Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрология и измерительная техника на базе измерительных преобразователей «Корунд». Практикум
.pdf
5. Обработка результатов измерений
Х
Х
Х
N
X
N
ii1
Х
D
1
)(
1
2
N
ХХ
N
i
i
По ГОСТ 8.011-72 результаты измерения представляют в
следующем виде:
X = Х X …, P, (5.1)
где X - результат измерения в единицах измеряемой
величины;
- среднее арифметическое ряда наблюдений;
X – основная погрешность измерения (граница
доверительного интервала); Р – доверительная вероятность;
… - единица измеряемой величины.
Оценку математического ожидания (среднее
арифметическое)
находят по формуле
= mx =
, (5.2)
где Xi – результат i-го измерения; N – количество измерений.
Оценка среднего квадратического отклонения (СКО)
характеризует степень рассеяния случайной величины около
своего математического ожидания
=
=
, (5.3)
где D – дисперсия (от лат. dispersio - рассеяние).
Доверительный интервал (от лат. intervalium - перерыв) –
это статистическая оценка параметров вероятностного
распределения, имеющего вид интервала, в котором с
заданной вероятностью находится искомое значение
параметра.
Эта вероятность называется доверительной
вероятностью Р.
При ограниченном числе экспериментов (измерений)
используют распределение Стьюдента (Student – псевдоним
английского учёного начала ХХ века У. Госсета), которое по
числу экспериментов (испытаний) N и доверительной
121
вероятности Р позволяет найти коэффициент Стьюдента tСт,
2
1
1
2
2
1
2
3
1
2
i
X
321
332211
ppp
XpXpXp
i
ii
pn
XXp
)1(
)(
2
тогда
Х = tСт. (5.4)
При неравноточных измерениях, когда результат
измерения получен с помощью средств измерений, имеющих
разную погрешность, имеем
р
где
: р2 : р
1
3
=
:
:
, (5.5)
- дисперсия измерения данного значения.
Тогда оценка математического ожидания результата
измерений равна
=
, (5.6)
а оценка среднеквадратического отклонения:
=
. (5.7)
Графической формой представления случайных чисел,
сведённых в разряды, являются гистограмма (от греч.
– здесь – столб и …грамма), т.е. столбчатая диаграмма, и
полигон (поли… и греч. - угол).
Последовательность построения гистограммы на оди-
наковых разрядах следующая.
1. Находят наибольшее (X
) и наименьшее (X
max
min
)
значения случайной величины и вычисляют размах изменения R
R = X
max
- X
. (5.8)
min
2. Задают некоторое число разрядов k. При n 100 можно
принять k = 6.
3. Определяют ширину разряда h = R/k. Для упрощения
расчётов полученное значение h округляют в любую сторону.
4. Устанавливают границы разрядов и подсчитывают
число измерений в каждом разряде. При подсчёте значения Х,
находящегося на границе разряда, его следует всегда
относить к разряду, расположенному слева или справа.
122
5. Устанавливают mi - число значений Х, попавших в
n
m
i
Интер-
валы
m
i
pi =
=
n
m
i
i
s
i
p
данный разряд.
6. Определяют частоту появления величины pi в данном
разряде
pi =
, (5.9)
где n - общее число всех опытных данных.
7. В системе координат pi = f(X) на ширине разряда h
откладывают величину pi как высоту и строят прямоугольник.
Результат заносят в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Гистограмма распределения
Очевидно, что площадь элементарного прямоугольника
si = hyi, = pi, (5.10)
а площадь всей гистограммы
S =
=
= 1. (5.11)
Таким образом, гистограмма представляет собой
совокупность прямоугольников (рис. 5.1).
123
f(X) 2
1
Х
Рис. 5.1. Гистограмма (1) и полигон (2) распределения
величины Х
F(X)
1
Х
Рис. 5.2. Статистический ряд распределения
Полигон (рис. 5.1, кривая 2) строят как ломаную прямую,
соединяющую середины интервалов.
В пределе гистограмма (полигон) стремится к
нормальному закону распределения, плотность функции
распределения которого описывается уравнением (5.13).
124
В качестве закона распределения случайных величин чаще
2
1
2
2
2
)( XX
a
dXXf )(
2
1
a
2
2
2
)( XX
2
2
всего используют нормальный закон распределения, или
закон Гаусса (K.F. Gauss – немецкий математик ХIХ века).
Плотность нормального закона распределения
описывается уравнением
f(x) =
e
. (5.13)
Функция плотности распределения позволяет определить
вероятность появления данного конкретного значения Х.
Данные, снятые для построения гистограммы и полигона,
могут быть использованы для построения статистического
ряда распределения (рис. 5.2).
Статистический же ряд распределения стремится к
функции распределения, которая описывается следую-щим
уравнением:
F(X) =
=
e
dX. (5.13)
Функция распределения позволяет определить вероятность
появления значения Х в интервале от - до числа а.
Критерий (греч. - мерило)
Пирсона
(К. Pearson – английский математик, биолог и философ ХIХ –
ХХ веков) – один из важнейших непараметрических
критериев. С его помощью проверяется гипотеза (греч.
– основание, предположение) о согласии
выборочного распределения с нормальным законом
распределения. Применение распределения
допустимо
лишь тогда, когда npi 5.
Для проведения проверки нормальности закона
распределения заполняют таблицу.
125
Таблица 5.2
2
Начало
интер-
вала
mi ti Ф(ti)
pi mi-np
i
(mi-npi)2
np
i
…
…
…
Сумма
---
---
---
XX
i
2
x
t
dte
0
2
2
XX
2
i
ii
np
npm
2
)(
Проверка по критерию
Пирсона
Первые два столбца заполняют данными из табл. 5.1. В
третьем столбце записывают отношение
ti =
. (5.14)
В четвёртый столбец вносят соответствующие значения
интеграла вероятностей Ф(ti) из справочной литературы или
приложения.
Интеграл (лат. integer – целый) вероятностей равен
Ф(t) =
где t =
.
По значениям Ф(
) в пятом столбце вычисляют
i
, (5.15)
вероятность pi как разность соответствующих значений Ф(t)
pi = Ф(ti) - Ф(t
). (5.16)
i-1
Напомним, что Ф( ) = - 0,5.
Последние столбцы таблицы в пояснении не нуждаются.
Сумма чисел последнего столбца даёт значение
=
(5.17)
где n – число всех результатов измерений.
126
Если
2
2
2
3
2
2
2
1
1
окажется больше критического значения
крит
при некоторой доверительной вероятности Р и числе
степеней свободы k = l - 3, где l – число всех интервалов, то с
надёжностью Р можно считать, что распределение
вероятностей результатов измерения в рассматриваемой
серии измерений отличается от нормального. В противном
случае для такого вывода нет достаточных оснований.
Указанное число степеней свободы k = l – 3 относится
только к случаю, когда оба параметра нормального закона
распределения определяют по результатам измерений, т.е.
когда вместо точных значений Х и применяют их
эмпирические оценки. Если значение Х известно точно
(например, при измерении эталона), то число степеней
свободы равно k = l – 2.
Для измерительного канала погрешность измерения
=
где
, 2, 3 - погрешности средств измерений, состав-
ляющие измерительный канал.
, (5.18)
127
6. Оформление протокола опытов
Y
Отчёт о лабораторной работе должен содержать:
- краткое описание принципа действия прибора и его
устройство;
- схему лабораторной установки (схему измерения);
- результаты измерений и их обработки (аналитические
выражения статической характеристики с ошибками
аппроксимации; массив данных, снятых в одной точке
диапазона измерения; значения оценки математического
ожидания и СКО для 3, 5, 10, 15, 20, 30 и 40 измерений;
результат измерения по ГОСТу);
- максимальную абсолютную, относительную и приве-
дённую погрешности измерения;
- погрешность канала измерения, если изучались
электронные термометр, уровнемеры и расходомер;
- метрологические характеристики средства измерения;
- результат поверки средства измерения;
- графики статической характеристики Y = f(X) с её
линейной или квадратичной аппроксимацией, зависимости
= f(N) и = f (N), а также распределение относительной
погрешности по диапазону измерения = f (Х) строят на
миллиметровой бумаге;
- гистограмму распределения показаний средства из-
мерения в одной точке измерения;
- статистический ряд распределения;
- проверку нормальности закона распределения
показаний средства измерения в одной точке измерения.
Пример выполнения лабораторной работы
Имеется блок индикации БИКОР–02, у которого диапазон
входных величин (ток) 0 – 5 мА или 4 – 20 мА, диапазон
выходных величин 0 – 100 %.
Его статическая характеристика имеет вид
128
Y =
minmax
min
II
II
Входная величина Х, мА
0 1 2 3 4 5
Выходная величина Y, %
0 19,8 40,1 60,0 79,8 99,8
Выходная величина Y, %
0 20,0 40,3 59,9 79,9 99,9
Выходная величина Y, %
0 20,1 40,1 59,9 80,0 99,8
Выходная величина Y, %
0 19,9 39,9 60,1 79,8 100,0
N 1 2 3 4 5 6 7 8
Y, %
20,0
20,3
20,1
20,2
20,0
20,1
20,2
20,0 9 10
11
12
13
14
15
16
17
20,0
20,1
20,1
20,2
20,0
19,9
20,0
20,1
20,0
18
19
20
21
22
23
24
25
26
20,0
20,0
19,9
20,2
20,1
20,0
19,9
20,0
20,1
27
28
29
30
31
32
33
34
35
19,9
20,0
20,0
20,0
20,0
20,0
20,1
20,1
20,0
36
37
38
39
40
19,9
20,0
19,9
20,1
20,2
100, (6.1)
где Y – показания блока индикации, %; I
min
, I
max
–
минимальный (0 или 4 мА) и максимальный ток (5 или 20
мА) соответственно; I – величина входного тока, мА.
При снятии статической характеристики блока индикации
с диапазоном измерения входных величин 0 – 5 мА были
получены следующие экспериментальные данные (табл. 6.1).
В результате 40 измерений в фиксированной точке I = 1,0
мА при приближении к ней снизу и сверху величина Y
приняла следующие значения (табл. 6.2).
Таблица 6.1
Результаты измерений
Таблица 6.2
Результаты измерений
129
По данным табл. 6.1 и уравнению (1.4) рассчитана
Входная величина Х, мА
0 1 2 3 4 5
Абс. погрешность , %
0,0 0,2 0,0 0,0 0,1 0,1
Абс. погрешность %
0,0 0,0 - 0,2 0,1 0,0 0,0
Абс. погрешность , %
0,0 - 0,1 0,0 0,1 - 0,1 0,1
Абс. погрешность , %
0,0 0,1 0,2 -0,1 0,1 0,1
Средняя абс. погреш. , %
0,00 0,10 0,10 0,08 0,08 0,08
Входная величина Х, мА
0 1 2 3 4 5
Отн. погрешность , %
- 1,0 0,0 0,0 0,1 0,1
Отн. погрешность , %
- 0,0 -0,5 0,2 0,0 0,2
Отн. погрешность , %
- -0,5 0,0 0,2 -0,1 0,1
Отн. погрешность , %
- 0,5 0,5 -0,2 0,1 -0,1
Средняя отн. погреш. , %
- 0,50 0,25 0,13 0,10 0,08
Входная величина Х, мА
0 1 2 3 4 5
Прив. погрешность
ПР
, %
0,0 0,2 0,0 0,0 0,1 0,1
Прив. погрешность
ПР
,%
0,0 0,0 -0,2 0,1 0,0 0,0
Прив. погрешность
ПР
,%
0,0 -0,1 0,0 0,1 -0,1 0,1
Прив. погрешность
ПР
,%
0,0 0,1 0,2 -0,1 0,1 -0,1
Средняя прив. погр.
ПР
, %
0,0 0,10 0,10 0,08 0,08 0,08
абсолютная погрешность измерения и составлена
табл. 6.3.
Таблица 6.3
Абсолютная погрешность измерений
По данным табл. 6.1 и 6.3 рассчитана относительная
погрешность измерения и составлена табл. 6.4.
Таблица 6.4
Относительная погрешность измерений
По данным табл. 6.1 и 6.3 рассчитана приведённая
погрешность измерения
Приведённая погрешность измерений
и составлена табл. 6.5.
ПР
130
Таблица 6.5
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]