Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системный анализ и оптимизация биотехнологических производств. Учебное пособие
.pdf
где
{
}
{
}
{
}
[
]
X, U
– ограниченные замкнутые множества из числового пространст-
n
ва
E
, m ≤ n;
j
нн
Y –
ограниченное открытое множество из
Xmjxx
∈== ,1,
;
i
Yniyy
∈== ,1, ;
i
n
E
; f(·) – непре-
Uniuu
∈== ,1, ;
рывная и дважды непрерывно дифференцируемая по хн, u, y векторфункция, в общем случае нелинейная по u, y, a.
Система конечных уравнений (3.14) или (3.14a) разрешима. Для
определения численного решения y(хн) при фиксированных u, a требуется задать «грубое» начальное приближение
щимся методом простой итерации найти «хорошее» приближение
где верхние индексы «0» и «r» означают номера итерации. Далее этот
вектор
r
y
принимается в качестве начального условия для быстросхо-
0
y
и медленно сходя-
y
дящегося итерационного метода Ньютона, который в случае неособенности якобиана f(·) находит на некоторой итерации l числовой вектор
l
y
, такой, что при подстановке его в f(·) получаем f(хн,
ε
– допустимая погрешность решения системы уравнений (3.14). Если
из анализа переходных процессов при пуске ТП известно «хорошее»
начальное приближение
0
y
, то решение y(хн) системы (3.14) можно на-
l
y
, u, a) < ε, где
ходить сразу методом Ньютона.
Определение численного решения y(u) при фиксированных хн, a
осуществляется аналогично рассмотренному.
Численный анализ свойств (
m + n
)-мерной функции f(·) или решений y(хн, u) крайне сложен, а возможные результаты этого анализа
пока не находят применения в задачах математического моделирования проектируемого БТП. Ограничимся поэтому анализом статических
свойств ТП по отдельным каналам
u
→
j
y
и
x
→
y
i
, mj ,1= , m ≤ n,
нj
i
ni ,1= .
Перспективные (для автоматизации) каналы
u
→
y
j
определены
i
при анализе динамических свойств БТП. Численное определение скалярной статической характеристики
видистантных значений
u
, d,1=λ , из отрезка
jλ
уравнения (3.14) с фиксированными значениями
u
, …,
u
j + 1
, a; переменными
n
d,1=λ ; построению графика
топологии. Для получения математического описания канала
зададим линейную по
k
l
=
1
l
uc
, где k и
jl
=
∑
c
структуру φij в следующем виде: φij(
l
c
, kl ,0= , k < d, подлежат определению извест-
l
y
= φij(
u
i
u
, d,1=λ , и получению величин
jλ
u
,
y
jλ
iλ
) сводится к заданию эк-
j
+
u,0 , решению
j
р
xx = ;
u
,
u
1
нн
для визуального анализа его
, …,
2
u
u
→
j
u
j – 1
y
) =
j
iλ
y
r
,
,
,
i
101
ным методом наименьших квадратов (МНК) по данным
u
,
y
jλ
iλ
d,1=λ .
Здесь возможны два варианта решения задачи аппроксимации.
Первый вариант: задано значение k, k ∈ {1, 2, 3 или 4}, найти
kl ,0= , и среднюю квадратическую ошибку (СКО) σ
мая величина σж, найти параметр k, коэффициенты
; задана желае-
k
c
, kl ,0= , и СКО
l
c
σk, такие, что σk < σж.
Рассмотрим вначале более простой первый вариант задачи ап-
проксимации.
Пусть из анализа графика
строим квадратичную функцию
)(
затем минимизируем её по
∂Φ(c)/∂c
+
с u
= 0 найдём МНК-значения
l
*
1
+ … +
j
k
*
с
u
описывает в среднем расчётные данные
k
j
u
,
y
определён параметр k, k < d. По-
jλ
iλ
k +
1 переменных
d k
−=Φ
∑ ∑
=λ =
1
c
, и из решения линейных уравнений
l
l
0
*
с
, l = 0, k. Зависимость
l
c = {c
,
c
0
2
l
ucyс
,
λλ
jli
, …,
1
c
}:
k
*
y
=
с
+
i
0
u
,
y
с
jλ
iλ
погрешностью σk. Заметим, что программная реализация МНК имеется
во всех математических пакетах прикладных программ.
Во втором варианте известно σж, для определения
нимально возможное
и найдём МНК-значения
аппроксимации расчётных данных
симость
стью
σ
*
y
=
с
i
0
; иначе надо задать
k
1
найти значения
вия
σ
< σж, если оно выполнено, то задача решена и
k
2
+
*
с u
1
2
*
+
с
u
j
, иначе при
2
j
тех пор, пока при некотором
σ<σ
и будет получена зависимость
ж*
k
Графические
k
, например
1
*
с
0
*
+
с u
описывает в среднем эти данные с погрешно-
j
1
*
*
с
0
*
,
с
,
с
и
1
2
σ ≥
k
u
,
y
и аналитические
jλ
iλ
k
= 1, построим функцию Ф(
1
*
,
с
и СКО
1
k
=
2
σ
, а затем проверить выполнение усло-
k
2
σж следует задать
2
k
σ
k
1
u
,
y
решена и полученная зави-
jλ
iλ
k
+ 1 и, повторив МНК-процедуру,
1
*
впервые не выполнится условие
y
(
u
) =
i
j
y
. Если
∑
=
i
∑
c
зададим ми-
l
σ
< σж, то задача
k
1
k3 = k2 +
k
**
l
uc
.
jl
=*0
l
l
uc
статические
j
l
=ki
0
c
,
c
0
1
*
y
=
с
+
i
0
1 и т.д. до
характеристики БТП определяются для всех (или некоторых) каналов
,
,
l
)
102
u
{
}
[
]
→
y
,
j
i
mj ,1=
при минимальной
Статические данные
,
ni ,1=
, при фиксированной нагрузке
−
x
и максимальной
н
x
+
x
нагрузках.
p
р
,
y
,
н
н
+
+
x
,
y
н
–
−
,
x
,
y
широко используются
н
р
x
, а затем
н
для расчёта технико-экономических показателей типа производительности
G =
φ1(
x
=
φ3(
x
, у)/φ4(
н
, у), себестоимости С
н
x
) и др., а результаты анализа статических свойств БТП
н
=
φ2(
x
, у)/φ1(
н
x
, у), КПД
н
K =
используются при проектировании систем контроля и автоматизации.
Оптимизация проектируемого биотехнологического
процесса
Напомним, что миссия проектируемого БТП заключается в экономически оптимальной переработке заданного количества исходных
веществ в конечные продукты определённого качества. Следовательно, за критерий оптимальности БТП нужно принять некоторый широко
распространённый технико-экономический показатель, например, себестоимость продукции I(·), зависящий от входных координат
выходной переменной
го уравнения статики f(
лучаем запись для себестоимости I(
где
u –
вектор управлений из выпуклого замкнутого множества
njuU
,1, ==
j
«расходы на собственные нужды» производства φсн(
y = y(x
x
, u, a), являющейся решением векторно-
н
, y, u, a) = 0. Тогда при постоянных
н
x
, y(
x
, u, a), u) = I(u, y(u)) = I(u),
н
н
. Себестоимость I(u) не учитывает так называемые
x
, y, u) и выбросы
н
(потери) полупродуктов и веществ в окружающую среду φв(
x
x
и a по-
н
x
, y, u),
н
, u и
н
которые, согласно технологическому регламенту, не должны превышать заданных нормативов
можно записать так: φсн(·) –
g
(
x
, y, u) ≤ 0. Если
2
н
g
g
и
g
. Условия φсн(·) ≤
сн
в
g
≤ 0, φв(·) –
,
сн
сн
g
достаточно велики (относительно I(u)), то
в
g
≤ 0 или
в
g
и φв(·) <<
сн
g
(
x
1
н
g
, y, u) ≤ 0,
в
указанные ограничения следует учитывать при оптимизации БТП, вычисляя
произведение множеств
g
(
x
, y, u) через решение y(
i
н
U
×
x
, u) уравнения статики (поэтому
g
(·) ×
1
н
g
(·) будет непусто).
2
Предваряя постановки задач оптимизации проектируемого БТП,
укажем ещё раз, что используемое при этом уравнение статики возможно будет неадекватно реальному функционирующему объекту,
и полученные результаты оптимизации следует рассматривать как
предварительные и уточнять их впоследствии с использованием адекватной математической модели.
Рассмотрим ряд задач оптимизации проектируемого БТП. Пусть
управление
управлений
u –
скаляр (это возможно при синхронном изменении всех
u
,
j
nj ,1=
, на отрезке
+−
uu ,
одним регулирующим
jj
103
органом); ограничения
(
)
~
I
~
~
I
~
(
)
кая (непрерывно дифференцируемая). Требуется найти минимальную
себестоимость продукции
при связях
р
н
Задача минимизации (3.15) разрешима и устойчива. Если I(u) выпуклая вниз функция, то решение
I(u
) число стационарных точек
шим, тогда для выбора наименьшего значения
I(u
) при
Iρ = I(u
) – сканированная ордината I(
ρ
u ∈ [u
–
,
достигается в точке
–
+
(
u
,
u
), т.е. слева и справа от
эти ординаты можно аппроксимировать параболой
коэффициенты
c
квадратов. Функция
нимум
*
(–
c
/2
c
1
2
Найденные значения
функция
)(~uI
и значение
g
(·),
i =
i
=auyxf
+
u
] и определять
*
u
, расположенной внутри открытого множества
,
c
,
c
0
которой определяются методом наименьших
1
2
)(~uI
) в точке
1, 2, отсутствуют; функция I(u) – глад-
*
I
(u), такую, что
*
I
0,,,
.
(u) = min
I
c
I
(
u
*
*
I
(
u
) имеются ординаты
I(u
u ∈ U
*
– единственное; при невыпуклой
c
) может быть сколь угодно боль-
*
I
= minρ(
u
) (3.15)
*
I
следует сканировать
I
,
I
, …,
1
),
ρ
I
2
K,1=ρ
ρ
. Если значение
I
ρ
)(~uI
=
сильно выпуклая и имеет единственный ми-
*
u
= –
c
/2
c
.
1
*
I
и/или
*
u
используются в регламенте для характе-
2
*
, а также аппроксимирующая
, …,
,
c
+
0
c1u
I
), где
K
K,1=ρ
+
, то
c2u
*
I
2
ристики оптимального рабочего режима функционирования БТП.
Оптимизационная задача (3.15) решается аналогично для
+
=ннхx
, соответствующие результаты решения также используются в
−
=ннхx
и
технологическом регламенте.
В некоторых случаях более актуальной является аргументная задача оптимизации БТП, когда требуется найти управление
*
I(u
при связях
ции I(u) аргументная задача (3.15a) разрешима и устойчива, но число
решений
ределения
р
н
*
u
может быть сколь угодно большим. Лучшим способом оп-
*
u
является сканирование функции I(u) на отрезке [
=auyxf
выявление минимальной ординаты
= I
(
u
),
ρ
объявляется решением задачи (3.15a). Если
ва от
104
*
u
K,1=ρ
. Аргумент
имеются несколько сканированных ординат
) = min
0,,,
. При выпуклой и/или невыпуклой функ-
I
*
u
, на котором ордината
u ∈ U
*
= minρ(
I(u
) (3.15a)
I
,
I
, …,
1
2
–
*
u
<
u
*
u
, такое, что
I
, …,
I
ρ
*
I
минимальна,
+
<
u
и слева, и спра-
I
, то их можно
ρ
u
), где
K
–
+
,
u
] и
I
=
ρ
,
аппроксимировать параболой
~
(
)
~
~
~
~
I
(
)
{
}
(
)
(
)
~
оценки, и определить
*
u
= –
)(~uI
=
c
+
c1u
0
c
/2
c
и
1
2
*
uI
2
+
c2u
, где
. Значения
c
,
c
,
c
– МНК-
0
1
2
*
*
u
,
*
I
и
u
,
используются при оптимизации функционирующего БТП с адекватной
моделью статики.
Пусть управление
тимизации аналогичны задаче (3.15). Требуется найти минимальную
себестоимость
при связях
*
I
{
р
н
При выпуклой функции I(
чива, а единственное решение может достигаться в точках
u = {u
u
,
u
}, такую, что
1
2
*
I
,
u
}; остальные параметры задачи оп-
1
2
(
u
,
u
) = min
1
2
0,,,,
=auuyxf
21
u
,
u
) задача (3.15б) разрешима и устой-
1
2
I(u
u ∈ U
,
1
и условии
u
) (3.15б)
2
+−
≤≤
uuu
,
j =
jjj
*
u
, распо-
1, 2.
ложенных внутри или на границах замкнутого множества
+−
jjj
Для исследования топологии I(
2,1,: =≤≤=
juuuuU
.
u
,
u
) и определения
1
2
*
I
можно
использовать известную итерационную градиентную процедуру:
r+ –
ε≤−
или при
1
rr
uuIhuu ∂∂⋅−=
,
j =
1, 2;
r =
j
0, 1, 2, …,
+
r
, где
r –
номер
номер окончания итерационного процесса при
−+
r
1
≤
uu
, или
j
j
++
r
1
≥
uu
,
j =
1, 2;
h –
j
j
параметр,
r
+)(1
j
j
итерации,
1
−r
r
uu
j
j
подбираемый при счёте. Зададим несколько начальных точек
00λ=
r
= uu
λ
,
d,1=λ
,
d ≥
15…20, равномерно распределённых по мно-
жеству U; затем запустим итерационные процедуры и зафиксируем
*
*
*
(
u
*
), где
r
= uu
,
λλ
*
u
– среднее значение
d,1=λ
. Если все
точки их останова
I(u
,
u
) – строго или просто выпукла и имеет единственную точку ми-
1
2
нимума
*
u
и
I
пуклая функция, имеющая «плато» с
полезно аппроксимировать ординаты
+
c
u = {u
,
u
1
2
uI
2
u
2
1
, …,
r
, 2 < r <
λ
+
c3u
∂c
,
u
, …,
1
2
u
K
j
) =
промежуточные значения
раболой
)(~uI
=
c
+
c1u
0
1
определяемые из условий ∂I(u)/
ние
min uI
)(
является приближённым решением задачи (3.15б).
Пусть управление
ненты задачи аналогичны задаче (3.15б). Требуется найти минимальную себестоимость
*
I
(
u
uI
+
r
,
2
+
c
u
2
4
2
= 0,
u
}, K ≤ 5…7; остальные компо-
K
*
I
(u), такую, что
*
u
примерно равны, то
λ
*
u
; иначе I(
λ
0
,
λ
d,1=λ
, где
c
0
4,1=j
. Единственное значе-
u
1
0)(grad ≈uI
. В любом случае
d,0=λ
, и некоторые
, квадратичной па-
…
c
– МНК-оценки,
4
,
u
) – невы-
2
105
*
*
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
I
при связях
(u) = min
р
н
0,,,,
=auuyxf
21
и условиях
u ∈ U
I(u
)
+−
≤≤
uuu
,
jjj
Kj ,1=
.
Анализ данной оптимизационной задачи и его результаты аналогичны исследованию топологии функции I(
ция ординат
0
uI
,
λ
d,1=λ
, и
r
uI
λ
, 2 < r <
u
,
u
), однако аппроксима-
1
2
+
r
, квадратичной параболой
в данном случае крайне затруднительна (практически невозможна).
Для приближённого преобразования выпуклой или невыпуклой с
«плато» функции I(u) в сильно выпуклую функцию построим следующую зависимость:
где
u
– ранее найденная точка
0
r
uI
; α – положительный параметр, подбираемый при минимизации
λ
Фα(и) = I(u) + α(
u
u – u
)2,
0
*
r
с минимальной
λ
*
r
uI
λ
ординатой
Фα(и) из условия её сильной выпуклости, что проявляется в быстрой
сходимости итерационной процедуры к единственной «минимальной»
точке
мается
Φ
выпуклое ограничение
кая, выпуклая. Требуется найти минимальную себестоимость
такую, что
при связи
*
u
. За приближённое решение оптимизационной задачи прини-
α
*
=
*
uI
, где α* – минимальное значение α, при котором
*
α
u = {u
,
1
р
н
I
)(*u
– сильно выпуклая функция.
α
Пусть далее
u
} ∈
U =
2
р
н
1
*
I
(u) = min
0,,,
=auyxf
и выпуклом ограничении
0)(,,
≤⋅= guyxg
, функция I(
1
I(u
) (3.15в)
u
+−
jjjj
2,1,: =≤≤
juuuu
1
u
,
u
1
р
н
; имеется
) – глад-
2
*
I
(u),
0,,
≤uyxg
.
Преобразуем эту условную оптимизационную задачу (3.15в) к задаче безусловной оптимизации (не учитывая множество U):
α
i
где αi – положительный параметр,
минимизации
)(u
Φ
; «штрафная» функция
α
i
i =
1, 2, …, подбираемый в процессе
2
)()()( ⋅α+=Φ
guIu
,
1
i
2
)(⋅g
типа квадрата
1
«срезки»:
)(1⋅g
= 0 при
g
(·) ≤ 0;
1
)(1⋅g
=
g
(·) > 0.
1
106
Поиск минимума
~
(
)
~
~
(
)
~
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
~
(
)
~
методом градиентов из произвольной начальной точки
жащей вне области допустимых управлений U ×
«
внешней
точки»). Последовательно увеличивая αi, будем получать
последовательность точек минимизирующей последовательности
сходящейся к некоторой точке минимума
Если начальная точка
дует применять метод
«штрафная» функция
g
(·) → 0. При минимизации
1
)(u
Φ
α
i
r = 0
u
«
внутренней
1
⋅α−g
1
i
при заданном малом αi осуществляется
r = 0
=
u
IuI ≈
g
(·), то сле-
1
0
, ле-
u
**
.
*
r
α
i
u
g
(·) (это – метод
1
*
u
, на которой
принадлежит области U ×
точки», в котором используется
)(
, стремящаяся к бесконечности при
)(u
Φ
методом градиентов параметр
α
i
штрафа αi постепенно уменьшают, что способствует сходимости точек
останова
r
u
к некоторой точке
α
i
*
u
, на которой
**
IuI ≈
. Отметим,
*
что все варианты метода «штрафных» функций не позволяют находить
точное решение задачи условной оптимизации из-за образования «ов-
ражных» поверхностей в окрестности
Пусть
ются выпуклые ограничения
поненты аналогичны задаче (3.15в). Требуется найти минимальную
себестоимость
при связях
u = {u
*
I
р
н
,
u
,
u
} ∈
1
2
{
u
,
u
,
1
2
*
U =
3
u
}, такую, что
3
=
321
р
н
=auuuyxf
р
uyxg ,,
н
1
Uu∈
0,,,,,
и ограничениях
uuuIuuuI
.
+−
juuuu
jjjj
0)(,,
≤⋅=λλguyxg
, остальные ком-
),,(min),,(
321321
g
(·) ≤ 0,
1
3,2,1,: =≤≤
; име-
g
(·) ≤ 0.
2
Преобразуем эту задачу условной оптимизации в задачу безусловной
оптимизации методом «штрафной» функции:
α
Поиск минимума
i
Φ
α
i
градиентов из произвольной начальной точки
области U ×
g
(·) ×
1
g
(·). Если постепенно увеличивать αi, то последо-
2
вательность точек останова градиентной процедуры
диться к некоторой точке
решение
**
IuI ≈
.
u
2
1
i
)(u
при заданном αi выполняется методом
*
, на которой достигается приближённое
2
)()()()( ⋅+⋅α+=Φ
gguIu
.
2
r = 0
u
0
=
u
, лежащей вне
*
r
u
будет схо-
α
i
,
107
Если начальная точка
(
)
{
}
r = 0
u
лежит внутри области U ×
g
(·) ×
1
g
(·),
2
то следует применять описанный метод внутренней точки со «штрафной» функцией
Примечание
)(⋅λg
, λ = 3, 4, … , то в уравнении статики необходимо использовать
1
1
i
.
Если в задаче оптимизации число ограничений
вектор управлений размерности λ + 1, т.е.
1
−−
)()(
⋅+⋅α
gg
, где αi – yбывающий параметр.
2
u = {u
λ + 1
, λ = 3, 4, …}.
Построение областей допустимых режимов
функционирования процесса
При постановке и решении задач статической оптимизации БТП
необходима информация о существовании и размерах областей
допустимых нагрузок
x
∈
U
и допустимых управлений u ∈ U проек-
н
нд
U
нд
тируемого БТП. Предположим, что на стадии предпроектных исследований определены точные граничные значения вектора нагрузки
+
x
, а минимальные и максимальные значения управления заданы ап-
н
−
x
и
н
риори и уточняются в ходе построения областей допустимых управле-
+−
ний
U
для каждого значения нагрузки по сырью
д
Анализ построенных областей допустимых управлений
=
р
ннн
,, xxxx
U
д
.
н
позволит убедиться в их существовании для всего набора нагрузок и обеспечить возможность выбора номинального (рабочего) режима функционирования БТП с заданным ресурсом по управлению.
Допустимыми управлениями назовём такие переменные u ∈
U
д
которые обеспечивают выполнение регламентных ограничений на
производительность БТП, себестоимость, КПД и т.п. Зададим эти ограничения в форме неравенств:
g
(
x
, у, и) ≤ 0,
j
н
тj ,1=
, (3.16)
значения которых будем вычислять с помощью уравнения статики ТП:
f(x
, y, u) = 0.
н
Подставляя значения (
ленно, определяем вектор y и затем вводим его в
x
, u) в уравнение (3.14) и решая его чис-
н
g
(
x
, у, и),
j
н
тj ,1=
После этого проверяем выполнимость ограничений (3.16) в заданном
наборе (
x
, u). Если все ограничения выполняются, то точка (
н
x
, u) яв-
н
ляется допустимой, в противном случае – недопустимой.
Если управление
дится к определению двух граничных значений
тора u и выпуклости функций
108
u –
скаляр, то задача построения области
g
(
x
, у, и) по переменной u – к опреде-
j
н
–
+
u
,
u
, а в случае век-
U
сво-
д
,
.
лению вершин параллелепипеда
{
}
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
U
, в которых должны выполняться
д
ограничения (3.16).
Область
сканирования функций
зок
двухмерного вектора управлений
На первом шаге для заданной нагрузки
тимые нижние значения
задаёмся произвольными значениями
рации, подставляем набор
деляем вектор
полнимость ограничений (3.16) при наборе
выполнимости ограничений точка
мой и можно уменьшить
–(ν + 1)
пока
u
увеличиваются нижние границы
–(ν + 1)
u
не станет допустимым.
После уточнения нижних границ
−
j
н
няем
)(
= uuu
)(
= uxyy
)(
= uuu
н
j
U
допустимых управлений можно построить методом
д
g
(
x
, у, и),
j
н
+−
=
р
,, xxxx
. Покажем алгоритм сканирования на примере
н
ннн
=21, uuu
н
(ν)
y
. Далее
y
1
(ν)
подставляем в
–
u
по формуле
не станет недопустимым. В противном случае поочерёдно
uyxg
,,
,
)(
2
ν−ν
,
1
2
,
н
ν−ν
,
1
2
,,
uyxg
тj ,1=
, по
u
при фиксированном значении
2
−ν
uuu ∆+=
, подставляем переменные
22
)(
в уравнение (3.14) и, решая его, получаем значение
)(
ν−ν
. Далее вводим в ограничения переменные
)(
(ν)
, у
, вычисляем значения функций-ограничений
)()(
νν−
,
тj ,1=
, и анализируем выполнимость ограниче-
тj ,1=
, для фиксированных нагру-
u = [u
,
u
].
1
2
−−−
. Процедура подбора проста:
)(
,
1
)(
)(
ν−ν−
,,
uux
в уравнение (3.14) и опре-
2
g
)(
н
1
–(ν + 1)
u
–(ν + 1)
u
=
u
–
u
выполняем сканирование
−
=ннxx
подбираем допус-
)(
ν−ν−
uu
, где ν – номер ите-
2
(
x
, у, и) и проверяем вы-
j
н
)(
,,
н
,,
uux
2
=
–(ν)
+ ∆u до тех пор, пока
uux
2
1
)(
ν−ν−
является допусти-
–(ν)
u
– ∆u до тех пор,
)(
ν−ν−
. В случае
u
1
−
: изме-
x
=
н
x
=
н
−
x
н
−
x
н
ний (3.16). Если они выполняются, то включаем значения
)(
= uuu
шагу. В противном случае вектор управлений
включаем в область
изменении
)(
ν−ν
,
1
в допустимую область
2
U
и переходим к следующему шагу, и т.д. при
)(
ν
u
до максимального значения
2
д
U
и переходим к следующему
д
)(
= uuu
+
u
.
2
ν−ν
,
1
2
)(
не
Затем выполняем сканирование функций-ограничений
−
uyxg
,,
j
н
по и2 при новом значении
)(
k
−
uuu
∆+=
, где
k –
1
11
номер
,
,
109
итерации по переменной
{
}
{
}
u
. Сканирование продолжается до тех пор,
1
пока не закончим построение области допустимых управлений в пространстве переменных
Далее зафиксируем нагрузки
u
,
u
для заданного значения
1
2
x
=
н
x
действия, описанные выше при изменении
до максимальных значений с шагами ∆
u = [∆u
р
,
н
u = [u
+
x
=
x
н
н
,
u
1
, ∆
u
1
−
x
=
x
.
н
н
и повторяем все
] от минимальных
2
], величины кото-
2
рых подбираем экспериментально.
Если размерность вектора u более 2, а число ограничений менее 3,
то построение областей допустимых режимов
U
методом сканирова-
д
ния становится проблематичным. Необходимы другие, менее трудоёмкие подходы к анализу существования допустимых управлений, не
требующих построения области
Введём функцию η(
ванном
x
с учётом связи между переменными
н
Знак η(
x
) указывает на соответствие или несоответствие функ-
н
η(
x
x
н
ционирования БТП технологическому регламенту: если η(
+−
всех
=
р
,, xxxx
, то БТП функционирует в соответствии с техно-
н
ннн
U
.
) выполнимости ограничений при фиксиро-
н
) = minumaxj
д
x
, у, и в форме (3.14):
н
g
(
x
, у, и). (3.17)
j
н
x
) < 0 для
н
логическим регламентом; в противном случае имеет место его нару-
+−
шение. Решая задачу (3.17) для фиксированного
=
р
,, xxxx
н
ннн
можно определить вектор управлений u, обеспечивающий выполнение
ограничений (3.16).
Задачу (3.17) можно упростить, переписав её в форме оптимизационной задачи на условный минимум: определить скалярную величину α < 0, такую, что η(
уравнений (3.14) и ограничений
x
) = min
н
α, при выполнении связей в форме
u, α
g
(
x
, у, и) ≤ α,
j
н
тj ,1=
.
,
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]