Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика и термодинамика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Работа № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ

МЕТОДОМ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА

Цель работы: экспериментальное определение показателя адиаба-

ты воздуха давлении и постоянном объеме:

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ

Абсолютная температура Т является мерой средней кинетической энергии колебательного) атомов и / или молекул газа. Для поступательного движения



, равного отношению теплоемкостей при постоянном

CC

 хаотического движения (поступательного, вращательного и

пост Б

kT 

где

– постоянная Больцмана, чертой обозначено усреднение энер-

гии (и квадрата скорости) по всем движущимся частицам газа.

В термодинамически равновесном состоянии молекулярного хаоса все направления движения атомов равновероятны, поэтому на каждое из трех независимых направлений поступательного движения приходится 1

3 полной средней энергии:

 

xyz

  

Молекулы могут участвовать не только в поступательном, но и во вращательном и колебательном движении. Независимые возможные

перемещения системы в классической механике называются степеня-



ми свободы.

стем доказывается

энергии по степеням свободы

В статистическом описании тепловых свойств макроси-

теорема о равномерном распределении тепловой

. Согласно этой теореме на каждую сте-

пень свободы поступательного или вращательного движения атомов и

2kT

молекул приходится в среднем энергия, равная

. Каждой коле-

бательной степени свободы соответствует удвоенная тепловая энергия,

:kT

равная

kT kT

кол кин пот Б

ББ

kT  

Таким образом, полная внутренняя энергия системы

не взаимодействующих на расстоянии атомов или молекул (такова модель идеального газа) равна

где

пост

UNi i i NkT RT

  

пост вр кол A Б

вр

– число поступательных, вращательных и колеба-

кол

тельных степеней свободы;

ная газовая постоянная;

– число Авогадро; R – универсаль-

 

Ni i

22)2

– число молей вещества;

, (1)

m и M – соответственно его полная и молярная масса. Число

2ii i i

пост вр кол

условно называется (полным) числом степеней

свободы молекулы.

Рисунок 1 иллюстрирует подсчет поступательных и вращательных

степеней свободы атомов и различных молекул.

пост

атом

вр

3i 

пост

Рис. 1

3i 

вр

пост

вр

Для расчета теплоемкости используют первый закон (первое нача-











ло

) термодинамики:

QdU A

Учитывая, что элементарная работа газа

. (2)

PdV

получаем

QdUPdV

 , (3)

где

Q – количество теплоты, переданной рабочему телу (газу);

изменение внутренней энергии газа;

– изменение объема газа.

– работа, совершенная газом;

–

Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния газа, тогда как теплота и работа зависят от процесса перехода из одного состояния газа в другое. Поэтому с математической точки зрения полный дифференциал функции

U, тогда как , QA

 – бесконечно ма-

dU –

лые количества.

Теплоемкость системы (газа, жидкости или твердого тела) – это скалярная физическая величина, равная отношению количества тепло-

Q , которое надо подвести к системе для бесконечно малого по-

ты

,dT

вышения ее температуры

к этому приращению температуры dT:

сист

. (4)



Различают молярную (одного моля), удельную (единицы массы) и полную теплоемкость системы. Молярную теплоемкость обозначают

прописной (заглавной) буквой. Как и количество тепла емкость зависит от теплового процесса. Например,

С 

изотерм

В изохорическом процессе

0dV

0A

, QdU

 , поэтому мо-

, тепло-

адиаб

0С

лярная теплоемкость при постоянном объеме равна

dU i



. (5)

Для изобарического процесса из (4), (3) и (1), используя уравнение Клапейрона–Менделеева

VRT



а точнее, его дифференциальное следствие





рое в случае

constP 

idTPdV idTRdT

 

11 2

 



Отсюда находим связь

приобретает вид

dT dT

(уравнение Майера):

dV RdT

dPV PdV RdT





, получаем



. (6)

, кото-

CCR



. (7)

Тогда показатель адиабаты равен



теор



. (8)

Рассмотренная выше классическая теория не смогла правильно описать некоторые явления. Например, независимость теплоемко-

сти

в (5) от температуры опровергается опытом. Согласовать клас-

сическую теорию с экспериментом удалось, только предположив, что некоторые степени свободы в определенном диапазоне температур не возбуждаются, «вымораживаются». Например, согласие с опытом при

~300 КT

достигается, если считать, что не возбуждаются колебания

молекул. Это явление было объяснено только в квантовой теории.

Учитывая для двухатомных молекул с жесткой связью атомов только поступательные и вращательные степени свободы, получаем

5i 

, а из (8)

С теоретическим значением

теор

1, 4



для двухатомного газа (воздух на

99 % состоит из двухатомных молекул) следует сравнить значение, полученное в эксперименте.

МЕТОД КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА

Одним из самых простых и остроумных методов определения  является метод Клемана и Дезорма, основанный на использовании

адиабатических и изохорических процессов в воздухе, находящемся в сосуде (рис. 2).







''h

Рис. 2

В процессе эксперимента мы будем накачивать воздух в стеклянный сосуд (баллон) и выпускать его из сосуда. Объем сосуда

, есте-

ственно, постоянен, а количество воздуха в нем, т. е. число молей газа

 , будет изменяться. В этих условиях уравнение Клапейрона–Мен-

делеева удобнее применять к исходному числу молей

газа (до

накачивания воздуха в сосуд):

PV RT



Суть метода, согласно замыслу Клемана и Дезорма, иллюстрирует рис. 3, на котором в координатах

P–V приведены графики всех про-

цессов эксперимента.

Итак, перечислим процессы, происходящие с воздухом.

1. Кривая 0–1 соответствует подготовительному этапу –

ванию воздуха

ная масса газа) занимает теперь объем сосуда

в баллон. Число молей газа внутри баллона при этом

меньший, чем объем всего

, что и отражает кривая 0–1. Для наглядности можно пред-

накачи-

(т. е. исход-

ставить, что исходная масса газа будто бы заключена внутри невесомой эластичной непроницаемой оболочки внутри сосуда, показанной штриховой линией, и «не перемешивается» с поступающим из насоса. Давление газа в баллоне (и внутри оболочки) при этом увеличивается

от атмосферного



до некоторого давления

. Температура газа по-

вышается. Легко понять, почему это происходит. При сжатии работа газа

0APdV 

. Согласно (2) изменение внутренней энергии

dU Q A  . Если бы процесс накачивания воздуха был адиабатиче-

ским процессом (0)

Q , то

~0dT dU 

и повышение температуры

было максимальным. Реальный процесс сжатия, вообще говоря, сопровождается отдачей тепла во внешнюю среду 0

Q , которую можно

уменьшить, проводя накачивание достаточно быстро.

2. Как только накачивание прекращается, давление в баллоне начинает падать при неизменном объеме, что является следствием остывания газа (закон Шарля). На участке 1–2 температура снижается до

комнатной за счет теплообмена с окружающей средой. Давление при

этом уменьшается от

до

Рис. 3

3. Когда давление перестает изменяться (точка 2), резко выпуска-

ем

воздух из баллона. Процесс, происходящий с воздухом в сосуде, можно считать близким к адиабатическому расширению газа (кривая 2–3). В результате объем рассматриваемой массы газа увеличивается от

ного

VV

до

P

. При этом температура понижается ниже комнатной (по-

, давление уменьшается от

до атмосфер-

чему?).

4. В точке 3 температура ниже комнатной, и теперь она повышает-





ся за счет теплообмена с окружающей средой. В это время мы никаких действий не совершаем – объем газа не изменяется. В конечной точке 4 температура газа в баллоне становится равной комнатной.

5. Заметим, что в точках 0, 4, 2 газ имеет одинаковую температу-

ру – комнатную, т

. е. эти точки лежат на одной изотерме 0 – 4 – 2, которую называют «мнимой» изотермой (иногда «мысленной» или «гипотетической»), подчеркивая, что реально изотермический процесс 0 – 4 – 2 не происходит. Это обстоятельство позволило Клеману и Дезорму обойтись без измерения начального и конечного объема газа. Именно в этом и заключается «изюминка» предложенного метода.

Рассмотрим систему уравнений, соответствующих 3–4 и 4–2. Для точек 2 и 3, лежащих на одной адиабате, или, так как

P

процессам 2–3,

PV PV





PV PV





. (9)

Для точек 2 и 4, лежащих на одной мысленно проведенной изотерме, по закону Бойля–Мариотта

VPV

22 44

. (10)

Процесс 3–4 изохорический, для которого

. (11)

Из (10) и (11) получаем



. (12)

Подставляя (12) в (9), получаем уравнение



 



. (13)



Логарифмируя (13), выражаем  через атмосферное давление  и



давления в состояниях 2 и 4, которые требуется измерить в процессе эксперимента:

ln ln ln ln

PP PP

 

02 20

PP PP



ln ln ln ln

42 24



. (14)

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Экспериментальная установка состоит из стеклянного баллона, закрытого пробкой, в которую вмонтированы две трубки и быстродействующий клапан для выпускания воздуха из сосуда (см. рис. 1). Одна трубка соединяет полость сосуда с манометром. Манометром служит

U-образная трубка, наполненная подкрашенной водой. Давление изме-

ряется по разности уровней в коленах трубки. Вторая трубка через клапан соединяет полость баллона с насосом (не показана на рис. 1).

Процесс 2–3, строго говоря, не является адиабатическим, поскольку стеклянный сосуд, используемый в лабораторной работе, не теплоизолирован. Поэтому расширение воздуха, чтобы уменьшить потери

, следует производить быстро, нажимая на клапан в течение од-

тепла ной-двух секунд. Однако следует обратить внимание на другую сторону «быстроты» выполнения процесса. Уравнение, описывающее адиа-

батический процесс





, справедливо лишь для равновесных,

constPV

квазистатических процессов. Вопрос: можно ли считать столь быстрое адиабатическое расширение квазистатическим (равновесным) процессом? Видимо, на этот вопрос все же можно дать положительный ответ на основании двух следующих оценок.

1. При выпуске воздуха из баллона давление внутри баллона

уменьшается примерно на 10 см водяного столба. Атмосферное давле-

составляет примерно 10 м водяного столба. Следовательно, отно-

ние сительное отклонение давления от равновесного атмосферного невелико, примерно 1 %.

2. При выпуске воздуха из баллона внутри него около выпускного крана создается некоторое разряжение. Это возмущение распространяется внутрь баллона со скоростью звука в воздухе. Если принять характерный размер баллона равным 0,7 м, а скорость

звука равной 330 м/с, то указанное возмущение распространится на весь объем за время около 0,002 с. В результате многократных отражений от различ-

ных участков стенок баллона первоначальное возмущение равномерно

распределяется по всему объему. За две секунды в нашем баллоне должно произойти около тысячи отражений. Этого, надо полагать, вполне достаточно для установления равновесия.

Измерение. Давление воздуха в баллоне в состоянии, соответству-

ющем точке 2 на рис. 3:



PP ghP

  

20 10

 



где свободного падения;

– атмосферное давление; – плотность воды; g– ускорение

– разность уровней в U-образной трубке, а

, таким образом, – разность между атмосферным давлением и

h

давлением воздуха в баллоне после первоначального накачивания воздуха и охлаждения его до комнатной температуры. Аналогично для давления воздуха в баллоне после адиабатического расширения и нагревания до комнатной температуры (т. е. в состоянии, обозначенном на рис. 2 точкой 4) получаем



где



PP ghP

  

40 20

– разность уровней в U-образной трубке при втором измерении

 

давления (в точке 4). Подставив эти выражения в формулу (13), получим выражение для определения

ln 1 ln

 

 

ln 1 ln 1

 

   

ln ln 1 ln

 



ln ln 1 ln ln 1

  

  

     

:





 

gh gh







 



hgh

. (15)

В нашем случае, как уже отмечалось выше,

















нее,

Разложение функции ln (1 )

ный ряд Тэйлора





в точке

x х

ln (1 ) 0 ...

  

хх



дает знакоперемен-

0х

, остаток которого

. Точ-



не превышает первого из отброшенных членов. Следовательно,



ln 1

 



с относительной погрешностью

ственно меньше относительной погрешности наших измерений

измеряем

h 

с погрешностью

10 см

, т. е.

1 мм

, что суще-





мы

 

hh

0.01



. Следо-

hgh



вательно, из формулы (11) получаем





gh gh





или



эксп

Таким образом, эксперимент сводится к измерениям рые являются косвенными, поскольку фактически ся как разности уровней воды в

ниями в настоящей работе являются измерения уровней воды в разной трубке слева и справа:

. (16)



, кото-

вычисляют-

U-образной трубке. Прямыми измере-

U-об-





– координаты уровней

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]