Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы оптимизации в радиотехнических системах. Практикум
.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Омский государственный технический университет»
Д. А. Титов, И. В. Юнкин, Н. В. Рубан
ОСНОВЫ ОПТИМИЗАЦИИ
В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Практикум
Омск
Издательство ОмГТУ
2016
ISBN 978-5-8149-2166-6
© ОмГТУ, 2016
УДК 621.391:004.383.3(075)
ББК 32.811.3я73
Т45
Рецензенты:
П. И. Коротков, канд. техн. наук;
Е. Д. Бычков, канд. техн. наук, доцент
Титов, Д. А.
Т45 Основы оптимизации в радиотехнических системах : практикум /
Д. А. Титов, И. В. Юнкин, Н. В. Рубан ; Минобрнауки России, ОмГТУ. –
Омск : Изд-во ОмГТУ, 2016. – 120 с. : ил.
ISBN 978-5-8149-2166-6
Представлены практические работы, демонстрирующие использование различных методов оптимизации в программном обеспечении радиотехнических устройств и систем. Разработка программного обеспечения практических работ производится в программной среде Matlab.
Практикум предназначен для студентов электро- и радиотехнических специальностей очной и заочной форм обучения.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Омского государственного технического университета
УДК 621.391:004.383.3(075)
ББК 32.811.3я73
2
x
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
k – номер итерации
Δ – абсолютная погрешность
δ – относительная погрешность
x0 – точное значение величины
x*– приближенное значение величины
* – вектор координат экстремума функции, найденный численным
методом
:= – операция присваивания
ПЕРЕЧЕНЬ ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕНИЙ
РЭС – радиоэлектронные системы
РТС – радиотехнические системы
ПО – программное обеспечение
ПК – персональный компьютер
РПДУ – радиопередающее устройство
РПУ – радиоприемное устройство
ФП – функция принадлежности
АПА – автономные подводные аппараты
3
ВВЕДЕНИЕ
Радиоэлектронные системы (РЭС), в частности радиотехнические системы (РТС), являются неотъемлемой частью жизнедеятельности современного общества. Их разработка, изготовление и эксплуатация неизбежно связаны с решением большого количества научных и инженерных задач, а также с выполнением трудоемких вычислений. В процессе функционирования РЭС производят большое количество измерений, сложную обработку данных, вырабатывают логические заключения и суждения. РЭС
решают задачи управления, контроля, диагностики, идентификации и т. п.
Для обеспечения качественного функционирования РЭС должны
быть способны к адаптации, т. е. они должны изменять свое поведение в
соответствии с изменяющимися внешними условиями. Для этого современные РЭС наделены функциями искусственного интеллекта.
В ряде основополагающих работ, в частности в монографии Л. А. Растригина «Адаптация сложных систем» (1981) термин «адаптация» имеет
следующее определение: «…процесс целенаправленного изменения параметров и структуры системы, который состоит в определении критериев
ее функционирования и выполнении этих критериев». Таким образом,
способность к адаптации определяет эффективность РЭС.
В соответствии с классическими работами Я. 3. Цыпкина, Б. Уидроу
и С. Стирнза задача адаптации сложной системы может быть сведена к задаче оптимизации при наличии помех или в условиях недостаточной априорной информации. Иными словами, функционирование системы сво-
дится к решению задачи поиска экстремального значения некоторой
функции. Современные РЭС должны быть способны решать задачи параметрической или даже структурной оптимизации. При решении задачи
параметрической оптимизации варьируются параметры системы при заданной структуре, в случае структурной оптимизации производится изменение структуры системы в соответствии с некоторым критерием.
В процессе работы РЭС должны не только выполнять определенный
набор функций, но и обладать способностью выбора оптимального варианта их выполнения в соответствии с изменяющимися внешними условиями. В зависимости от назначения РЭС должны выбирать оптимальный
набор параметров цифрового фильтра, оптимальный маршрут движения,
4
оптимальный объем вычислений и т. д. Таким образом, на сегодняшний
день решение задач оптимизации в РЭС и, в частности, в РТС имеет высокую актуальность.
В практикуме рассматриваются вопросы применения численных методов для решения задач поиска экстремальных значений различных
функций. Также даны примеры программной реализации решения отдельных оптимизационных задач в РЭС.
Внимание! К выполнению практических работ допуск аются
ст уден ты , прошедшие предварительное обучение основам работы в
программной среде M atlab версии 7.9.0 и вы ше.
Необходимо соблюдать последовательность выполнения практических работ в соответствии с их номерами.
5
П РАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1
ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕН НОЙ
Цель работы
Изучение алгоритмов оптимизации одномерных функций.
Задание к работе
1. Изучить алгоритмы поиска экстремумов одномерных функций.
2. Разработать программное обеспечение (ПО), выполняющее поиск
минимума и максимума функции с использованием методов Фибоначчи и
золотого сечения.
3. Найти численные значения минимума и максимума функции ме-
тодами Фибоначчи и золотого сечения на заданных интервалах.
4. Сравнить эффективность методов Фибоначчи и золотого сечения.
5. Сделать выводы по результатам работы.
Пояснения к работе
Задача одномерной оптимизации представляет собой простейшую математическую модель, в которой целевая функция зависит только от одной переменной. Нахождение экстремума функции f(x) сводится к поиску
некоторого интервала [a, b] на вещественной оси x [1]. Считается, что экстремум функции может соответствовать любой точке интервала с равной
вероятностью. В процессе поиска происходит постепенное уменьшение
длины интервала до некоторого значения, которое определяется требуемой погрешностью определения положения экстремума.
К математическим задачам одномерной минимизации приводят прикладные задачи оптимизации с одной управляемой переменной. Необходимость минимизации функций одной переменной также возникает при
решении более сложных задач оптимизации [2].
Для решения задачи минимизации функции f(x) на отрезке [a, b] на
практике, как правило, применяют приближенные методы. Они позволяют
найти решения этой задачи с необходимой точностью в результате определения конечного числа значений функции f(x) и ее производных в некоторых точках интервала [a, b]. Методы, использующие только значения
6
0
x*x −=∆
%100
*x
x*x
δ
0
⋅
−
=
функции f(x) и не требующие вычисления ее производных, называются
прямыми методами оптимизации (методами оптимизации нулевого порядка) [2].
Важным достоинством прямых методов является то, что от целевой
функции не требуется дифференцируемости и, более того, она может быть
не задана в аналитическом виде. Для реализации прямых методов необхо-
димо, чтобы значения функции f(x) могли быть определены в заданных
точках.
Задача оптимизации функции одной переменной может быть сформу-
лирована следующим образом. Будем считать, что унимодальная функция
f(x) имеет минимум на интервале [a, b]. Требуется приближенно опреде-
лить значение аргумента x*, соответствующее минимуму (максимуму)
функции, при этом абсолютная погрешность численного решения задачи
не должна превышать некоторого значения ε (далее в пояснениях к работе
будет рассматриваться только задача поиска минимума функции).
В большинстве литературных источников для обозначения абсолют-
ной погрешности результата численного решения задачи используется
выражение [2]
, (1.1)
где x* – вычисленное приближенное значение величины; x0 – точное зна-
чение величины. Абсолютная погрешность выражается в единицах изме-
ряемой величины и в общем случае может иметь знак, т. е. формула (1.1)
может использоваться без модуля.
Относительная погрешность результата численного решения задачи
определяется в соответствии с выражением [3]
. (1.2)
Формула (1.2) выражает значение относительной погрешности в про-
центах, при этом значение δ также может быть выражено в долях [4, 5].
7
ε
x*
x
0
≤−
=∆
2
bx
x,
2
xa
x,
2
ba
x
ср
R
ср
Lср
+
=
+
=
+
=
Вычисленное приближенное значение величины x* можно считать
решением задачи, если выполняется условие
, (1.3)
где ε – заданное положительное число.
В большинстве случаев для нахождения численного решения задачи
используются итерационные методы, т. е. значение x* находится путем
многократного выполнения некоторой последовательности действий. Таким образом, условие (1.3) является условием завершения итерационного
процесса. Задача поиска минимума одномерной функции может быть сведена к задаче итерационного уменьшения длины интервала [a, b], до значения, меньшего либо равного ε.
Рассмотрим методы оптимизации, используемые для минимизации
унимодальной целевой функции одной переменой y = f(x).
Для нахождения минимума на интервале [a, b] может быть применен
метод деления интервала пополам [2, 3], использующий наиболее простые
вычисления.
Для реализации метода необходимо выполнить следующие действия:
1. Установить интервал неопределенности [a, b], значение ε;
2. Вычислить значения:
;
3. Вычислить значение функции в точках xL, xср, т. е. f(xL), f(xср);
4. Если f(xL) < f(xср) (рис. 1.1), текущий интервал необходимо сжать
до интервала [a, xср], т. е. b := xср, и перейти к действию 2, иначе, если
f(x
) ≥ f(x
L
), перейти к действию 5;
ср
5. Вычислить значение функции f(xR);
6. Если f(xR) < f(xср) (рис. 1.2), текущий интервал необходимо сжать
до интервала [xср, b], т. е. a := xср, и перейти к действию 2, иначе, если
f(x
) ≥ f(x
R
), перейти к действию 7;
ср
7. Если f(xL) = f(xR) (рис. 1.3), выполнить операции a := xL, b := xR
и перейти к действию 2.
Процедура поиска завершается при выполнении условия b – a < ε.
8
f(x)
f(x)
f(x)
a
x
x
b
x
x
ср
a
x
x
b
x
x
ср
a
x
x
b
x
x
ср
а
g
b
0,618(b – а)
b – а
x
L
R
L
R
L
Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3
R
В настоящее время существует несколько модификаций метода деления отрезка пополам. В частности, известен метод дихотомии [3], отличающийся измененными правилами сокращения интервала [a, b] в ходе
поиска. При использовании деления интервала пополам на каждой итерации требуется вычисление, по крайней мере, двух значений целевой функции.
Простейшими и широко используемыми методами оптимизации
функций одной переменной являются методы золотого сечения и Фибоначчи. По сравнению с методом деления отрезка пополам данные методы
требуют меньшего количества вычислений значения целевой функции [2].
При использовании метода золотого сечения текущий интервал неопределенности [a, b] разбивается на две неравные части, соотношение между которыми остается постоянным и соответствует «золотому» сечению
[2, 3]. Считается, что точка производит «золотое» сечение интервала, если
отношение длины всего интервала к большей части равно отношению
большей части к меньшей [2]. Пример «золотого» сечения интервала [a, b]
показан на рис. 1.4.
9
Рис. 1.4
z
1
gb
ag
ag
ab
=
−
−
=
−
−
618,0
2
51
z ≈
+−
=
а
x
b
0,618(b – а)
b – а
x
0,382(b – а)
x
f(x)
x a
x
b
x
d
a
f(x)
x
x
b
x
d
На данном рисунке точка g производит деление интервала на две час-
ти при выполнении соотношения
, где
.
Вывод формулы для нахождения параметра z в данной работе не приводится, т. к. его можно найти во многих источниках, в частности в работах [2, 4].
На первой итерации в пределах текущего интервала неопределенности вычисляются значения (рис. 1.5)
xL = z∙a + (1–z) ∙b, (1.4)
xR = (1–z)∙a + z∙b. (1.5)
Далее вычисляются значения функции в точках xL, xR, т. е. f(xL), f(xR),
и производится их сравнение. Если выполняется условие f(x
) ≤ f(x
L
R
)
(рис. 1.6), текущий интервал необходимо сжать до интервала [a, xR], т. е.
b := xR, иначе, если f(xL) > f(xR) (рис. 1.7), текущий интервал необходимо
сжать до интервала [xL, b], т. е a := xL. После сжатия интервала необходимо перейти к следующей итерации. Все последующие итерации начина-
ются с проверки выполнения условия b – a < ε, которое является условием
завершения вычислений.
R
L
R
L
L
R
Рис. 1.5 Рис. 1.6 Рис. 1.7
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]