Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения задач оптимизации. Учебное пособие
.pdf
Задания для самостоятельной работы
111
14. Решите следующую задачу ЛП, обосновывая и проверяя ход
решения; исходите из предположений, на которых основывается симплекс-метод.
Максимизировать f = x1 при ограничениях:
5x1 + x2 = 4,
6x1 + x3 = 8,
3x1 + x4 = 3,
x1, x2, x3, x4 0.
15. Найдите начальную симплекс-таблицу задачи и подсчитайте ко-
эффициенты f-строки после определения всех искусственных переменных.
Минимизировать f = 4х1 + х2 при выполнении условий:
3x1 + х2 = 3,
4x1 + 3х2 = 6,
x1 + 2х2 4,
x1, x2 0.
16. Для данной прямой задачи запишите двойственную.
Минимизировать f = 5x1 + 12x2 +4x3 при ограничениях:
x1 + 2x2 + х3 10,
2x1 – x2 + 3x3 = 8,
x1, x2, x3 0.
17. Запишите двойственную задачу для следующей прямой задачи.
Минимизировать f = 15x1 + 12x2 при ограничениях:
x1 + 2x2 3,
2x1 – 4x2 5,
3х1 + х2 = 4,
x1, x2 0.
18. Покажите, что если изменить тип оптимизации с максимизации
на минимизацию, то все равно свободным переменным прямой задачи
Задания для самостоятельной работы
112
будут соответствовать в двойственной задаче ограничения в виде равенств.
Максимизировать f = 5x1 + 6x2 при ограничениях:
x1 + 2x2 = 5,
–x1 + 5x2 8,
4x1 + 7x2 8,
x1 – свободная переменная, x2 0.
19. Найдите начальные решения методами Фогеля, северо-
западного угла и наименьшей стоимости для следующей транспортной
задачи. Сравните полученные результаты.
5 1 8
12 2 4 0 14 3 6 7 4 9 10
11
20. Используя начальное решение, полученное методом наимень-
шей стоимости, найдите оптимальное решение в транспортной модели,
представленной в таблице.
5 1 8
12
2 4 0
14 3 6 7 4
9
10
11
21. В транспортной модели суммарный спрос превышает общий
объем предложений. Пусть штрафы за необеспеченный единичный спрос
составляют 5 для первого пункта назначения, 3 – для второго и 2 – для
третьего. Найдите оптимальное решение.
5 1 7
10 6 4 6 80
3 2 5
15
75
20
50
22. Решите задачу о назначениях, представленную в таблице.
3 8 2
10 3 8 7 2 9 7
6 4 2 7 5
8 4 2 3 5 9 10 6 9
10
Задания для самостоятельной работы
113
23. Дана задача распределения четырех рабочих по четырем видам
работ. Стоимость работ приведена в таблице. Отметим, что первый рабочий не может выполнять работу 3, а третий – работу 4. Найдите оптимальное решение.
Виды работ
1 2 3 4
Рабочие
1
50
50
---
20
2
70
40
20
30
3 9 30
50
--- 4 70
20
60
70
24. Постройте дерево подзадач, получаемое при решении методом
ветвей и границ. В качестве начальной переменной ветвления выбрать
переменную x1.
Максимизировать f = 3x1 + 2x2 при ограничениях:
2x1 + 2x2 9,
3x1 + 3x2 18,
3х1 + х2 = 4,
x1, x2 0 и целые.
25. Для задачи из примера 8.1 покажите графически, может ли
каждое из следующих ограничений служить в качестве правильного отсечения:
а) х1 + 2х2 10; b) 2х1 + х2 10; с) 3х2 10; d) 3х1 + х2 15.
Задания для самостоятельной работы
114
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном учебном пособии рассмотрены, конечно, не все методы
решения задач оптимизации. Это обусловлено наличием естественных
ограничений как по объему издания, так и по программе учебной дисциплины. Из массы известных методов и алгоритмов решения задач оптимизации авторы постарались выбрать наиболее известные, классические методы решения базовых задач оптимизации.
Учебное пособие выполнено в форме «решебника», когда основное внимание уделено рассмотрению многочисленных примеров, иллюстрирующих применяемые алгоритмы. Таким образом, авторы старались
сделать материал более доступным для усвоения и помочь студентам
при подготовке и проведении практических занятий. Пособие является
составной частью дисциплины «Методы оптимизации», изучаемой студентами института компьютерных технологий и информационной безопасности Южного федерального университета. Оно также может быть
полезно студентам других направлений подготовки, изучающим подобные дисциплины.
В ходе подготовки данного пособия авторы использовали материалы и алгоритмы, описанные в изданиях, список которых приводится в
конце данного пособия. Составители данного учебного пособия выражают благодарность всем авторам, упомянутым в библиографическом списке, студентам и сотрудникам кафедры систем автоматизированного проектирования института компьютерных технологий и информационной
безопасности Южного федерального университета за помощь в подготовке к изданию данного пособия.
Задания для самостоятельной работы
115
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гладков, Л. А. Методы оптимизации [Текст]: конспект лекций. Ч. 1 /
Л. А. Гладков, Н. В. Гладкова. – Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2013.
2. Гладков, Л. А. Методы оптимизации [Текст]: конспект лекций. Ч. 2 /
Л. А. Гладков, Н. В. Гладкова. – Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2014.
3. Аттетков, А. В. Методы оптимизации [Текст] / А. В. Аттетков. –
Москва: РИОР ИНФРА-М, 2014.
4. Пантелеев, А. В. Методы оптимизации в примерах и задачах
[Текст] / А. В. Пантелеев, Т. А. Летова. – Санкт-Петербург: Изда-
тельство «Лань», 2015.
5. Таха, Х. Введение в исследование операций [Текст] / Х. Таха. –
Москва: Издательский дом «Вильямс», 2007.
6. Токарев, В. В. Модели и решения: Исследование операций для эко-
номистов, политологов и менеджеров [Текст] / В. В. Токарев. –
Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2014.
7. Вентцель, Е. С. Исследование операций: Задачи, принципы, методо-
логия [Текст] / Е. С. Вентцель. – Москва: КноРус, 2010.
8. Морозов, В. В. Исследование операций [Текст] / В. В. Морозов,
А. А. Васин, П. С. Краснощеков. – Москва: Academia, 2008.
Задания для самостоятельной работы
116
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………..
3
1. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОГО ПОИСКА …………………………
4
1.1. Метод дихотомии ……………………………………………...
4
1.2. Метод «золотого сечения» ……………………………………
8
1.3. Метод Фибоначчи ……………………………………………..
13
2. МЕТОДЫ ГРАДИЕНТНОГО ПОИСКА ………………………...
19
2.1. Метод градиентного спуска с постоянным шагом ………….
19
2.2. Метод наискорейшего градиентного спуска ………………...
23
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ………………………………………………...
30
4. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ………………………………………………...
35
5. СИМПЛЕКС-МЕТОД ……………………………………………..
45
5.1. Стандартная форма задачи ЛП ……………………………….
45
5.2. Определение базисных решений ……………………………..
48
5.3. Алгоритм симплекс-метода …………………………………..
52
6. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ……………………………………..
61
6.1. Построение двойственной задачи ……………………………
61
6.2. Двойственный симплекс-метод ………………………………
63
7. ТРАНСПОРТНЫЕ МОДЕЛИ …………………………………….
67
7.1. Определение транспортной модели ………………………….
67
7.2. Построение начального решения …………………………….
68
7.3. Итерационный алгоритм решения транспортной задачи …...
79
7.4. Задача о назначениях ………………………………………….
85
7.5. Транспортная модель с промежуточными пунктами ……….
89
8. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ …
92
8.1. Методы решения задач целочисленного программирования
92
8.2. Метод ветвей и границ ………………………………………..
92
8.3. Метод отсекающих плоскостей ………………………………
99
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ……………………………………………….
107
Содержание
117
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ………………
108
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………
114
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………...
115
СОДЕРЖАНИЕ ………………………………………………………
116
Учебное издание
ГЛАДКОВ Леонид Анатольевич
ГЛАДКОВА Надежда Викторовна
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ
Учебное пособие
Редактор
З. И. Надточий
Корректор
Н. И. Селезнева
Компьютерная верстка
И. А. Клочко
Подписано в печать 25.02.2020 г.
Бумага офсетная. Формат 60×84 1/16. Тираж 30 экз.
Усл. печ. лист. 6,86. Уч. изд. л. 5,5. Заказ № 7536.
Издательство Южного федерального университета.
Отпечатано в отделе полиграфической, корпоративной и сувенирной продукции
Издательско‐полиграфического комплекса КИБИ МЕДИА ЦЕНТРА ЮФУ.
344090, г. Ростов‐на‐Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 243‐41‐66.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]