Praktika_II_Logika

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ЭВМ

ПРАКТИКУМ по дисциплине «Информатика»

Часть II

Уфа 2007

Составители: М.П. Карчевская, О.Л. Рамбургер

УДК 004.4 (07)

ББК 32.973-018.2(я7)

Логические основы организации ЭВМ: Практикум по дисциплине «Информатика». Часть II / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т; Сост.: М.П. Карчевская, О.Л. Рамбургер – Уфа, 2007. – 24 с.

Излагаются рекомендации для проведения второго из пяти практических занятий по дисциплине «Информатика». Приводятся краткие теоретические сведения, примеры решения задач и задачи для самостоятельной работы, посвященные логическим основам ЭВМ: построение таблиц истинности, преобразование логических функций, построение логических выражений, составление логических схем.

Предназначен для студентов, обучающихся по направлению подготовки дипломированного специалиста 140100 – « Теплоэнергетика» специальности 140101 – « Тепловые электрические станции», направлению 160300 – « Двигатели летательных аппаратов» специальности 160304 – « Авиационная и ракетно-космическая теплотехника», направлению 220300 – « Автоматизированные технологии и производства» специальности 220301 – « Автоматизация технологических процессов и производств» и направлению подготовки бакалавра 220200 – « Автоматизация и управление» и одобрены научнометодическими советами специальностей.

Табл. 5. Библиогр.: 5 назв.

Рецензенты: канд. техн. наук доц. Каримов Р. Р. д-р техн. наук, проф. Кривошеев И. А.

© Уфимский государственный авиационный технический университет, 2007

3

1. ОСНОВЫ ЛОГИКИ

Высказывание в алгебре логики – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

ская величина, которая может принимать значения только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Простое высказывание – это повествовательное предложение или некоторое математическое соотношение, в котором что-либо утверждается или отрицается и в отношении которого можно сразу сказать, истинно оно или ложно. Простые высказывания в математике строятся с помощью знаков отношений (<, >, =, ¹ , ³ , £).

Сложное высказывание образуется из других высказываний с помощью логических операций.

Простому высказыванию ставят в соответствие логическую пе-

ременную, а сложному – логическую функцию Y = F ( X1, X 2 ,..., X N ) ,

где X1, X 2 ,..., X N – логические переменные, соответствующие простым высказываниям.

С помощью логических переменных и символов, обозначающих логические операции любое высказывание можно формализовать, т.е.

заменить логической формулой.

В табл. 1.1 приведено описание основных логических операций.

4

Таблица 1.1

Приоритеты выполнения логических операций в логических выражениях:

1.отрицание;

2.логическое произведение;

3.логическое сложение, исключающее или;

4.импликация, эквиваленция.

5

Скобки меняют порядок выполнения операций.

Для удобства и наглядности отражения сути логических операций производимых над логическими переменными принято использовать таблицы истинности. В таблицах истинности записываются все возможные сочетания значений логических переменных и соответствующие им значения логической функции.

В табл. 1.2 приведена сводная таблица истинности для описанных логических операций в табл. 1.1.

2.ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЗАДАННОЙ ЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Для каждой логической функции Y = F ( X1, X 2 ,..., X N ) можно построить таблицу истинности. Количество строк в этой таблице будет равно числу возможных комбинаций значений логических переменных, т.е. 2N, где N – число логических переменных, входящих в логическое выражение. Количество столбцов в таблице истинности равно сумме количества логических переменных и количества логических операций в логическом выражении, т.е. N+M, где M – число логических операций.

Логические выражения называются тождественно истинными, если они имеют в таблице истинности значения 1 для всех наборов значений входных переменных.

Логические выражения называются тождественно ложными, если они имеют в таблице истинности значения 0 для всех наборов значений входных переменных.

Логические выражения называются равносильными или эквива- лентными, если они имеют одинаковые значения в таблице истинности для всех наборов значений входных переменных.

6

Пример 2.1. Составить таблицу истинности для логической функции

F ( A, B,C) = (B or C) and A.

Решение. Количество строк, в таблице истинности будет равно 8 (23), количество столбцов – 6 (3 + 3). Для каждой логической операции в порядке приоритета вычисляется значение согласно таблице 2.1, результат операции записывается в соответствующей колонке таблицы истинности при соответствующих значениях переменных. Последняя колонка полученной таблицы является ответом на поставленную задачу.

Пример 2.2. Доказать, что функции f ( A, B,C) = ( A Ù B) Ú ( A Ù C) и g( A, B,C) = ( A Ù B) Ú ( A Ù C) Ú (B Ù C) являются эквивалентными.

Решение: Составим таблицу истинности для обеих функций:

Ответ: Поскольку на всех наборах значений входных переменных значения функции f ( A, B,C) и g( A, B,C) в таблице истинности одинаковые, то они являются эквивалентными.

7

Задачи и упражнения

1.Определить при каких значениях переменных логическая функция

ABC ® ( A + B) принимает значение ИСТИНА.

2.Определить при каких значениях переменных логическая функция

( A º B) ×(B ® A) + C принимает значение ЛОЖЬ.

3.Определить является ли логическая функция ( AB ® B )( AB ® A )

тождественно истинной.

4. Определить какие из трех предложенных функций

(( A and not B or not A and B) and (B → A and B)) and B ;

( A ↔ B ) and (not A and B ↔ B) or not ( A or B) ; A and (( A → B) and (( A and B) → (not A and B)))

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Логические операции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции называют базовыми. Любую функцию с помощью тождественных преобразований можно представить таким образом, чтобы она содержала только базовые логические операции. В табл. 3.1 приведены тождества, позволяющие заменить операции «исключающее ИЛИ», «импликации» и «эквиваленции» базовыми функциями.

Таблица 3.1

A Å B = A × B + A × B ;

A ® B = A + B ;

A « B = A × B + A × B ;

A« B = ( A + B) × ( A + B)

Втабл. 3.2 приведены основные законы алгебры логики, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений.

8

-Дизъюнктивно-нормальная форма (ДНФ) – представление в виде суммы произведений элементарных высказываний и их отрицаний (конъюнкции дизъюнкций). Например:

F ( A, B,C) = ( A and not B and C) or (not A and B) or (not C and A)

или

F ( A, B,C) = A × B × C + A × B + C × A

Любая логическая функция приводится к КНФ или ДНФ с помощью следующего алгоритма:

-избавляются от импликации и эвиваленции;

-избавляются от отрицаний над сложными высказываниями;

-раскрывают скобки, применяя распределительный закон логики.

Пример 3.1. Привести логическое высказывание

(A ® C) and (B « C) к ДНФ.

Решение:

1. Избавимся от импликации и эвиваленции:

( A ® C) and (B « C) = ( A + C) × (B × C + B × C)

1. Раскрываем скобки:

( A + C) × (B × C + B × C) = A × B ×C + C × B + A × B × C + C × B × C

2. Преобразуем:

A × B ×C + C × B + A × B × C + C × B × C = B × C × ( A +1) + A × B × C = B × C + A × B ×C

Ответ: ( A ® C) and (B « C) = B × C + A × B × C

Задачи и упражнения

1.Упростите логическое выражение A Ú B ( A ® B) .

2.Укажите минимальное количество операций отрицания, конъ-

юнкции и дизъюнкции с помощью которых можно вычислить логическую функцию F( A,B,C ) = ( A ® B ) « BC .

3.Упростите логическое выражение ( A ® B) « (B ® A).

4.Упростите логическое выражение ( AB Ú A Ú B) Ú A Å B .

5.Докажите тождество

( A Ú B Ú C) Ù ( A Ú B Ú C) Ù ( A Ú B Ú C) Ù ( A Ú B Ú C) Ù ( A Ú B Ú C) = = A Ù B + B Ù C.

10