Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Космология и браны. Учебное пособие
.pdf
Постановка задачи
31
VV
12
)1(
V
)1(
V
)1(
V
1
t
2
t
21
2
21
ttt ,0 ,0tt
1
t
1
t
1
t
имела нулей между инфляционной фазой, когда вторая производная от масштабного фактора положительна, и собственно
фридмановским режимом. В противном случае фаза инфляции
и фаза эпохи доминирования пылевой материи окажутся разделенными точкой сингулярности, т. е. окажутся двумя причинно
не связанными вселенными. Именно это свойство позволяет
обеспечить выход из инфляции.
Во-вторых, ПД можно использовать для построения инфляционных моделей. Чтобы это показать, перепишем уравнение (1.2) в виде
где
— потенциал, построенный по обычным крамовским
,
формулам из V.
Предположим, что эта функция имеет N нулей, тогда
будет иметь по крайней мере N особенностей. Будем считать,
что все эти особенности отсутствуют в исходном потенциале
V. Если в окрестности одной из этих особенностей
не
является положительно определенной функцией (или функция
V имеет свою особенность, окрест которой она положительно
определена), то существуют такие
и
, лежащие слева и
справа относительно особенности, что
.
Доказательство этого утверждения мы оставляем читателю в
качестве упражнения. Теперь ясно, что при выполнении указанных условий вселенная непременно войдет в инфляционную фазу при t, стремящемся к
. Действительно, предполо-
жим, что вселенная рождается в некоторый момент времени,
предшествующий
, и допустим, что существует такой про-
межуток времени, в течение которого выполняются все энергетические условия. Можно показать, что при стремлении к
вначале нарушится сильное энергетическое условие при действующем слабом. В результате вселенная начнет раздуваться
Глава 1
32
1
t
1
t
1
t
2
tt
log
3/2
ta
2
t3
2
V
вплоть до момента
. В момент времени
мы получаем в
точности фазу Деситтера, но лишь на один момент. Далее следует «запретная зона», которую следует удалить, сшив реше-
ния в точках с
и
. Заметим, что такая сшивка требует
более жестких условий, чем в аналогичных задачах нерелятивистской квантовой механики, основанных на уравнении
Шредингера. Здесь необходимо потребовать совпадения не
только волновых функций и их первых производных в точке
сшивки, но и вторых производных. Последнее необходимо во
избежание скачков в давлении и плотности. Общее решение
уравнения (1.1) содержит две константы интегрирования, поэтому не очевидно, что этим трем условиям сшивки всегда
можно удовлетворить. Тем не менее легко убедиться, что третье условие (совпадение вторых производных) автоматически
выполняется при выполнении первых двух! Это счастливое
обстоятельство является следствием того, что сшивка происходит в точке перегиба
. Цена, которую приходится
заплатить, — наличие скачка у третьей производной масштабного фактора — не выглядит чрезмерной, по крайней мере
пока справедливо классическое (т. е. не квантовое) рассмотрение. Таким образом, контролируя нули у опорной функции
ПД, можно строить точные космологии с инфляцией. Если при
этом использовать в качестве «затравочных» решения с правильными асимптотиками (например, с динамикой по закону
двух третей), то вселенная будет автоматически выходить из
инфляции без каких-либо подгонок. Ниже мы проиллюстрируем, как это работает, на простых примерах.
Простейшая модель
Закон
приводит к потенциалу
, (1.3)
Простейшая модель
33
2
2
1
tc
t
c
2,1
c
0t
Общее решение уравнения (1.1) с потенциалом (1.3) и нулевой
космологической постоянной имеет вид
где
— постоянные интегрирования. Решение описывает
, (1.4)
две не связанные друг с другом вселенные, (рис. 1).
Рис. 1. Зависимость масштабного фактора от времени
для общего решения уравнений Эйнштейна с потенциалом (1.3)
Первая неограниченно продолжается в прошлое и имеет
конечную сингулярность, а вторая выглядит достаточно
странно: рождается из сингулярности, затем расширяется и
переживает суперинфляцию, т. е. к моменту
фактор становится бесконечно большим. Затем происходит
сжатие с переходом к конечному расширению, причем масштабный фактор меняет знак. Разумеется, это решение нельзя
воспринимать буквально. Зона суперинфляции (слева и справа
масштабный
Глава 1
34
0t
2
3
21
2
2
1
3
2
2
3
21
2
3
211
tcct3
ctc2
,
tcct
tc4cc
p
1
t
2
t
2
1
2
2
1
2
1
1
c
c
12,4t ,
c
c
12,0
c
c
2
234
t
2
2
1
tb
t
b
0t
1
t
2
t
1
tt0
2
21
2
21
3
2
21
3
1
c/ct
3/2
V ,c/ctc
c/ct
c
t
tt1
2
2
3
2
3
1
gt
3/2
V ,gt223c
gt
223c
t
от момента
) является запретной, так как в ней нарушается слабое энергетическое условие. Легко убедиться, что давление и плотность имеют вид
,
а потому запрещенная зона, о которой шла речь выше, будет
находиться в интервале от
, до
, где
.
Ясно, что решение справа должно определяться другими константами интегрирования:
.
Можно показать, что сшивка возможна при специальном
выборе констант в этой формуле. Мы настоятельно советуем
читателю в качестве упражнения вычислить эти константы.
Вместе с тем такая сшивка оставляет неудовлетворенность,
поскольку мы сшиваем два решения в разные моменты времени. Однако, несложно произвести сдвиг по времени так,
чтобы выполнялись два условия:
1) начальная сингулярность соответствовала бы
2)
=
, то есть отсутствует скачок по времени.
;
Опуская вычисления, приведем ответ:
1) при
динамика описывается формулами
2) при
динамика описывается формулами
;
,
35
где
,
c
c
51,0
2
423
1
c
c
t
2
1
3
1
2
1
1
.
c
c
01,0
2
423
21
c
c
g
2
1
3
1
2
1
2,1
c
12
tt
21
tt
21
tt
)t(a
Простейшая модель
Здесь введены новые константы
Сшивка уже осуществлена:
График
для второй вселенной приведен на рисунке 2.
(для удобства) и
,
.
.
Рис. 2. Зависимость масштабного фактора от времени после сшивки
Глава 1
36
1
tt
)t(a
)()(
1
tt
)t(a
)()(
1cc
21
a
1
tt
2
1
2
1
3/1
2
c
38,0
2710c
22316212
9
2
c
1cc
21
t
tlog
3
2
,e
3
2
V
3
Отметим, что при
, а при
сунке 3 изображен график зависимости ускорения
ции времени. Излом расположен в точке
кривая описывается формулой
:
(
). На ри-
как функ-
. Как видно,
имеет место инфляция на конечном интервале (там, где выступает зубец над осью t). Разумеется, инфляция возникает не
при всяких t. Можно показать, что для ее возникновения
должно выполняться неравенство
.
Рис. 3. Зависимость ускорения масштабного фактора
Выбор
метим, что при достаточно больших
от времени после сшивки
как раз этому условию удовлетворяет. От-
потенциал ведет себя как
.
Простейшая модель
37
Таким образом, мы построили простейшую модель инфляции с выходом и асимптотическим переходом к режиму
фридмановского расширения вселенной находящейся в фазе
преобладания вещества. Разумеется, этот пример не описывает нашу вселенную поскольку тут нет фазы осцилляции.
Нет и вторичного ускорения. Тем не менее ясно, что, применяя предложенную методику, можно без принципиальных
затруднений строить модельные космологии с выходом без
использования подгонок параметров. Также нет необходимости использовать гибридные модели. Напомним, что решение описывает еще одну, сжимающуюся, вселенную, которая не имеет начала, но имеет конец. Такие решения выглядят весьма необычно, но их существование неизбежно,
поскольку уравнения общей теории относительности обратимы по времени.
Преобразование Дарбу
Ясно, что любое точное решение уравнения (1.1), согласованное с энергетическими условиями, порождает точное решение уравнений Эйнштейна в метрике ФЛРУ. Поскольку не
все решения (1.1) будут порождать положительно определенное выражение после подстановки в правую часть (1.2), то
точные решения уравнений Эйнштейна являются подмножеством точных решений уравнения (1.1). С другой стороны,
фактически все точные решения уравнения Шредингера (1.1) с
«физическими» потенциалами могут быть построены с помощью ПД (мы не рассматриваем потенциалы типа прямоугольной ямы, ограничиваясь непрерывными функциями.). В качестве примера можно привести гармонический осциллятор,
многосолитонные и даже конечнозонные потенциалы. Мы
будем использовать это как «экспериментальный факт», не
пытаясь придать утверждениям типа «все потенциалы, для
которых уравнение (1.1) может быть явно решено для всех
значений спектрального параметра, строятся с помощью ПД и,
Глава 1
38
0V
)0(
2
N
2
N
N
1N
N
dt
lnd
3
2
VV ,
N,1i ;1N,,0k ,
dt
d
det
k
i
k
N
1N,1i ;N,,0k ,
dt
d
det
k
i
k
1N
i
V
)N(
V
N
возможно, еще некоторого конечного набора симметрий из
других потенциалов с тем же свойством» точный математический смысл. Тогда, неформально говоря, можно заключить,
что все точные решения уравнений Эйнштейна в плоской вселенной ФЛРУ, заполненной вещественным скалярным полем,
могут быть построены с помощью ПД. В качестве простейшего примера можно привести потенциал (1.3), который стро-
ится однократным ПД на фоне нулевого потенциала
Результат N-кратного ПД можно компактно записать с помощью формул Крама:
.
, (1.5)
где
и
В этих выражениях,
— частные решения (1.1) при не-
котором общем исходном потенциале
и разных собствен-
.
ных значениях 3. Теперь ясно, как можно использовать ПД
для построения моделей с двумя ускорениями. Мы уже обсу-
ждали необходимость наличия в потенциале
особенностей. Из формул Крама следует, что все особенности совпадают с нулями функций, входящих в крамовский определитель
, поэтому задача сводится к контролю за этими ну-
лями. Будем считать, что исходный потенциал определяется
выражениям (1.3). Решение (1.4) отвечает нулевому космологическому члену. Решения уравнения (1.1) с положительным и
отрицательным значениями Λ-члена имеют вид
Преобразование Дарбу
39
,ktsin
kt
ktcos
ktcos
kt
ktsin
,e
kt
1
1e
kt
1
1
21
kt
2
kt
1
2,1
2,1
k
xx
x33x33
1
e)1x(e)1x(
e1k)1x(e1k)1x(
2
xx
2x2x222
1
e1xe1x
2x4ee
3
k2
V
где
и
— произвольные константы.
Используя эти функции для разных значений
(1.6)
в форму-
лах (1.5) и считая, что N + 1-кратно одетое решение задано
выражением (1.4) для всех номеров N, можно построить
множество решений, асимптотически выходящих на фридмановский режим двух третей. Ясно, что N-кратно одетые функции будут содержать множество особенностей, окрест которых нарушается слабое энергетическое условие и, значит, будет возникать режим ускорения. Как и в примере из предыдущего раздела, решения нужно оборвать в точках перегиба логарифма N-кратно одетой волновой функции, где реализуется
точный режим Деситтера, после чего произвести сшивку в
этих точках. При этом необязательно сшивать решения в двух
«соседних» точках. Под соседними мы понимаем точки, между которыми лежит лишь одна особенность N-кратно одетой
волновой функции. Как уже отмечалось, всегда можно сшить
любые две такие точки, что дает известную свободу для построения нужного нам решения. Заметим, что с ростом N явный вид решений быстро становится чрезвычайно сложным.
Приведем несколько примеров.
Всюду считается, что «нормировочные» константы равны
единице. Однократное ПД с опорной функцией из (1.6) приводит к выражениям
,
,
Глава 1
40
1
1
2
ktx
0
)t(
)1(
)1(
0
0
)t(
)1(
2
где
,
,
. При
график для
изо-
бражен на рисунке 4.
Рис. 4. Зависимость
от времени при
Здесь уже вырезаны области, в которых нарушается сла -
бое энергетическое условие. Граничные точки (там, где кинетический член скалярного поля равен нулю) следует
сшить. Тогда становится ясно, что такое решение описывает
две вселенные. Первая сжимается (причем в определенный
момент, предшествующий коллапсу) в финальную сингулярность, она переживает фазу обращенной по времени инфляции. Динамика второй вселенной фактически является
обращенной по времени динамикой первой: вселенная рождается в сингулярности, некоторое время расширяется, затем переживает фазу раздувания, выходит из инфляции и
асимптотически переходит к фридмановскому расширению,
характерному для вселенной с преобладанием вещества.
Новая ситуация возникает при
. На рисунке 5 приведен
график
для
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]