Мат.Ан

Теорема 2.12. Если an ≥ 0 è lim an = A, òî A ≥ 0

n→∞

Доказательство. Пусть A < 0

an = A + αn ≥ 0 αn ≥ −A > 0 αn / (−|A|, |A|)

−A = |A| не может быть. αn не бесконечно малая.

Следствие 2.2. Если an > 0 è lim an = A, òî A ≥ 0. an = n1 > 0, an → 0 ≥ 0.

Теорема 2.13. Если an ≥ bn è lim an = A, lim bn = B, òî A ≥ B.

n→∞ n→∞

Доказательство. cn = an − bn ≥ 0

lim cn = A − B ≥ 0.

n→∞

Следствие 2.3. Если an > bn è lim an = A, lim bn = B A ≥ B.

n→∞ n→∞

Теорема 2.14. (теорема о двух милиционерах)Если an ≤ cn ≤ bn è

Доказательство. an ≤ cn ≤ bn\(−an)

0 ≤ cn − an ≤ bn − an = (A + βn) − (A + αn) = βn − αn бесконечно

малая. cn − an

cn − A = (cn − an) + (an − A) = бесконечно малая.

(a + b)n = ancn0 + an−1bcn1 + an−2b2cn2 + abn−1cnn−1 + bncnn

31

n→∞

4. Монотонные последовательности. Число e.

Определение 42. Последовательность an называется возрастающей, ес-

ëè an+1 > an n = 1, 2, ...

Определение 43. Последовательность an называется неубывающей, ес-

ëè an+1 ≥ a n = 1, 2, ...

32

Замечание 2.3. Возрастающая последовательность является неубывающей.

Определение 44. Последовательность bn называется убывающей, если

bn+1 < bn n = 1, 2, ...

Определение 45. Последовательность bn называется невозрастающей,

åñëè bn+1 ≤ b n = 1, 2, ...

Эти четыре вида последовательности носят общее название монотонные последовательности.

Теорема 2.15. (Теорема Вейерштрасса). Монотонная ограниченная последовательность сходится, при этом:

1. Åñëè an неубывающая, то lim an = sup{an}.

n→∞

2. Åñëè an невозрастающая, то lim an = inf{an}.

n→∞

Доказательство. an неубывающая, M = sup{An} по определению sup, должны выполнятся два условия.

1.an ≤ M, n

ak : ak > M − ε

n ≥ k an ≥ ak(неубывающая последовательность). Поэтому M ≥ an ≥ M − ε 0 ≥ an − M ≥ −ε

|an − M| < ε

ε > 0 k : n ≥ k |an − M| < ε (определение предела)

lim an = M

n→∞

2. Пусть bn невозрастающая.

an = −bn неубывающая.

lim bn = − lim an = − sup{−bn} = inf{bn}.

n→∞ n→∞

33