Мат.Ан

Доказательство. Предположим сначала, что в множестве M есть положительные числа. Рассмотрим целые части [x] чисел из множества M. Тогда найдется a0 наибольшее из целых частей чисел x M. Будем строить цепочку вложенных непустых множеств

M M0 M1 M2 M3 ..., Mk 6= .

Рассмотрим M0 те числа из M у которых целая часть равна b0

M0 = {x M|x = b0, ...}.

Отметим, что если x M00 = M\M0, òî x < b0. Åñëè x M0, òî x = b0, n1..., и возьмем среди встречающихся цифр n1 наибольшую b1.

Положим

M1 = {x M0|x = b0, b1...}.

Отметим, что если x M10, òî x < b0, b1. Åñëè x M1, òî x = b0, b1n2..., и возьмем среди встречающихся цифр n2 наибольшую b2.

Положим

M2 = {x M1|x = b0, b1b2...}.

Отметим, что если x M20, òî x < b0, b1b2. Åñëè x M2, òî x = b0, b1b2n3..., и возьмем среди встречающихся цифр n3 наибольшую b3. È так далее... Положим

Mk = {x Mk−1|x = b0, b1b2...bk...}.

Отметим, что если x Mk0 , òî x < b0, b1b2...bk. И так далее...

Получили число b = b0, b1b2...bk∞... Убедимся, что b является верхней гранью. В самом деле, если a S Mm0 , тогда при некотором k имеем

m=1

a Mk0 è x < b0, b1b2...bk ≤ b. Åñëè æå

21

Если a < b, то x M|x > a. Покажем это. Если a < b, то

a = b0, b1b2...bk−1nk..., nk < bk

Если теперь взять x Mk, òî a < x.

Итак, доказано, что b = sup M (супремум множества M) точная верхняя грань.

z = inf M (инфимум множества M) точная нижняя грань:

Теорема 1.7. (Об отделимости множеств). Пусть A R и B Rнепустые множества. A ∩ B = . Для всех a A, b B выполнено a ≤ b. Тогда существует x R такое, что при всех a A, b B выполнено a ≤ x ≤ b.

Доказательство. Возьмем любое b B, по условию теоремы b верхняя грань для A. Возьмем x = sup A a ≤ x a A, x наименьшая из верхних граней x ≤ b.

Теорема 1.8. (О вложенных отрезках). Пусть дана последовательность [a1, b1], [a2, b2], . . . , [an, bn], . . . вложенных отрезков, т.е. an+1 ≥ an, bn+1 ≤ bn. Тогда существует точка x принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство. Возьмем множество A левых концов A = {an|n N},и правые концы B = {bn|n N}. Утверждаем, что an < bk n, k предположим, что k > n, тогда отрезок [an, bn] [ak, bk]. an ≤ ak < bk. Множества A, B удовлетворяют предыдущей теореме об отделимости (см.

22

Определение 29. Суммой действительных чисел a и b называется действительное число x обладающее свойством: для любых рациональных чисел p1, p2, q1, q2 таких, что p1 < a < p2, q1 < b < q2 должно быть выполнено p1 + q1 < x < p2 + q2.

Теорема 1.9. Сумма действительных чисел существует и единственна.

Доказательство. Рассмотрим множество A. A = {p1+q1 | p1 Q, q1 Q, p1 < a, q1 < b}. Множество сумм рациональных чисел меньших a

По теореме об отделимости множеств (см. теорема 1.7)

x : α ≤ x ≤ β α, β. p1 + q1 ≤ x è p2 + q2 ≥ x.

ε > 0. Пусть есть две суммы x и y. Выберем p1 è p2 так чтобы p2 − p1 < ε, q1 è q2 так, чтобы q2 − q1 < ε.

x [p1 + q1; p2 + q2], y [p1 + q1; p2 + q2]. Длина отрезка p2 + q2 − (p1 + q1) < 2ε

|x − y| ≤ 2ε x = y.

9. Умножение действительных чисел

Определение 30. Произведение положительных действительных чисел a > 0, b > 0 называется число x обладающее свойством: для рацио-

нальных чисел p1, p2, q1, q2 таких, что 0 < p1 < a < p2, 0 < q1 < b < q2 должно быть выполнено неравенство p1q1 ≤ x ≤ p2q2.

23

Теорема 1.10. Произведение действительных положительных чисел существует и единственно.

Промежутки:

отрезок [a, b] = {x R|a ≤ x ≤ b}; интервал (a, b) = {x R|a < x < b}; полуинтервал [a, b) = {x R|a ≤ x < b}. Замкнутый луч [a; +∞) = {x R|a ≤ x}. Открытый луч (a; +∞) = {x R|a < x}.

ε окрестность точки a это Uε(a) = (a − ε, a + ε). Проколотая ε окрестность точки a.

Uε(a) = Uε(a)\{a}.

Правый луч это (a; +∞) окрестность +∞. Левый луч это(−∞b) окрестность −∞.

Объединение левого и правого луча окрестность ∞.

24

ГЛАВА 2

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

1. Предел последовательности.

Определение 31. Последовательностью называется F : N → R функция из натуральных чисел в действительные.

F : n → xn

1 → x1

2 → x2

3 → x3

xn = 2n формула для задания последовательности.

2. Действия над последовательностями.

1.Сложение: {xn} + {yn} = {xn + yn};

2.Умножение на число: λ · {xn} = {λ · xn};

3.Умножение последовательностей: {xn} · {yn} = {xnyn};

4.Деление последовательностей: если yn 6= 0, n, òî {xn}/{yn} =

{xn/yn};

5.Объединение последовательностей: {xn} {yn} = {x1, y1, x2, y2, x3, y3, ...};

Определение 32. Последовательность называется ограниченной, если

c : |xn| ≤ c n N, òî åñòü n xn [−c, c].

Определение 33. Последовательность называется ограниченной сверху, если c : xn ≤ c n N

25

Определение 34. Последовательность называется ограниченной снизу, если c : xn ≥ c n N

Определение 35. Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого c отрезок [−c, c] содержит конечное число элементов последовательности.

Определение 36. Последовательность {xn} называется бесконечно большой если c M : |xn| > c ïðè n ≥ M.

Лемма 2.1. Определения 35 и 36 эквивалентны ( 35 35).

Доказательство. Пусть 35 выполнено. Отрезок [−c, c] содержит конеч- ное число элементов. Пусть M наибольший номер элемента. Если n ≥ M + 1, то следовательно элемент xn / [−c, c] |xn| ≥ c.

Пусть 36 выполнено. Тогда |xn| > c при n ≥ M. Поэтому отрезок [−c, c] содержит конечное число элементов последовательности.

Пример 7. Последовательность (1 + 1/2), (1 + 1/3), (1 + 1/4), (1 + 1/5)

не бесконечно большая. Отрезок [−2, 2] содержит бесконечно много элементов последовательности.

Определение 37. Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если вне интервала (−ε, ε) расположено конечное число элементов последовательности (и это ε > 0).

Определение 38. Последовательность {xn} называется бесконечно ма-

Доказательство. Пусть определение 37 выполнено. ε > 0 вне (−ε, ε)

конечное число элементов последовательности, мы выбираем наибольший номер, M наибольший номер среди тех, что "вне"и при n ≥ M +1,

при больших номерах, xn (−ε, ε) |xn| < ε. Пусть выполнено определение 38. Тогда

|xn| < ε xn (−ε, ε) при больших номерах n. Вне интервала (−ε, ε) лежит конечное число элементов последовательности.

26

log2(1ε + 1).

Замечание 2.1. Если {xn} бесконечно малая, то {|xn|} бесконечно малая.

Доказательство. Если вне (−c, c) конечное число элементов {xn}, то элементов {|xn|} вне (−c, c) тоже конечное число.

Теорема 2.1. Бесконечно малая последовательность ограничена, то есть ограничено множество е¼ значений;

Доказательство. Заметим, что конечное множество ограничено и объединение двух ограниченных множеств ограничено.

Для бесконечно малой последовательности вне (−1, 1) находится конечное число элементов {xn}. Рассмотрим множества A те элементы, которые вне (−1, 1), B те элементы которые внутри (−1, 1).

{xn} = A B.

Оба множества A и B ограничены.

Теорема 2.2. xn 6= 0

1.Åñëè {xn} бесконечно малая {x1n } бесконечно большая.

2.Åñëè {xn} бесконечно большая {x1n } бесконечно малая.

27

2. {xn} бесконечно большая c > 0 только конечное число xn óäî-

Теорема 2.3. Сумма или разность двух бесконечно малых и есть бесконечно малая.

Доказательство. {xn} бесконечно малая ε1 > 0 M1 : n ≥ M1 |xn| < ε1. {yn} бесконечно малая ε2 > 0 M2 : n ≥ M |yn| < ε2. Для любого ε > 0 выберем ε1 = 2ε , ε2 = 2ε , M = max{M1, M2}. Åñëè n ≥ M |xn + yn| ≤ |xn| + |yn| < ε1 + ε2 = ε {xn + yn} бесконечно малая.

Теорема 2.4. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть {xn} бесконечно малая ε > 0 M : n ≥ M xn < ε. Пусть {yn} ограниченная последовательность c : |yn| ≤ c. Тогда |xn · yn| ≤ |xn| · |yn| < cε. |xn · yn| < cε. Выполняется определение 40 и {xn, yn} бесконечно малая.

Пример 9. {xn} = {n1 } бесконечно малая (с ростом номера последовательность уходит к 0).

{yn} = {(−1)n} ограниченная. {zn} = {(−n1)n } бесконечно малая.

−1; 12 ; −13 ; 14 ; −15 ...

Еще один пример бесконечно малой 1; 0.1; 0.2; 0.01; 0.02; 0.001; 0.002...

28

Следствие 2.1. Произведение двух бесконечно малых является бесконечно малой.

Теорема 2.5. Если последовательность постоянная и одновременно бесконечно малая, то она равна 0.

{xn} {c, c, c, c...}

{xn} бесконечно малая.

ε > 0 M : n ≥ M |xn| < ε, |c| < ε, c = 0.

Определение 41. Последовательность называется сходящейся, если она имеет вид {xn} = {A + αn}, ãäå αn бесконечно малая.

lim {xn} = A.

n→∞

Число A предел последовательности.

Теорема 2.6. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Пусть xn = A + αn = B + βn; αn, βn бесконечно малые. A − B = βn − αn = γn(γn → 0) постоянная и бесконечно малая последовательность. Поэтому A − B = 0, откуда A = B.

Замечание 2.2. Бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет предел 0.

Åñëè {xn} бесконечно малая, то {xn} = {0 + xn}

0 = lim xn

n→∞

Теорема 2.7. Сходящаяся последовательность ограниченная.

Доказательство. {xn} сходящаяся. {xn} = {A + αn} = {A} + {αn} ограниченная.

Теорема 2.8. Если lim xn = A 6= 0, òî

n→∞

1. M : n ≥ M |xn| ≥ |A2 |

2. Последовательность { 1 } ограниченная.

xn

29

Доказательство. По определению сходящейся последовательности ε >

0 M(ε) : n ≥ M |xn − A| < ε. Выберем ε = |A2 |. Тогда |xn − A| < |A2 |

Воспользуемся свойством |a −b| ≥ |a|−|b|. Имеем |xn| = |A −(A −xn)| ≥

При этом предполагается, что xn 6= 0, хотя допустимо, что могут быть некоторые xn = 0 (конечное число).

Доказательство. Известно, что an = A + αn, αn бесконечно малая, bn = B + βn, βn бесконечно малая. an + bn = (A + B) + (αn + βn) по определению, имеем сходящуюся последовательность.

имеют предела.

lim an = A an → A ïðè n → ∞

n→∞

Åñëè an → A ïðè n → ∞, òî an + bn → A + B ïðè n → ∞.

Теорема 2.10. (о пределе произведения) Если an → A ïðè n → ∞ è bn → B ïðè n → ∞, òî an · bn → A · B ïðè n → ∞.

Доказательство. an = A + αn, bn = B + βn

an · bn = (A + αn) · (B + βn) = AB + Aβn + αnB + αnβn = AB + γn.

Теорема 2.11. (о пределе частного)Если an → A ïðè n → ∞ è bn → B

3. Предельный переход в неравенствах.

30