечное число точек или быть пустым.
Точка
I(x
) на множестве X, если функция достигает в этой точке своего наи-
меньшего значения, т.е.
Точка
I(x
) на множестве X, если существует ε > 0, такое, что если x ∈ X и
*
x
∈ X называется точкой глобального минимума функции
*
x
∈ X называется точкой локального минимума функции
X
I(x
минимума функ
x
)T; её значения характеризуют сте-
n
n
R
, среди элементов ко-
*
x
из множества допустимых реше-
*
x
) = min
I(x
) = –min
x ∈ X
n
R
, т.е. ограничения/условия на вектор x
*
. Оно может содержать конечное число
*
) ≤ I(x)
I(x
x ∈ X
*
x
) = extr
x ∈ X
∀x ∈
).
I(x
), а задача поис-
x ∈ X
[–I(x)].
*
x
, I(
)
целевой функции I(x)
Х.
*
x
)),
-
111
ε<−*xx
(
)
2
(
)
, то I(
норма вектора x.
Поверхностью уровня
*
x
) ≤ I(x). Здесь
I(x
) называется множество точек, в которых
2
2
1
функция принимает постоянное значение, т.е. I(x) = const. Если
поверхности уровня изображаются линиями уровней на плоскости
Градиентом
∇I(x)
непрерывной дифференцируемой функции I(x)
22
...nxxxx +++=
– евклидова
n =
2,
2
R
.
в точке x назвается вектор-столбец, элементами которого являются
частные производные первого порядка, вычисленные в данной точке:
∂
xI
=∇
)(
∂
xI
x
xI
∂
)(
)(
,
...,,
x
∂
21
T
xI
∂
)(
.
x
∂
n
Градиент функции направлен по нормали к поверхности уровня,
т.е. перпендикулярно к касательной плоскости, проведённой в точке x,
в сторону наибольшего возрастания функции в данной точке.
Матрицей Гессе
H(x)
дважды непрерывно дифференцируемой в
точке x функции I(x) называется матрица частных производных второго порядка, вычисленных в данной точке:
2
∂
xI
2
∂
x
1
2
∂
xI
=
)(
xH
∂∂
xx
2
∂
xI
∂∂
xx
Матрица Гессе является симметрической (
2
∂
)(
,
)(
,
12
)(
,
1
)(
xI
∂∂
xx
21
2
∂
)(
xI
2
∂
x
2
2
∂
)(
xI
∂∂
xx
nn
2
2
∂
)(
xI
...,,
...,,
...,,
n×n
∂∂
xx
n
1
2
∂
)(
xI
.
∂∂
xx
n
2
...,...,...,...,
2
∂
)(
xI
2
∂
x
n
).
Вместе с градиентом можно определить вектор антиградиента,
равный по модулю вектору градиента, но противоположный по направлению. Он указывает в сторону наибольшего убывания функции в
данной точке. С помощью градиента и матрицы Гессе, используя разложение в ряд Тейлора, приращение функции I(x) в точке x может
быть записано в форме
где
второго;
2
xO ∆
– сумма всех членов разложения, имеющих порядок выше
T
xxHx
∆∆ )(
– квадратичная форма.
1
TT
)()()()( xOxxHxxxIxIxxIxI
)(
2
∆+∆∆+∆∇=−∆+=∆
,
112
Квадратичная форма
2
T
xxHx
∆∆ )(
(а также соответствующая мат-
рица Гессе H(x)) называется:
−
положительно
левого ∆x выполнется неравенство
−
отрицательно
левого ∆x выполнется неравенство
−
положительно полуопределённой (H(x) ≥ 0), если для любого
ненулевого ∆x выполнется неравенство
личный от нуля вектор ∆x, для которого
−
отрицательно полуопределённой (H(x) ≤ 0), если для любого
ненулевого ∆x выполнется неравенство
личный от нуля вектор ∆x, для которого
Множество
всякий отрезок, концы которого принадлежат X, т.е. если для любых
1
2
x
,
x
∈ X и 0 ≤ λ ≤ 1 справедливо λ
определённой
определённой
n
X ⊆ R
называется выпуклым, если оно содержит
(H(x
T
(H(x
T
1
x
+ (1 – λ)
) > 0), если для любого нену-
xxHx
∆∆ )(
> 0;
) < 0), если для любого нену-
xxHx
∆∆ )(
< 0;
T
T
T
T
2
x
∈ X.
xxHx
∆∆ )(
≥ 0 и имеется от-
xxHx
∆∆ )(
= 0;
xxHx
∆∆ )(
≤ 0 и имеется от-
xxHx
∆∆ )(
= 0.
Образно говоря, выпуклыми являются множества, которые не содержат «вмятин», «дырок» и состоят из одного «куска». Примерами
выпуклых множеств служат само пространство
шар.
n
R
, отрезок, прямая,
Функция I(x), определённая на выпуклом множестве X, называется выпуклой, если
1
I(λx
+ (1 – λ)
2
x
) ≤ λI(
1
x
) + (1 – λ)I(
2
1
x
)
2
∀x
,
x
∈ X, 0 ≤ λ ≤ 1.
Функция I(x), определённая на выпуклом множестве X, называется строго выпуклой, если
I(λx
1
+ (1 – λ)
2
x
) < λI(
1
x
) + (1 – λ)I(
0 < λ < 1.
2
1
∀x
,
x
2
∈ X,
x
)
1
2
x
≠
x
,
Функция I(x), определённая на выпуклом множестве X, называется сильно выпуклой, если
I(λx
1
+ (1 – λ)
2
x
) ≤ λI(
∀x
1
,
x
x
2
∈ X,
1
) + (1 – λ)I(
1
x
≠
1
2
x
) –
2
x
, 0 ≤ λ ≤ 1.
2
)1(
21
xx −λ−λ
Далее при решении задач оптимизации будем использовать следующие свойства выпуклых функций:
113
1) если I(x) выпуклая функция на выпуклом множестве X, то вся-
кая точка локального минимума является точкой её глобального минимума на X;
2) если выпуклая функция достигает своего минимума в двух
различных точках, то она достигает минимума во всех точках отрезка,
соединяющего эти две точки;
3) если I(x) строго выпуклая функция на выпуклом множестве X,
то она достигает своего глобального минимума на X не более чем в
одной точке.
4.2. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Постановка
функция I(x), определённая на множестве X ∈
вать функцию I(x) на экстремум, т.е. определить точки
кальных минимумов и максимумов на
Стратегия решения
БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
задачи: дана дважды непрерывно дифференцируемая
n
R
:
I(x
*
) = min
x ∈ R
задачи: находятся точки
n
I(x
); I(
*
x
) = max
n
R
. Требуется исследо-
n
I(x
x ∈ R
*
x
∈
R
).
*
x
локальных экс-
n
её ло-
тремумов с помощью необходимых условий первого и второго порядка (порядок условий определяется порядком используемых производных), а также достаточных условий безусловного локального экстремума. Вычисляются значения I(
*
x
) функции в найденных точках ло-
кальных экстремумов.
Необходимые условия экстремума первого порядка
n
*
x
∈
R
есть точка локального минимума (максимума) функции I(x) на
множестве
n
R
и I(x) дифференцируема в точке
ции I(x) в точке
2, …, n. Точки
*
x
равен нулю, т.е. ∇I(
*
x
, удовлетворяющие необходимым условиям экстре-
*
x
; тогда градиент функ-
*
x
) = 0 или
*
∂
xI
∂
x
i
[10]: пусть
)(
0
=
, i = 1,
мума первого порядка, называются стационарными.
Необходимые условия экстремума второго порядка
точка
множестве
Тогда матрица Гессе H(
ется положительно полуопределённой (отрицательно полуопределённой), т.е.
x
*
x
есть точка локального минимума (максимума) функции I(x) на
n
R
и функция I(x) дважды дифференцируема в этой точке.
*
H(x
) ≥ 0, (H(
Достаточные условия
n
*
∈
R
дважды дифференцируема, её градиент равен нулю, а матрица
*
x
) функции I(x), вычисленная в точке
*
x
) ≤ 0).
экстремума [10]: пусть функция I(x) в точке
[10]: пусть
*
x
, явля-
114
Гессе является положительно определённой (отрицательно определённой), т.е. ∇I(
кального минимума (максимума) функции I(x) на множестве
Рассмотрим определитель матрицы Гессе detH(
=
=∆
2
Определители m-го порядка (m ≤ n), получающиеся из определителя
матрицы H(
столбцов с одними и теми же номерами, называются главными
*
x
) = 0 и H(
hhh
...
11211
hhh
...
22221
............
hhh
...
21
nnnn
hh
1211
,
hh
2221
*
x
) вычеркиванием каких-либо (
*
x
) > 0, (H(
n
n
, вычисленной в точке
...
=∆
3
1
*
x
n
111
.........
называются угловыми минорами.
hhhh...
nnn
) < 0), тогда точка
*
x
. Определители ∆1 =
n – m
) строк и (
*
x
есть точка ло-
n
R
.
n – m
мино
*
x
) =
h
11
рами.
Для проверки выполнения достаточных условий экстремума и необходимых условий второго порядка используют два способа.
Первый
терий
1) для того чтобы матрица Гессе H(
делённой (H(
способ (с помощью угловых и главных миноров) – кри
Сильвестра:
*
x
) > 0) и точка
*
x
*
x
являлась точкой локального минимума,
) была положительно опре-
необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров были строго
положительны: ∆1 > 0, ∆2 > 0, ..., ∆n > 0;
2) для того чтобы матрица Гессе H(
делённой (H(
*
x
) < 0) и точка
*
x
являлась точкой локального максимума,
*
x
) была отрицательно опре-
необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с отрицательного: ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, ..., (–1)n∆n > 0.
Критерий проверки необходимых условий экстремума второго
порядка:
1) для того чтобы матрица Гессе H(
определённой (H(
*
x
) ≥ 0) и точка
*
x
являлась точкой локального мини-
*
x
) была положительно полу-
мума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя матрицы Гессе были неотрицательны;
2) для того чтобы матрица Гессе H(
определённой (
*
H(x
) ≤ 0) и точка
*
x
являлась точкой локального макси-
*
x
) была отрицательно полу-
мума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры чётного
порядка определителя матрицы Гессе были неотрицательны, а все
главные миноры нечётного порядка – неположительны.
,
)
-
-
115
Второй
Собственные значения λ
(
n×n
) находятся как корни характеристического уравнения (алгебраи-
ческого уравнения n-й степени):
Собственные значения вещественной симметрической матрицы
*
H(x
) вещественны.
Для случая
лировать следующее правило – если I(x) и её производные непрерывны,
то точка
число m – чётное, где m – порядок первой не обращающейся в нуль в
точке
1) если
2) если
3) если m нечётное, в точке
способ (с помощью собственных значений матрицы Гессе).
, i = 1, 2, …, n матрицы H(
i
λ−
*
)(
=λ−
ExH
функции I(x) одной переменной (n = 1) можно сформу-
*
x
является точкой экстремума тогда и только тогда, когда
*
x
производной:
(m)
*
I
(
x
) > 0, то в точке
(m)
*
I
(
x
) < 0, то в точке
*
x
– локальный минимум;
*
x
– локальный максимум;
*
x
нет экстремума.
...
hhh
11211
n
...
λ−
21
hhh
22221
n
0
=
............
...
hhh
nnnn
.
λ−
*
x
) размера
Часто на практике, особенно при применении численных методов, требуется проверить, выполняются ли необходимые и достаточные условия экстремума в некоторой точке. Такой анализ необходим,
так как многие численные методы позволяют найти лишь стационарную точку, тип которой требует уточнения. Большое количество примеров на эту тему разобрано в книге [10].
4.3. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
Рассмотрим случаи, когда множество допустимых решений зада-
ётся равенствами и неравенствами, т.е.
*
I(x
где
j
=
xX
j
левая функция;
g
(x),
j
j =
) = min
+=≤
1, 2, …, p – функции, задающие ограничения
(условия).
Будем считать функции I(x),
рывно дифференцируемыми на множестве
I(x
),
x ∈ Х
<==
nmmjxg
;...,,2,1,0)(
pmjxg
...,,1,0)(
g
(x),
j
, m и
p –
j =
1, 2, …, p, дважды непре-
n
R
. При
числа; I(x) – це-
p = m
задача со
116
смешанными ограничениями преобразуется в задачу с ограничениями
(
)
типа равенств, а при
венств.
Функция L(x, λ0, λ) = λ
ной функцией
Лагранжа, числа λ0, λ1, …, λp – множителями Лагранжа;
m =
0 – в задачу с ограничениями типа нера-
) +
∑
p
λ
j
=
)(1xg
называется обобщён
j
j
0
I(x
классической функцией Лагранжа называется функция L(x, λ) = I(x) +
p
+
∑
j
=
Условный экстремум при ограничениях типа
)(1xg
λ
.
j
j
равенств. Постановка задачи: даны дважды непрерывно дифференцируемые целевая
функция I(x) = (
x
) = 0,
j =
n
ний X; требуется исследовать функцию I(x) на экстремум, т.е. определить точки
стве X:
где
X = {x|g
Стратегия решения
x
,
x
, …,
x
1
2
) и функции ограничений
n
g
j
(x) =
g
(
x
,
x
, …,
j
1
2
1, 2, …, m, определяющие множество допустимых реше-
*
x
∈ X её локальных минимумов и максимумов на множе-
(x) = 0,
j
*
I(x
) = min
x ∈ Х
j =
1, 2, …, m; m < n}.
задачи: находятся точки
I(x
); I(
*
x
) = max
I(x
), (4.1)
x ∈ Х
*
x
локальных экстремумов с помощью необходимых и достаточных условий минимума
и максимума первого и второго порядка при ограничениях типа равенств, вычисляются значения I(
*
x
) функции в найденных точках ло-
кального экстремума.
Необходимые условия экстремума первого порядка
[10]: пусть
x
точка локального экстремума в задаче (4.1), тогда найдутся числа
**
...,,,
λλλ
1*0
, не равные одновременно нулю, и такие, что выполня-
p
ются следующие условия:
1) условие стационарности обобщённой функции Лагранжа по x:
xL
**0*
,,
λλ∂
0
=
,
i =
∂
x
i
1, 2, …, n; (4.1а)
2) условие допустимости решения:
*
g
(
x
) = 0,
j =
j
3) если при этом градиенты
линейно независимы (выполняется условие регулярности), то
Условие (4.1а) можно записать в векторной форме
λ*) = 0. Система (4.1) содержит
n + m
1, 2, …, m; (4.1б)
*
∇g
(
x
),
1
уравнений с
∇g
2
(
x
*
), …,
∇g
(
т
n + m +
x
*
) в точке
*
0
≠λ
0
*
∇xL(x
,
λ
1 неизвест-
x
.
*
0
-
*
*
,
117
λ
(
)
(
)
*
,
0
λ* = (
ными
творяющие системе при некоторых
стационарными.
При решении задач проверка условия регулярности затруднена,
так как точка
ваются два случая:
лагают
мене
*
0
*
λ
j
на
*
λ
0
классической, а сама система (4.1а, 4.1б) имеет вид:
*
,
λ
1
…,
*
λ
*
)T,
m
1
*
,
λ
0
*
x
заранее не известна. Поэтому, как правило, рассматри-
*
=λ
0
1
=λ
, что эквивалентно делению системы (4.1а) на
*
λ
. При этом обобщённая функция Лагранжа становится
j
0
xL
∂
g
и
,
x
i
(
x
j
*
0
**
λ∂
=
*
) = 0,
0
≠λ
. Если
0
,
i =
1, 2, …, n;
j =
1, 2, …, m. (4.2)
T
**2*
xxxx
...,,,=
. Точки
n
λ*, называются условно-
*
0
≠λ
, в системе (4.1а) по-
0
*
x
, удовле-
*
λ
и за-
0
Здесь число уравнений равно числу неизвестных.
Система (4.2) отражает тот факт, что антиградиент целевой функ-
ции в регулярной точке экстремума
*
x
является линейной комбинацией
градиентов ограничений. Действительно, с учётом L(x, λ) = I(x) +
p
+
∑
j
=
m
+
∑
1
j
=
Точка
)(1xg
λ
*
λ
можно переписать условие (4.2а) в форме ∇I(
j
j
*
)(
xg
= 0, отсюда –∇I(
j
j
*
x
условного экстремума является точкой касания линии
*
x
) =
∑
m
*
1
j
=
*
)(
xg
∇λ
j
.
j
*
x
) +
уровня целевой функции и кривой, описывающей ограничение; при
*
0
≠λ
эта точка называется регулярной, а при
0
Случай
*
0
=λ
отражает вырожденность ограничений; при этом в
0
*
0
=λ
– нерегулярной.
0
обобщённой функции Лагранжа исчезает член, содержащий целевую
функцию, а в необходимых условиях экстремума не используется информация, представляемая градиентом целевой функции.
Необходимые условия экстремума второго порядка
*
x
– регулярная точка минимума (максимума) в задаче (4.1) и имеется
решение (
ской функции Лагранжа, вычисленный в точке (
(неположителен):
*
x
, λ*) системы (4.2). Тогда второй дифференциал классиче-
*
x
, λ*), неотрицателен
d2L(x
*
, λ*) ≥ 0 (
*
d2L(x
, λ*) ≤ 0) (4.3)
[10]. Пусть
118
*
(
)
)(
∂
для всех
dx ∈ R
n
, таких, что
j
∑
i
n
*
)(
=
xdg
xg
j
1
=
∂
x
i
dx
,0
=
j =
i
1, 2,
…, m.
Достаточные условия экстремума
λ*), удовлетворяющая системе (4.2). Если в этой точке
*
(
d2L(x
, λ*) < 0) для всех ненулевых
∂
xg
j
1
=
∂
x
i
то точка
j
*
x
является точкой локального минимума (максимума) в зада-
∑
i
n
*
)(
=
xdg
dx ∈ R
*
)(
[10]. Пусть имеется точка (
d2L(x
dx
=
i
n
, таких, что
,0
j =
1, 2, …, m,
*
, λ*) > 0
x
че (4.1). Достаточные и необходимые условия экстремума второго порядка проверяются в условно-стационарных точках, которые удовле-
творяют системе (4.1) при
*
0
≠λ
или системе (4.2), так как для прак-
0
тики безусловно представляет интерес случай, когда в функции Лагранжа присутствует целевая функция, экстремум которой ищется.
Алгоритм решения задачи.
Шаг 1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:
m
λ+λ=λλ
xgxIxL
)()(),,(
.
00
∑
jj
=
j
1
Шаг 2. Записать необходимые условия экстремума первого по-
рядка:
**0*
,,
xL
а)
*
б)
g
(
x
j
Шаг 3. Решить систему для двух случаев:
*
1)
λ
= 0;
0
*
2)
λ ≠
0
*
на
λ
). В результате найти условно-стационарные точки
j
из них полученные при
λλ∂
0
=
,
i =
∂
x
i
) = 0,
j =
1, 2, …, m.
1, 2, …, n;
0 (при этом поделить условие «а» на
*
0
≠λ
(они могут быть регулярными точками
0
*
λ
и заменить
0
*
x
, выделив
*
λ
*
λ
экстремума).
Шаг 4. Для выделенных на шаге 3 точек проверить достаточные
условия экстремума:
*
,
j
0
119
а) записать выражение для второго дифференциала классической
функции Лагранжа в точке (
xLd
б) записать систему
в точке
*
x
;
**2
),(
*
x
, λ*)
=λ
∑ ∑
j
nin
= =
1 1
*
)(
=
xdg
j
∑
**2
xLd
λ
),(
dxdx
.
dx
ji
,0
=
j =
i
1, 2, …, m
xx
∂
ji
*
)(
∂
n
i
xg
j
1
=
∂
x
i
в) из предыдущей системы выразить любые m дифференциалов
dx
через остальные (
i
г) если
локальный минимум; если
*
x
– условный локальный максимум. Если достаточные условия экс-
d2L(x
n – m
*
, λ*) > 0 при ненулевых dx, то в точке
) и подставить в
*
d2L(x
, λ*) < 0 при ненулевых dx, то в точке
d2L(x
*
, λ*);
*
x
– условный
тремума не выполняются, следует проверить выполнение необходимых условий второго порядка и в случае их невыполнения сделать вывод, что в точке
*
x
нет условного экстремума.
Шаг 5. Вычислить значения целевой функции в точках условного
экстремума.
Примеры решения экстремальных задач при органичениях типа
равенств достаточно подробно разобраны в книге [10].
Условный экстремум при ограничениях типа
неравенств. Поста-
новка задачи: даны дважды непрерывно дифференцируемые целевая
функция I(x)
…,
x
) ≤ 0,
n
ний X; требуется исследовать функцию I(x) на экстремум, т.е. определить точки
стве X (4.1):
где
X = {x|g
Стратегия решения
= I(x
,
x
, …,
x
1
I(x
2
*
) = min
j =
j =
1, 2, …, m, определяющие множество допустимых реше-
*
x
∈ X её локальных минимумов и максимумов на множе-
(x) ≤ 0,
j
) и функции ограничений
n
); I(
*
x
) = max
x ∈ Х
I(x
1, 2, …, m}.
задачи: находятся точки
x ∈ Х
g
(x)
= g
j
I(x
),
*
x
локального экс-
(
x
,
x
j
1
2
тремума с помощью необходимых и достаточных условий минимума и
максимума первого и второго порядка при ограничениях типа неравенств; затем вычисляются значения I(
*
x
) функции в найденных точках
локального экстремума.
Необходимые условия минимума
(были доказаны Ф. Джоном (F. John), а при
(H. W. Kuhn, A. W. Tucker)): пусть
(максимума) в задаче (4.1), тогда найдётся такое число
120
(
максимума) первого порядка
*
0
≠λ
Куном и Таккером
*
x
– точка локального минимума
0
*
0
≥λ
и вектор
0
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]