Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5487 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Алгоритмы решения систем линейных уравнений с блочно-ленточными матрицами. Монография

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
06.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
Алгоритмы решения СЛАУ с блочно-ленточными матрицами. Глава 5 111
aa a
aa a
   

aa
aa
aa
   

Рассмотрим матрицы A и AL (при L = 1) размера M x N:
1,1 1,2 1,
2,1 2,2 2,
A
=
... ... ... ...
aa a
,1 ,2 ,
M M MN
... ...
...
Можно воспринимать, что A
N
N
получена из A сдвигом всех ее элементов
L
0 ... 0 ...
A
=
L
... ... ... ...
0 ...
1,1 1, 1
2,1 2, 1
,1 , 1
M MN
N
N
−
−
−
слева в правую сторону, с возникновением нулей в позициях первого столб­ца и исчезновением элементов, которые стояли на местах последнего.
Рассмотрим представление A и AL в виде одномерного массива A΄ и AL΄. Тогда можно говорить о линейном операторе OperL, переводящем A΄ в AL΄. Также можно говорить об операторе OperLL сдвига на L позиций (т. е. если нижний индекс не указан, то сдвиг подразумевается равным 1).
Оператор OperL действует следующим образом. Всякий двумерный массив A размерности M * N можно рассматривать как функцию на прямо­угольной области D = [0, M] x [0, N]. Оператор определен на множестве та­ких функций C(D) (т. е. на множестве двумерных массивов).
OperL(A)[i, j] = X[i, j – 1].
C(D) — конечномерное линейное пространство. Если зафиксировать
базис в этом пространстве, то линейному оператору OpenL будет соответ­ствовать некоторая матрица, умножение на которую действует так же, как оператор OperL.
Задача 3. Найти линейный оператор OperLL. Нижний индекс L опера­тора OperL указывает величину сдвига.
Решение: OperL
имеет вид:
имеет матрицу размера (M *N)x(M *N), которая
L
.
112 Б. Я. Штейнберг, О. Б. Штейнберг
              

*' * '
a
      
 

aaaa
aaaa
 

00
aa
aa
 

0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ... 1 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ... 0 1 ... 0 0 0 0 ... 0 ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 ...
OperL =
0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ...
L
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 0
0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 0 0 0 ... 1 ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
В этой матрице все нули, кроме некоторых единиц, находящихся на дигонали, расположенной ниже главной на L позиций. В этой диаго­нали единицы стоят на всех местах, кроме строк с номерами i (таки­ми, что i mod N < L), в которых стоят нули.
Конец решения.
Пример 50. В примере показано, как действует линейный оператор
OperL
(т. е. L = 2) на матрицу A (размера 2 x 4), представленную од-
2
номерным массивом (размера 1 x (2 * 4)) A'.

00000000 00000000 10000000
OperL A A
2
01000000
= = =
00000000 0 00000000 0 00001000 00000100
Матрицы A и AL имеют вид:
1,1

a
1,2

aa
1,3 1,1

aa
1,4 1, 2

a
2,1

a

2,2
a

2,3

a
2,4
1,1 1,2 1, 3 1, 4
A
=
2,1 2,2 2,3 2,4
Конец примера.
A
=
L
00
.
0
 
0
    
a
2,1


a
2,2

1,1 1,2
2,1 2,2
.
L
.
Алгоритмы решения СЛАУ с блочно-ленточными матрицами. Глава 5 113
Задача 4. Найти линейный оператор OperRR. Нижний индекс R опе­ратора OperR указывает величину сдвига.
Решение: OperR
имеет матрицу размера (M * N)x(M *N), содержащую
R
все нули, кроме некоторых единиц, находящихся на диагонали, распо­ложенной выше главной на R позиций. В этой диагонали единицы стоят на всех местах, кроме строк с номерами i (такими, что i mod N ≥ N – L), в которых стоят нули.
Конец решения.
Задача 5. Найти линейный оператор OperU
. Нижний индекс U опе-
U
ратора OperU указывает величину сдвига.
Решение: OperU
имеет матрицу размера (M *N) x (M *N), содер-
U
жащую все нули, кроме одной диагонали, все элементы которой равны единицам. Эта диагональ расположена ниже главной на U *N позиций.
Конец решения.
Задача 6. Найти линейный оператор OperD
. Нижний индекс D опе-
D
ратора OperD указывает величину сдвига.
Решение: OperD
имеет матрицу размера (M *N)x(M *N), содер-
D
жащую все нули, кроме одной диагонали, все элементы которой равны единицам. Эта диагональ расположена выше главной на D *N позиций.
Конец решения.
Всякая квадратная матрица (см. рисунок 15) с одной диагональю соот­ветствует некоторому оператору, равному произведению операторов сдви­га, умножения на функцию и проектора (17), которые в свою очередь со­ответствуют некоторому программному коду вида (16). Всякая ленточная матрица с несколькими диагоналями соответствует некоторой сумме опе­раторов (17).
114 Б. Я. Штейнберг, О. Б. Штейнберг
5.6. Действия операторов сдвига
на массивы и примеры соответствующих
этим действиям матриц
Матрица оператора сдвига OperL
Рассмотрим примеры, в которых M = 3; N = 4. L = 1, R = 0, U = 0, D = 0.
Оператор сдвига действует на двумерный массив X, определенный на целых точках прямоугольника {0, 1, …, M – 1} x {0, 1, …, N – 1} (удобно считать, что массив X определен и за границами прямоугольника и ра­вен 0). Результат действия (левого) сдвига — это новый массив OperL (X), (i, j)-элемент которого определен формулой
OperL (X) [ i, j] = X[i, j – 1].
Рассматривая программу
for (i = 1; i < M; i++) { for {j = 1; j++, j<N) { Y[i,j] = F[i,j]*X[i,j – 1]; }}
можно полагать, что здесь участвует оператор OperL(X):
for (i = 1; i < M; i++) { for {j = 1; j++, j<N) { Y[i,j] = F[i,j]*OperL(X)[i,j]; }}
Все массивы Y[i, j], F[i, j], X[i, j]; определены на двумерной области раз- мерности M х N.
Строки и столбцы области занумерованы от 0.
2 * * * * 1 * * * * 0 * * * * 0 1 2 3
Сквозная нумерация точек данной области начинается от 0 (до M *N–1).
i < M 2 08 09 10 11 k < M x N 1 04 05 06 07 0 00 01 02 03 0 1 2 3 j < N
Алгоритмы решения СЛАУ с блочно-ленточными матрицами. Глава 5 115
Двумерные массивы Y[i, j], F[i, j], X[i, j], используемые в программе, за-
меним одномерными YY[k], FF[k], XX [k] соответственно. При этом индек­сы пересчитываются с учетом нумерации узлов сетки (точек рассматривае­мой прямоугольной области)
k = M*i+j;
и в обратную сторону
i = k//M; (частное при целочисленном делении) j = k mod M; (остаток при целочисленном делении)
Напомним, что элемент W
матрицы W в строке s и столбце t равен ска-
st
лярному произведению <es, W(et )> базисного вектора es на вектор W(et).
В пространстве векторов размерности M*N, как обычно, k-ый базисный
вектор ek имеет 1 на месте k и 0 на остальных местах.
Вычислим значение оператора OperL на базисных векторах ek. Если числа (i, j) такие, что 0<j<N, и M*i+(j – 1) = k, то
OperL(e
) = ek[i, j – 1] = 1;
k
иначе OperL(ek) = 0.
Условие M*i+(j – 1)) = k выполняется, если числа (i, j) такие, что j – 1>0
и OperL(e
) = e
k
Пример 51. Пусть M = 3, N = 4.
Матрица оператора OperL имеет следующий вид (строки и столбцы занумерованы от 0 до 3 * 4 – 1 = 11):
В данной матрице ненулевой является только одна диагональ («наддиагональ»), у которой элементы W ям s – t = + 1. В этой диагонали встречаются нулевые элементы, у которых t mod 4 = 0.
.
k – 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Конец примера.
удовлетворяют услови-
st
116 Б. Я. Штейнберг, О. Б. Штейнберг
Матрица оператора сдвига OperR
Рассмотрим пример, в котором
M = 3; N = 4.
L = 0, R = 1, U = 0, D = 0.
for (i = 1; i < M; i++) { for {j = 1; j++, j<N) { Y[i,j] = F[i,j]*X[i,j+1]; }}
OperR(X)[i, j] = X[i, j +1].
Пример 52. Пусть M = 3, N = 4.
Матрица оператора OperR имеет следующий вид (строки и столбцы занумерованы от 0 до 3 * 4 – 1 = 11):
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
В данной матрице ненулевой является только одна диагональ («наддиагональ»), у которой элементы W s – t = – 1. В этой диагонали встречаются нулевые элементы, у кото- рых (t +1) mod 4 = 0.
Конец примера.
удовлетворяют условиям
st
Матрица оператора сдвига OperU
Рассмотрим примеры, в которых
M = 3; N = 4.
L = 0, R = 0, U = 1, D = 0.
Оператор сдвига действует на двумерный массив X, определенный на целых точках прямоугольника {0, 1, …, M – 1}x {0, 1, …, N – 1} (удобно считать, что массив X определен и за границами прямоугольника и равен 0).
Алгоритмы решения СЛАУ с блочно-ленточными матрицами. Глава 5 117
Результат действия сдвига — это новый массив OperU(X), (i, j)-элемент ко- торого определен формулой
OperU(X)[i, j] = X[i – 1, j].
Рассматривая программу
for (i=1; i < M; i++) {
for {j=1; j++, j<N) {
Y[i, j] = F[i, j]*X[i – 1, j];
}}
можно полагать, что здесь участвует оператор OperU(X):
for (i=1; i < M; i++) {
for {j=1; j++, j<N) {
Y[i, j] = F[i, j]*OperU(X)[i, j];
}}
Все массивы Y[i, j], F[i, j], X[i, j]; определены на двумерной области раз-
мерности M х N.
Пример 53. Пусть M = 3, N = 4.
Матрица оператора OperU имеет следующий вид (строки и столбцы занумерованы от 0 до 3 * 4 – 1 = 11):
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Конец примера.
Матрица оператора сдвига OperD
Рассмотрим примеры, в которых
M = 3; N=4. L = 0, R = 0, U = 0, D = 1.
Оператор сдвига действует на двумерный массив X, определенный на
целых точках прямоугольника {0, 1, …, M – 1}x {0, 1, …, N – 1} (удобно считать, что массив X определен и за границами прямоугольника и равен 0).
118 Б. Я. Штейнберг, О. Б. Штейнберг
Результат действия (левого) сдвига — это новый массив OperU(X), (i, j)- элемент которого определен формулой
OperD(X)[i, j] = X[i +1, j].
Рассматривая программу
for (i=1; i < M; i++) { for {j=1; j++, j<N) { Y[i, j] = F[i, j]*X[i+1, j]; }}
можно полагать, что здесь участвует оператор OperD(X):
for (i=1; i < M; i++) { for {j=1; j++, j<N) { Y[i, j] = F[i, j]*OperD(X)[i, j]; }}
Все массивы Y[i, j], F[i, j], X[i, j] определены на двумерной области раз- мерности M х N.
Двумерные массивы Y[i, j], F[i, j], X[i, j], используемые в программе, за- меним одномерными YY[k], FF[k], XX [k] соответственно. При этом индек­сы пересчитываются с учетом нумерации узлов сетки (точек рассматривае­мой прямоугольной области)
k = M * i + j; и в обратную сторону
i = k //M; (частное при целочисленном делении)
j = k mod M; (остаток при целочисленном делении)
Пример 54. Пусть M = 3, N = 4.
Матрица оператора OperD имеет следующий вид (строки и столбцы занумерованы от 0 до 3 * 4 – 1 = 11)
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Алгоритмы решения СЛАУ с блочно-ленточными матрицами. Глава 5 119
В данной матрице ненулевой является только одна диагональ («поддиагональ»), у которой элементы Wst удовлетворяют условиям s – t = –1. В этой диагонали встречаются нулевые элементы, у кото­рых s mod 3 = 0.
Конец примера.
5.7. О восстановлении алгоритма типа Гаусса-Зейделя по СЛАУ
с блочно-ленточной матрицей
В предыдущем параграфе по операторам сдвига OperL, OperR, OperU,
OperD строились матрицы, им соответствующие. Эти матрицы оказыва-
лись с одной ненулевой диагональю, на которой тоже с некоторой перио­дичностью могли быть нулевые элементы. В этом параграфе рассматри­вается обратная задача: по блочно-ленточной матрице найти массивы и операторы сдвига, которые приводят некоторый алгоритм итерационного типа к СЛАУ с исходной матрицей.
Основной результат данного параграфа — это формулировка направле­ния исследований, которое должно принести ускорения для решения широ­кого класса СЛАУ с блочно-ленточными матрицами.
Идея состоит в том, чтобы по блочно-ленточной матрице СЛАУ
A*x = h
записать алгоритм решения этой СЛАУ в виде итерационного гнезда ци­клов (15), к которому применить метод работы [18] (сочетание скошенного тайлинга и распараллеливания по методу гиперплоскостей).
В частности, предполагается проанализировать блочно-ленточные ма­трицы, которые получаются при применении метода конечных элементов.
Схема метода может выглядеть следующим образом.
Рассматриваются варианты: двумерный, трехмерный и четырехмерный (большие размерности тоже возможны, но маловероятны). Рассмотрим дву­мерный случай (остальные аналогичны).
Для каждой ненулевой блочной диагонали найдем двумерный массив и все операторы OperL, OperR, OperU, OperD, в результате действия которых эта диагональ может быть получена. Затем следует найти набор двумерных массивов и набор операторов OperL, OperR, OperU, OperD, с помощью ко­торых можно задачу привести к вычислению СЛАУ итерационного типа.
120 Б. Я. Штейнберг, О. Б. Штейнберг
Далее, к алгоритму итерационного типа применить целевой метод (со­четание скошенного тайлинга и распараллеливания по методу гиперпло­скостей), дающий высокое ускорение.
Пример 55.
Будем рассматривать уравнение
A*x = h
Q
в векторном пространстве R имеет вид A = I+B, где B — матрица c несколькими ненулевыми диагоналями.
Матрица B размера (M+2)*(N+2) имеет 4 ненулевых диагонали (две диагонали выше главной и две — ниже) и имеет вид
0 ¼ 000 ¼ 000
0000…0 ¼ 000 ¼ 000 00000…0 ¼ 000 ¼ 000 … 0¼ 000000…0 ¼ 000 ¼ 000 00¼ 000000…0 ¼ 000 ¼ 000 … ¼ 000…¼ 000…0 ¼ 000 ¼ 000 0¼ 000…¼ 000…0 ¼ 000 ¼ 000 ‘’’ 000…¼ 000…¼ 000…0 ¼ 000 ¼ 0000…¼ 000…¼ 000…0 ¼ 0000 … 000…0000…¼ 000…¼ 000…0 ¼ 0000…0000…¼ 000…¼ 000…0 … 000…00000…0000…¼ 000…¼ 000
, где x и h — векторы, а матрица A
Здесь: 1 ) в первой строке первое число ¼ находится на позиции (номер
столбца) 2. Второе число ¼ находится в столбце N. 2 ) во второй строке первое число ¼ находится на позиции (номер
столбца) 3. Второе число ¼ находится в столбце (N+1). 3 ) в строке M уже 3 числа ¼, начиная с первого.
…
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности