Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Системный анализ и моделирование при разработке экспертных систем. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Рис. 5.1. Иллюстрация методов решения многокритериальных задач:

а – оптимизация по одному «суперкритерию», являющемуся линейной

комбинацией частных критериев; б – метод уступок; в – задание уровней

притязания; г – нахождение паретовского множества альтернатив

5.2.2. СВЕДЕНИЕ МНОГОКРИТЕИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ К

Рассмотрим наиболее употребительные способы решения многокритериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента:

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине

, выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия). Вид

ОДНОКРИТЕРИАЛЬНОЙ

q0(x) = q0(q1(x), q2(x), …, qp(x)). (5.2)

функции q0 определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого

()(

(

критерия в суперкритерий; обычно используют аддитивные или мультипликативные функции:

∏

∑

; (5.3)

⎛ ⎜

11 . (5.4)

⎜ ⎝

⎞

⎟

−=− ⎟

⎠

Коэффициенты si обеспечивают, во-первых, безразмерность числа

/ si (частные критерии могут иметь разную размерность, и тогда не-

которые арифметические операции над ними, например сложение, не имеют смысла) и, во-вторых, в необходимых случаях (как в формуле (5.4)) выполнение условия β

/ si ≤ 1. Коэффициенты αi и βi отражают

iqi

относительный вклад частных критериев в суперкритерий.

Итак, при данном способе задача сводится к максимизации су-

перкритерия:

= (5.5)

Xx∈

)

....,,maxarg

xqxqqx

Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, которые необходимо учитывать при использовании этого метода. Оставив в стороне трудности построения самой функции и вычислительные трудности ее максимизации, обратим внимание на следующий очень важный момент. Упорядочение точек в многомерном пространстве, в принципе, не может

быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Суперкритерий играет роль этой упорядочивающей функции, и его даже «небольшое» изменение может привести к тому, что оптимальная в новом смысле альтернатива окажется очень сильно отличающейся от старой. На рисунке 5.1, а видно, как изменяется выбор наилучшей альтернативы при простой смене коэффициентов жается в изменении наклона соответствующей прямой: q

), но q02(x

01(x2

в линейной упорядочивающей функции (5.3), что отра-

) < q02(x

). Заметим, что линейные комбинации част-

01(x1

) >

ных критериев придают упорядочению следующий смысл: «чем дальше от нуля в заданном направлении, тем лучше». На рисунке 5.1, а направления, соответствующие суперкритериям q

и q02, изображены

стрелками. Идея такого упорядочивания в многомерном пространстве заложена в некоторых балльных системах оценки вариантов. Другой вариант поиска альтернативы, самой удаленной от нуля в заданном направлении, дает максимизация минимального критерия [19]:

(

⎧

⎡

x minmaxarg

⎪ ⎨

⎢

∈

⎪

⎣

⎩

⎫

⎤

)

xqa

⎪

, (5.6)

⎬

⎥

⎪

⎦

⎭

что означает поиск вокруг направления αiqi / si = const методом «подтягивания самого отстающего».

5.2.3. НАХОЖДЕНИЕ ПАРЕТОВСКОГО МНОЖЕСТВА

Четвертый полностью формализуемый способ многокритериального выбора состоит в отказе от выделения единственной «наилучшей» альтернативы и соглашении о том, что предпочтение одной аль-

тернативе перед другой можно отдавать, только если первая по всем критериям лучше второй.

Если же предпочтение хотя бы по одному критерию расходится с предпочтением по другому,

то такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате попарного сравнения альтернатив все худшие по всем критериям альтернативы отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой (недоминируемые) принимаются. Если все максимально достижимые значения частных критериев не относятся к одной и той же альтернативе, то принятые альтернативы образуют множество Парето и жирной линией выделено

выбор на этом заканчивается. На рисунке 5.1, г

множество Парето для рассматриваемого

примера. При необходимости же выбора единственной альтернативы следует привлекать дополнительные соображения: вводить новые, добавочные критерии и ограничения, либо бросать жребий, либо прибегать к услугам экспертов.

Мы обсудили наиболее употребительные способы описания выбора в терминах критериального языка. Возможны и другие постановки задач на этом языке;

наша цель состояла в том, чтобы дать лишь общее представление об их многообразии. Математические аспекты решения изложенных и других задач оптимизации рассматриваются в ряде монографий и учебников (см., например, [18]). Для обозримости и облегчения запоминания приведем схему совокупности изложенных способов (рис. 5.2).

5.3. ГРУППОВОЙ ВЫБОР

В человеческом обществе единоличное принятие решений является не единственной формой выбора. «Ум – хорошо, а два – лучше», гласит поговорка, имеющая в виду тот случай, когда оба ума с одинаковыми намерениями пытаются найти хороший выбор. Этот случай мы и рассмотрим в данном параграфе (выбор в условиях конфликта будет рассмотрен в дальнейшем

ОДНОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ

Критериальные

задачи выбора

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ

Разноважные

критерии

Свертывание

критериев в один

аддитивное

мультипликативное

максиминное

Приоритет

важнейшего критерия

условная оптимизация

оптимизация с нежесткими ограничениями

метод уступок

Задание уровней

притязаний или

целевой точки

минимизация

расстояний

Равноважные

критерии

недоминируемых

альтернатив

множество Парето

Отбор

Рис. 5.2. Классификация задач выбора и способов их решения при

их описании на критериальном языке

Итак, пусть на множестве альтернатив X задано n в общем случае различных индивидуальных предпочтений (для определенности будем говорить о бинарных отношениях) R

работке некоторого нового отношения R, которое согласует индивидуальные выборы, выражает в каком-то смысле «общее мнение» и принимается за групповой выбор. Очевидно, что это отношение долж-

но быть какой-то функцией индивидуальных выборов: R = F(R Различным принципам согласования будут отвечать разные функции F. В принципе, т.е. теоретически, функции F могут быть совершенно произвольными, Учитывать не только индивидуальные выборы, но и другие факторы, в том числе и исход некоторых случайных событий (например, бросания жребия), и главный вопрос состоит в том, чтобы правильно отобразить в функции реального группового выбора.

Один из наиболее распространенных принципов согласования –

правило большинства: принятой всеми считается альтернатива,

получившая наибольшее число голосов. Правило большинства привле-

кательно своей простотой и демократичностью, но имеет особенности,

5.3.1. ОПИСАНИЕ ГРУППОВОГО ВЫБОРА

, R2, ..., Rn. Ставится задача о вы-

F особенности конкретного варианта

5.3.2. РАЗЛИЧНЫЕ ПРАВИЛА ГОЛОСОВАНИЯ

....Rn).

требующие осторожного обращения с ним. Прежде всего оно лишь обобщает индивидуальные предпочтения, и его результат не является критерием истины. Только дальнейшая практика показывает, пра-

вильным или ошибочным было решение, принятое большинством голосов; само голосование – лишь форма согласования дальнейших действий. Во-вторых, даже в простейшем случае выбора одной из

двух альтернатив легко представить себе ситуацию, когда правило большинства не срабатывает: разделение голосов поровну при четном числе голосующих. Это порождает варианты: «председатель имеет два голоса», «большинство простое (51%)», «подавляющее большинство

(около 3/4)», «абсолютное большинство (близкое к 100%)», наконец, «принцип единогласия (консенсус, право вето)».

Подчеркнем, что при любом из этих

вариантов подразумевается отказ от принятия решения, если ни одна из альтернатив не получила необходимого процента голосов. Поскольку в реальной жизни отказ от дальнейших действий, следующих за решением, бывает недопустимым, а переход к принятию за групповой выбор выбора отдельного лица («диктатора») – нежелательным, разрабатываются различные приемы, сокращающие число ситуаций, приводящих к отказу

Например, если два эксперта дали противоположные предпочтения между двумя вариантами а и b, то можно сделать выбор, сравнивая «силу предпочтения» каждого эксперта. При возможности введения количественного критерия оценки это сводится к арифметической операции, но и при порядковом сравнении есть возможность оценки

«силы предпочтения». В криминалистической практике в

таких случа-

ях экспертам предлагается в одном ряду с а и b упорядочить по предпочтению еще несколько альтернатив, скажем c, d и е. Пусть первый эксперт дал упорядочение (с, d, а, b, е), а второй – (b, с, d, е, а). Тогда можно сделать вывод, что степень предпочтения b по

сравнению с а у второго эксперта больше, чем степень предпочтения а перед b у первого, и принять решение в пользу b (за этим приемом стоит ряд предположений – сравнимость интенсивностей предпочтений, одинаковая компетентность экспертов и т.д., требующих проверки в ответственных случаях).

Если же не удавалось достичь консенсуса не

только по поводу самих альтернатив, но и относительно способа их проверки, то, по мнению Акоффа, следует найти консенсусное решение, что же делать дальше. Интересно его наблюдение, что в таких случаях обычно принималось решение поручить выбор одному из авторитетных и ответственных лиц

(мы еще вернемся к этому моменту). Фактически это

переход от демо-

кратического, но не давшего решения правила голосования, к недемократическому, но приводящему к какому-то решению «диктаторскому» принципу. Такое экспериментальное наблюдение имеет и теоретическое объяснение, излагаемое ниже на качественном уровне.

Итак, следующая особенность правила голосования – это воз-

можность отказа от выбора из-за недостижения требуемого большинства. Казалось бы, исключив такую возможность, можно обеспе-

чить принятие решения в любых случаях. Например, пусть три эксперта большинством голосов решают вопрос, какая из двух альтернатив

5.3.3. ПАРАДОКСЫ ГОЛОСОВАНИЯ

более предпочтительна. При такой постановке вопроса они действи

тельно не могут не сделать выбор. Однако здесь мы приходим к еще одной особенности правила голосования – его нетранзитивности.

Пусть, например, каждая из трех группировок законодателей, образующих большинство лишь попарно, выдвинули свой вариант законопроекта: a, b и с. Или три парня заспорили, чья девушка лучше, и намереваются решить спор голосованием. Чтобы

гарантировать большинство на каждом шаге процедуры, альтернативы предъявляются попарно. Каждая сторона руководствуется при этом своим набором предпочтений; пусть это соответственно последовательности (а > b > с), (b > с > а) и (с > а > b).

После голосования по паре (а, b) в результате получаем два голо-

са против одного: а > b

по паре (b, с) имеем b > с; по паре (с, а) имеем

с > а. Голосование большинством не привело к выяснению «общепри-

знанного» порядка альтернатив: а > b > с > а. В случае же применения процедуры, при которой после рассмотрения очередной пары отвергаемая альтернатива заменяется новой, окончательно принятое решение зависит от

порядка предъявления альтернатив: при порядке (а, b, с) выбирается с; при порядке (b, с, а) выбор остановится на а; при порядке (а, с, b) – на b. Если таким образом принять законопроект, то чье мнение он будет выражать – большинства или организатора голосования? Очевидно, что такие решения не отвечают идеалу согласованного группового выбора.

Причина данного парадокса нетранзитивности группового выбора состоит, конечно, в цикличности совокупности исходных индивидуальных предпочтений. Однако это лишь частный пример более общего явления, получившего название

возможности

). Не вдаваясь в подробности этой теоремы и ее доказа-

парадокса Эрроу (или теоремы о не-

тельства, изложим ее смысл.

Из всевозможных функций F индивидуальных выборов R

...R

выделим те, которые отвечают требованиям, выражающим наше понимание того, какой выбор можно считать согласованным. Кроме формальных требований:

1°) «n ≥ 2», «число альтернатив ≥ 3», «F определена для любых «{R

}», естественно также потребовать, чтобы:

2°) если в результате группового выбора предпочтение было от-

(

дано альтернативе х, то это решение не должно меняться, если кто-нибудь из ранее отвергавших x изменил свое предпочтение в его пользу

(условие монотонности);

3°) если изменения индивидуальных предпочтений не коснулись

определенных альтернатив, то в новом групповом упорядочении порядок этих альтернатив не должен меняться (условие независимости не-

связанных альтернатив);

4°) для любой пары альтернатив х и у существует такой набор индивидуальных предпочтений, для которого F(R

, ..., Rn) = (x > y) (усло-

вие суверенности; без него возможно навязывание у независимо от по- рядков предпочтений индивидуумов);

5°) не должно быть такого индивидуума, для которого из его предпочтения x > у (при любых x и y) вытекает, что F(R

, ..., Rn) = (x > y)

независимо от предпочтений других индивидуумов (условие отсутствия диктаторства).

Парадокс Эрроу состоит в том, что первые четыре условия противоречат пятому; не существует правила F, удовлетворяющего всем пяти требованиям. Анализ причин такого обескураживающего следствия из столь невинных на вид предположений показывает [21], что основную роль играет возможность циклических множеств

ранжирований, что ха-

рактерно для бинарных отношений, удовлетворяющих условию 3°.

Нетранзитивность мажоритарного отношения может проявляться и в других неожиданных формах. Рассмотрим такую задачу [21]. Пусть каждый из n субъектов имеет свою долю а

∑

Вектор стояние

≥ bi. Будем теперь производить перераспределение ресурсов на ос-

= назовем состоянием системы. Другое со-

()

= с точки зрения i-го субъекта хуже a , если

)

aaa ...,,

bbb ...,,

нове очень сильного большинства: система перейдет из состояние

b не хуже а для всех, кроме одного («тотально-мажори-

тарное правило»). Последовательность состояний называть тотально-мажоритарным путем из

, – общего ресурса

a в b , если

aaa ...,,,

будем

a в ka , если переходом в

очередное состояние удовлетворены все участники, кроме, естественно, того, чей ресурс в данный момент перераспределяется. Пусть те-

перь заданы два произвольных состояния системы: условиях существует тотально-мажоритарный путь из

a и b . При каких

a и b ? Оказы-

вается, что такой путь существует всегда. Снова имеем дело с па-

радоксом: возможны любые перераспределения, и все они выражают мнение «всего общества», кроме одного субъекта (правда, эти «несогласные» на разных этапах различны).

Задачи группового выбора часто все же могут быть разрешены. Во-первых, в ряде случаев циклические ранжирования могут отсутствовать, либо они не охватывают «наиболее важные» альтернативы, либо принимаются

меры по их обнаружению и устранению. Во-вторых, во многих случаях диктаторский принцип согласования не является неприемлемым. Это иллюстрируется примером оптимизации по «главному» из нескольких критериев. В других случаях это единственно возможный принцип (например, единоначалие в армии). В-третьих, переход (когда это возможно) к использованию единой числовой, а

не порядковых индивидуальных шкал предпочтений может вообще аннулировать проблему нетранзитивности. В-четвертых, в реальных ситуациях мажоритарные правила применяются в комбинации с другими правилами, так что, образовав, например, коалицию, группы субъектов могут блокировать действие голосования.

Здесь мы приходим к еще одной особенности голосования, кото-

рую следует иметь в виду на

практике. Речь идет о вмешательстве коалиций в механизм голосования, фактически меняющем его характер. Например, при многоступенчатом голосовании по правилу большинства коалиция, находящаяся в меньшинстве, может добиться принятия своего решения. На рисунке 5.3 изображено голосование по три большинством в 2/3 на каждой ступени. Видно, что уже на второй ступени меньшинство может

навязывать свое мнение большинству. Если число ступеней не ограничивать, то теоретически побеждающее таким образом меньшинство может быть сколь угодно малым. То, что при многоступенчатом голосовании может победить кандидат, не набравший действительного большинства голосов, происходит и в действительности. Например, в 1876 г. президентом США был избран Р.Б. Хейес

Рис. 5.3. Иллюстрация парадокса многоступенчатого голосования при

наличии коалиции

(185 голосов выборщиков), а не С.Дж. Тилден (184 голоса), хотя на до-

∈

лю последнего пришлось 51% голосов всех избирателей. Такие же ситуации имели место в президентских выборах 1874 и 1888 гг.

5.4. ВЫБОР В УСЛОВИЯХ

До сих пор мы обсуждали подходы к описанию и осуществлению выбора в таких условиях, когда последствия сделанного выбора были определены однозначно. Выбор одной из альтернатив х зан с известным выбирающему однозначным следствием, и вся проблема выбора – это проблема сравнения разных следствий (или, что в данном случае то же самое, альтернатив).

5.4.1. ЗАДАНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В УСЛОВИЯХ МАТРИЦЫ В реальной практике нередко приходится иметь дело с более

сложной ситуацией, когда выбор альтернативы неоднозначно определяет последствия сделанного выбора: имеется набор возможных ис-

ходов у

∈ Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной

альтернативой, но какой именно – в момент выбора неизвестно, а станет ясным позже, когда выбор уже сделан и изменить ничего нельзя. Хотя с каждой альтернативой х связано одно и то же множест-

во исходов Y, для разных альтернатив одинаковые исходы имеют разное значение.

В случае дискретного набора альтернатив и исходов та-

кую ситуацию можно изобразить с помощью следующей матрицы:

y2 … yj … y

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

X был свя-

q11 q12… q

… q

… … … … … …

qi2 … q

… qim

… … … … … …

… q

В этой матрице все возможные исходы образуют вектор

()

= , числа q

бор альтернативы x q

могут иметь различный смысл: иногда это «выигрыши», иногда

«потери», «платежи»; в литературе употребляются также и другие названия.

yyy ...,,

выражают оценку ситуации, когда сделан вы-

и реализовался исход yi. В разных случаях числа

Если все строки

(

)

qqq ...,,

при любых i одинаковы, то про-

imii

блемы выбора между альтернативами нет. Если же строки матрицы различны, то возникает вопрос, какую альтернативу предпочесть, не зная заранее, какой из исходов реализуется.

Аналогично, в случае непрерывных множеств X и Y ситуация

описывается с помощью задаваемой на этих множествах функции

q(x, у),

х∈X, у∈ Y с соответствующей постановкой вопроса о выборе х.

Сказанного до сих пор недостаточно для формальной постановки

задачи выбора. При различной конкретизации этой задачи она приобретает различный смысл и требует различных методов решения. Исторически сложилось так, что первыми были формализованы искусственные, игровые задачи, что придало всей терминологии несколько легкомысленное

звучание (взаимодействующие стороны называются «игроками», выбираемые ими альтернативы – «ходами», правила выбора – «стратегиями», величины – «выигрышами», а вся теория – «теорией игр»).

Один класс задач называется «играми против природы». В таких задачах считается, что исходы y природы». Желательность каждой альтернативы х

, …, ym есть возможные «состояния

зависит от того, ка-

ково состояние природы, но узнать, каково оно, мы сможем лишь после того, как сделаем выбор.

В другом классе задач предполагается, что исходы Y – это множество альтернатив, на котором выбор осуществляет второй игрок. В отличие от бесстрастной Природы второй игрок преследует свои интере-

отличные от интересов первого игрока. При этом матрица Q = ||qij||,

сы, характеризующая оценки ситуаций с точки зрения игрока, выбирающего х, уже недостаточна для описания всей игры. Необходимо задать вторую матрицу U = ||u

||, описывающую игру с позиций второго игро-

ка. Задание X, Y, Q и U называется нормальной формой игры. Расхождения между матрицами Q и U определяют степень антагонизма игроков. Если a строгим. В случае q

+ uij = const для всех i и j , то соперничество называется

+ u

= 0 имеем игру с нулевой суммой. Можно

представить себе игры, где выигрыши и проигрыши сторон не связаны линейно и это будет отражать усиление или ослабление конфронтации сторон. Можно также рассматривать изменение матриц платежей после очередного хода. Например, интерес исследователей привлекли игры с нарастающей конфликтностью; примером может служить игра

«в цыпленка

», но, конечно, у такой задачи есть и более серьезные при-

ложения. Возможны и другие обобщения, например рассмотрение игр с участием большего числа участников, с образованием коалиций между ними и т.д.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]