Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Репетитор по физике. Электромагнетизм. Учебное пособие
.pdf
чина этой силы определяется выражением
FeUB
=
Fma=
R
R
eB
==
v
eB
eB
π
B = 13 ìÒ
m
, где е –
заряд электрона, а v – его скорость. Поэтому в соответствии
2
с уравнением движения
, где a
v
=
– нормальное
n
ускорение, а т – масса электрона, можно записать:
2
v
=
,
откуда следует, что
R
= .
evBm
mv
Нетрудно заметить, что последняя формула является
частным случаем первой формулы из (2.6). Подставляя в эту
eU
формулу выражение для скорости электрона
лучим:
R
12
BmUe
910
⋅
−
2
ì
.
2
v
=
, по-
m
Период обращения электрона можно найти по формуле
π
R
2
T
=
. Подставляя в эту формулу выражение для R
mv
= ,
будем иметь:
2
T
==⋅
m
310
−
8
c .
Задача 1б. Электрон, ускоренный разностью потенциа-
U =⋅6103B , влетел в однородное магнитное поле под
лов
углом
α
= 30
траектории. Индукция магнитного поля
радиус R и шаг h винтовой траектории.
Решение
Траектория движения электрона
задана и представляет собой винтовую
линию, изображённую на рис. 2.6.
Электрон влетает в магнитное
поле со скоростью
к направлению поля и движется по винтовой
. Найти
eU
2
v
=
, где е –
m
Рис. 2.6
51
заряд электрона, а т – его масса.
v
B
v
B
vv vv
=⋅ =⋅
cos; sin
αα
v
vB
=
B
R
vB
eB
eB
==
TvT==⋅IIcos
α
α
eB B
e
,ì
v
Разложим вектор скорости электрона
на две составляющие (рис. 2.7),
одна из которых vII направлена
Рис. 2.7
вдоль поля
дикулярна полю
, а вторая
. Абсолютная ве-
– перпен-
⊥
личина этих составляющих определяется выражениями
II
⊥
Благодаря наличию составляющей скорости
трон будет действовать магнитная сила Fe
.
на элек-
⊥
m
, которая
⊥
заставляет его двигаться по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной вектору
определяется из условия
mv
mv
R
⊥
==
. Радиус этой окружности
⊥
=22 , откуда
⊥
mv
sin
α
⋅
.
Подставляя в последнюю формулу выражения для v, по-
лучим:
sinα2
R
Шаг винтовой линии определяется формулой
T
cos
, где Т – период обращения электрона. Подставляя
mU
B
e
10
−
2
ì .
hv
в данную формулу выражение для
222
ππαπ
T
R
==⋅=
v
⊥
R
sin
v
åB
m
,
будем иметь:
Задача 2а. С поверхности цилиндрического провода радиусом R, по которому течёт постоянный ток I, вылетает
электрон с начальной скоростью
παπα
coscos
mv
⋅
222
h
=
=
52
⋅
mU
=
011
.
, перпендикулярной по-
0
верхности провода. На какое максимальное расстояние r
dt
vv
xy
è
µ
dvdtdv
dx
dtdvdx
=⋅
удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть
обратно под действием магнитного поля тока?
Для решения задачи сначала необходимо найти магнитное поле провода с током. Вне провода оно совпадает
с магнитным полем прямого тока. Поэтому в данном случае
можно ограничиться анализом только уравнения движения
электрона.
Рис. 2.8
Направим провод вдоль оси Y, начальную скорость электрона v0 – вдоль оси X и изобразим на рис. 2.8 примерную
траекторию электрона. Очевидно, что эта траектория будет
расположена в плоскости ХОY, так как магнитное поле
в этой плоскости направлено вдоль оси Z. Запишем затем
спроектированное на ось Y уравнение движения электрона
(2.2) (см. табл. 2.1):
dv
y
m
ev B
= ,
x
где
– проекции скорости электрона на оси Х и Y;
т – масса электрона;
е – заряд электрона.
Подставим в данное уравнение выражение для В:
I
0
B
=
x
π
2
и учтём, что
dx
53
v
.
x
yy y
=⋅
Тогда получим:
xR=
vv
yx
= =
yx
= = =
00
22
π
−<
dv
dx
µ
eI
y
0
=
.
π
2
mx
Интегрируя последнее уравнение по Х от точки
где
00è , до точки xr vvv
v
,ãäå è
0
0 , будем
иметь:
r
eI
µ
v
==⋅
0
mdxx
π
∫
R
eI
µ
π
m
r
ln ,
R
откуда следует, что
mv
2
rR
= exp
0
.
eI
µ
0
Задача 3а. Магнитный поток, проходящий через поверхность рамки, изменяется со временем по закону, показанному на рис. 2.9. Качественно изобразить, как будет меняться
ЭДС индукции, возникающая в рамке вследствие изменения
магнитного потока.
,
ния закона электромагнитной индукции (2.7). В соответствии с рис. 2.9
Рис. 2.9
Решение
Задача может быть решена путём прямого использова-
t
<<
20 1
,
Φ
d
=− =
ε
i
dt
01 2
,
22 3
54
,
t
<<
t
<
Поэтому график зависимости
ε
tîò
,T
N = 100витков
ν
=5îáñ
,ì
ε
n
B
ΦΦ==⋅
α
будет иметь вид,
i
показанный на рис. 2.10.
Рис. 2.10
Задача 3б. В однородном магнитном поле с индукцией
B=01
равномерно вращается катушка, состоящая из
проволоки. Частота вращения катушки
, площадь поперечного сечения S = 001
2
, а ось
вращения перпендикулярна оси катушки и направлению
магнитного поля. Найти максимальную ЭДС индукции
max
в катушке.
Обозначим через α угол между нормалью
витков катушки и направлением магнитного поля
к плоскости
(так,
как это показано на рис. 2.11).
Тогда выражение для магнитного потока Ф, проходящего через поверхность витков катушки, можно записать
в виде
Рис. 2.11
NNBS1cos
55
.
Выразим угол α через время t:
αω πν
=⋅=tt2
ω
επνπ
dt
St
()
22
()
επν
==23
=
r020= ñì
IBt=
c
=
ε
R
ε
dt
,
где
– циклическая частота.
Для нахождения ЭДС индукции воспользуемся законом
электромагнитной индукции (2.7). В результате получим:
d
Φ
=− =⋅⋅
i
NB
ν
sin .
Максимальное значение ЭДС индукции достигается
sin2 1
πν
t
в моменты времени, когда
max
= . Поэтому
,
14NBS B .
Задача 3в. В плоскости квадратной рамки с омическим сопротивлением
R
70 Îì и стороной à=20 ñì
расположен на расстоянии
от рамки прямой бесконечный проводник (рис. 2.12). Сила тока в прово-
где
Рис. 2.12
b
= 2
A
. Проводник параллелен одной из сторон рамки.
3
днике изменяется по закону
Определить силу тока в рамке в момент времени t
10 c .
3
Решение
Так как сила тока в проводнике изменяется с течением
времени, то и магнитный поток через рамку с течением времени будет меняться. Под действием меняющегося магнитного потока в рамке будет возникать ЭДС индукции
. Силу
i
тока в проводнике можно, очевидно, рассчитать по формуле
ε
i
I
=
.
i
,
По закону Фарадея найдём
:
i
d
=−
56
Φ
.
ε
i
Для этого вычислим магнитный поток через рамку. По-
r
π
2
00
+
⋅+
ε
,A
скольку магнитное поле, создаваемое током, текущим в прямом бесконечном проводе, неоднородно, для вычисления
магнитного потока применим метод ДИ.
Разделим площадь рамки на столь узкие полоски (одна
такая полоска заштрихована на рис. 2.12), чтобы в пределах каждой полоски магнитное поле можно было считать
однородным. Элементарный магнитный поток через такую
полоску будет:
I
µ
dBadr
Интегрируя это уравнение по r в пределах
0
adrΦ= ⋅⋅ =⋅⋅
.
rra
äî
найдём:
ra
+
0
µ
I
Φ= ⋅⋅ =
00
∫
r
0
adr
π
r
22
µ
⋅⋅
abt
π
3
ln .
1
a
r
0
Подставив полученное выражение для потока в формулу закона Фарадея, получим:
2
µ
abt
3
d
Φ
=− =⋅+
i
dt
0
ln .
π
2
a
1
r
0
Наконец, найдём ток:
2
εµ
i
I
== ⋅+
i
R
abt
3
0
ln
R
π
2
a
12410
=⋅
r
0
−
6
.
,
Задача 4. Длинный прямой
проводник с током I и П-образный
проводник с подвижной перемычкой расположены в одной плоскости (рис. 2.13). Перемычку, длина
которой
, перемещают с постоянной скоростью v. Найти ЭДС индукции в контуре как функцию
расстояния r.
57
Рис. 2.13
Решение
dΦ
B
n
B
dBdS BdrΦ= ⋅=⋅⋅
dΦ
dt
dt
Bv
Φ
µ
µ
Iv
⋅⋅
ε
n
n
Для решения данной задачи вычислим приращение
магнитного потока
, проходящего через поверхность
замкнутого контура П-образного проводника, при перемещении перемычки на бесконечно малое расстояние dr.
При этом учтём, что магнитное поле
, в котором расположен контур, направлено перпендикулярно плоскости
контура. Тогда, полагая, что направление нормали
к поверхности контура совпадает с направлением поля
найдём:
.
,
Из полученного выражения для
d
ε
=− =− ⋅⋅ =− ⋅⋅
i
dr
B
следует, что
.
Подставляя в последнюю формулу значение магнитного
поля прямого проводника с током
I
0
B
=
,
r
π
2
найдём искомое выражение:
i
=−
0
2
.
π
r
указывает на то,
i
ε
Знак минус в данном выражении для
что ЭДС индукции направлена против положительного направления обхода контура (выбираемого в соответствие
с правилом правого винта).
Задача 5. Длинный ферромагнитный цилиндр объёмом V имеет две обмотки (одна на другой). Одна обмотка
содержит
витков на единицу длины, а другая –
1
2
Найти их взаимную индукцию, пренебрегая краевыми
эффектами.
.
58
Решение
Φ
Φ
=⋅⋅
B
I
Nn
22
=
=⋅⋅=⋅
µµ
;
I
Φ
Φ
=⋅⋅⋅⋅
µµ
IV
LnnV
=⋅⋅⋅
µµ
LnnV
=⋅⋅⋅
µµ
µµ
12
≠
L
Создадим в первой обмотке ток
ный поток
где
– магнитное поле, создаваемое током
1
через все витки второй обмотки. Он будет:
2
221
NBS ,
I
и вычислим магнит-
1
первой об-
1
мотки;
S – площадь сечения цилиндра;
– число витков второй обмотки;
– длина цилиндра.
Учитывая, что
BnIV S
10111
– магнитная проницаемость цилиндра при токе
где μ
1
ражение для потока
201121
можно представить в виде
2
nn
,
,
а выражение для коэффициента взаимной индукции
Φ
L
2
=
21
в форме
I
1
21 01 12
.
Аналогично находим и
, вы-
1
где μ
– магнитная проницаемость цилиндра при токе I2 во
2
второй обмотке.
Ввиду того, что в общем случае
будет отличаться от значения L21 (заметим, что данное различие характерно только для ферромагнетиков).
12 01 12
59
,
, значение
12
3. ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ
d = 20 ñì
=400A
a = 10 ñì
I = 100A
RR
12
31
= =
,ì
ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
3.1. Магнитное поле в вакууме
Вариант 1
1. На рисунке показана прямоугольная рамка (контур) с током
в магнитном поле. Укажите направление: а) векторов сил Ампера, действующих на стороны рамки А и С;
б) вектора вращающего момента относительно оси О.
2. Найдите индукцию магнитного
поля в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рисун-
ке. Прямолинейные участки проводника
очень длинные.
3. По трём параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии
текут токи одинаковой силы I
. В двух проводах на-
друг от друга,
правление токов совпадает. Вычислите силу, действующую
на единицу длины каждого провода.
4. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной
, течёт ток силой
. Найдите магнитную
индукцию В в точке пересечения диагоналей квадрата.
5. По внутреннему проводнику диаметром 1 мм коаксиального кабеля течёт ток 5 А, а по внешнему, диаметром
10 мм, течёт ток в обратном направлении 10 А. Найдите индукцию магнитного поля в точках на расстояниях
ìì, ìì .
0
6. Равномерно заряженный диск вращается с угловой
скоростью
ω
=−1001ñ
. Радиус диска
R=01
, поверхност-
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]