Сборник задач по криптологии. Сборник задач для студентов, обучающихся по направлению 10.03.01 «Информационная безопасность», профиль «Комплексная защ-1
.pdf
Раздел21.Ключеваяподсистемакриптосистемы
8.Назовите приемы построения ключевых систем, направленные на сокращение объема ключевого материала, хранящегося у пользователя.
9.Перечислите способы хранения ключей, обеспечивающие секретность ключа. Укажите преимущества и недостатки каждого способа хранения ключей.
10.Что такое обоюдная аутентификация пользователей? С использованием какого протокола она выполняется?
11.Какую задачу необходимо решить критоаналитику для компрометации ключей, сгенерированных в ходе бесключевого протокола Мэсси-Омуры?
12.Найдите методом Ферма разложение на множители числа:
а) 744720; б) 321368.
13.Сколько различных (независимых) бинарных ключей длины 64 можно сгенерировать с помощью ЛРПmax-150?
— 91 —
Раздел 22.
ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
1.В чем основное отличие теоретической и практической стойкости систем шифрования?
2.Каковы основные характеристики практической стойкости криптосистемы?
3.В чем различие подходов криптографа и криптоаналитика к оценке стойкости криптографической системы?
4.Как связаны вычислительная и временная сложности решения задач?
5.Можно ли применить асимптотический анализ стойкости к шифру Вернама?
6.Каковы основные этапы исследований при выполнении криптоанализа?
7.Какие допущения о возможностях криптоаналитика делает криптограф при анализе стойкости системы шифрования?
8.Каковы основные отличия кластерных и распределенных вычислительных систем?
9.Определите основные классы методов криптографического анализа.
—92 —
Раздел22.Основыкриптографическогоанализа
10.В чем заключена идея построения двухэтапных методов криптоанализа, состоящих из предварительного и оперативного этапов?
11. Криптографическая стойкость шифра Е оценена в 2015 году величиной 10200 условных вычислительных операций. Используя закон Мура, дайте оценку стойкости шифра Е, ожидаемую:
а) в 2025 году; б) в 2050 году.
12.Во сколько раз увеличится сложность полного перебора ключей, если длина ключа увеличится на 1 бит; на 10 бит?
13.Что такое ЭП? Какие схемы ЭП вам известны? Докажите корректность ЭП в схемах RSA и Эль-Гамаля.
14.Какие требования предъявляются к ЭП?
15.Как устроены электронные платежные системы? Для обеспечения какого свойства необходимо использование хеш-функции?
16.Перечислите основные виды ЭП.
17.Докажите корректность слепой подписи Чаума с использованием RSA.
18.Какие разработаны алгоритмы слепой подписи?
19.Какие проблемы прямой подписи решают при арбитражной подписи?
20.Чем отличается аутентификация от идентификации информации?
21.Какие основные функции реализует реализует управление доступом в базе данных?
22.Каковы основные цели и средства обеспечения целостности информации?
—93 —
Раздел22.Основыкриптографическогоанализа
23.В чем существо аудита и оповещения об опасности
вИТС?
24.v при неравномерном распределении вероятностей на множестве K ключей криптосистемы минимум средней трудоемкости МПП достигается при опробовании ключей в порядке убывания их вероятностей.
25.Однонаправленная хеш-функция принимает значения
из множества Vn. При каком n случайная пара сообщений составляет коллизию с вероятностью, не большей 10–9?
26.Временная сложность дешифрования криптосистемы на момент разработки в 2000 году оценена: а) в 100 лет; б) в 1000 лет. Через сколько лет в соответствии с «законом Мура» время дешифрования криптосистемы не превысит 1 часа?
27.Ключ генератора гаммы {gi} – начальное состояние автономных автоматов A=(V11,V1,h,f) и A′=(V10,V1,h′,f′), gi – сумма выходных знаков автоматов, i=1,2,… Определите трудоемкость метода согласования для определения ключа по гамме, размер необходимой памяти и число знаков гаммы, достаточное для однозначного определения ключа.
28.Оцените трудоемкость реализации оперативного этапа метода Хеллмана для СБШ с ключевым множеством порядка 264, если размер блоков данных равен 64 битам.
29.Определите трудоемкость решения системы уравнений
F30,30/(a1,...,a30) над GF(2) методом последовательного опробования, если S(f1+3j),S(f2+3j),S(f3+3j) {1+j,2+j,3+j}, j=0,1,...,9.
30.Определите необходимый размер памяти p и трудоемкость Т решения системы уравнений Fm,п/(a1,...,am) над
—94 —
Раздел22.Основыкриптографическогоанализа
GF(2) степени d методом формального кодирования, если линеаризованная система имеет максимальный ранг и решается методом Коновальцева:
а) m=900, п=40, d=2; б) m=800, п=40, d=2; в) m=10000, п=40, d=3; г) m=9000, п=40, d=3.
31.Какова сложность XL-метода решения системы уравнений гаммообразования фильтрующего генератора над GF(2) на базе ЛРС длины п с фильтром, зависящем существенно от k переменных, если известны m знаков гаммы:
а) m=106, п=102, k=5; б) m=106, п=50, k=8.
32.Криптограмма y1,…,yt получена при зашифровании текста x1,…,xt с использованием синхронного шифра гаммирования по модулю 10. Улучшатся ли криптографические свойства шифрования, если эту криптограмму повторно зашифровать, используя тот же отрезок гаммы; другой отрезок гаммы, сгенерированный независимо от первого отрезка?
33.Сколько знаков двоичной гаммы достаточно в среднем
для различения истинного и ложного ключей (K=V30) генератора, если использовать статаналог g выходных функций fi, где dist(fi,g)=229+225, i=1,2,…?
34.Постройте матрицу дифференциальных характеристик для одного из s-боксов DES-алгоритма.
35.Какова стойкость шифра с ключами длины 512 бит, если ключ есть отрезок ЛРПmax-100, сгенерированный при случайном начальном состоянии?
—95 —
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Раздел 1
16. n/(2n+1).
22.а) А B С; б) А; в) А В.
25.2n–m.
28.Нет; X = Y .
29.80.
33.Cnk (n −1)n−k .
35.2n–m – 2.
45.а) 3n; в) (b – 1)15.
48.а) C153 3 26 , C159 33 23 , 35 .
49.26.
50.37.
59. 20×19×18=6840. 61. е) О(n3log2а).
Раздел 2
2.(ab)c ≠ a(bc), не полугруппа, не коммутативна, ab ≠ ba.
3.nk, где k = n2 (k = n(n+1)/2).
5. а), в) – группы.
7. а), б) подкольцо; в) не подкольцо. 11. H = H {(0,0,0,0)}, dim H = 2. 18. а) нет; б) нет.
20. да.
— 96 —
Ответыирешения
Раздел 3
1. а) n+1 классов порядков Cni , i=0,1,…n; б) 2n–2 классов порядка 4.
6. а) нет; б) нет.
10. а) 4; в) 0.
13. а) infY=(0100), supY=(0111).
15. |
а) (1,…,1); б) (0,…,0). |
16. |
а) 2q–p – 1. |
17. |
Да, так как 18 144. |
18. |
Нет, так как НОД(18,45) не делит 88. |
20. |
а) Нет, h(D(210)) < 7, б) да, {15,21,33,35,55,77}. |
21. |
Да, обе изоморфны V4. |
22. |
Изоморфны при n = 4. |
31. |
а) 192, 256; б) 128, 160. |
Раздел 4
1. б) Cmk , где m = n(n–1)/2.
2. б) Ck( −1) .
n n
4. Является n нечетное.
13. 1.
19.При четном n–k; C(g) = (1[k],2[m]), где m = (n–k)/2.
20.(n–2)!.
Раздел 5
5. (n/2)×n!.
8. 8!, 28!, p8!.
10. m0m1m2+m0m2m3, m1m2m3+m0m1m3.
Раздел 6
10. d циклов длины 2n/d, где d=(k,2n). 13. 4, 36, 212.
15. g7, g12.
— 97 —
Ответыирешения
Раздел 7
2. а) О(log2n); б) О(log2n). 5. 259314103.
15. a) q=535, r=4.
Раздел 8
10. 23!=21939547311213×17×19×23. 13. а) 7 ={1,7}.
18.Применить малую теорему Ферма.
19.Применить теорему Эйлера.
25. а) x = 6.
28. а) x≡0 mod5.
30.Z11*= 2 , j(10) = 4.
31.в) 2.
44. 272 первообразных корня при m=289.
Раздел 9
6. а) от 9 до 10; б) от 9 до 12.
11. Вес произведения (суммы) б.ф. выразите через веса сомножителей (слагаемых).
13. ||f||=2n–1.
14.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
degf |
n |
1 |
т |
2 |
n–3 |
|
|
|
|
|
|
||f|| |
2n–1 +(–1)n |
2n–1 |
22т–2 +2 |
3×23т–3 |
2n–1 – 23 |
15.15/31.
16.23 2n−2 .
18.С 512256 – 210 + 2.
19.17.
25.2 Cnk .
26.а) Нет ( Т0). б) Нет ( Т1). в) Полна.
— 98 —
Ответыирешения
27. а) a=b=1; б) a=1, b=0; в) a b=1.
30. а) b d e; б) b g; в) (b1)(a b d1). 32. f = (0011110001101001) = x2 x3 x1x4,
f = (0110110001101100) = x2 x3 x4 x2x4; g = (1010010111110000) = 1 x2 x4 x1x4, g = (1011010010110100) = 1 x2 x4 x3x4,
g = (1011010011100001) = 1 x2 x4 x1x4 x3x4; f1 = (0010110111010010) = x1 x2 x3 x3x4,
f1 = (0110110010010011) = x1 x2 x3 x4 x2x4,
f1 = (0111110110000010) = x1 x2 x3 x4 x2x4 x3x4;
g1 = (1010110000110101) = 1 x1 x4 x1x3 x1x4 x2x3 x2x4, g1 = (1011110100100100) = 1 x1 x4 x1x3 x1x4 x2x3
x2x4 x3x4.
34.б) Эквивалентны относительно GL3.
35.г) 24, 45.
37.Первая.
38.JQ10(f) =S10×A10, где A10 =29.
41.dimV=n+1.
42. а) являются.
Раздел 10
6. Нет.
10.Нет, преобразование не инъективное.
11.а) Нет; б) нет.
12.Имеет.
15.а) да; б) – да.
16.Нет.
20.а) нет.
21.а) Ни при каких.
Раздел 11
1. не образует.
4. б) (а,m)=1=(b,m).
— 99 —
Ответыирешения
6. п > 5.
10. a) n0=ng=0, t0=1, tg=28; б) n0=2, t0=ng=tg=5.
12.2п–1 циклов длины 2.
13.а), б) – не является; в) – является.
16.d циклов длины (2п–1)/d, где d=(k,(2п–1)).
21.4.
23.а),б),в),г) – нет.
27.а) (213 – 1)(217 – 1)(219 – 1).
33.239<L<240.
35.б) Х→={0,1,1,0,1,1, …}, m(l)=l2 l 1.
36.а) {0,2,2,2,3,3,3,5}.
39.m2n–r – f(0,…,0).
40.L(Х→) < 31, так как Х→ компенсированная.
Раздел 12
2.nnrmn.
3.(100) при входах (u,(00)), (u,(01)), u V2, и (110) при остальных входах.
4.Сокращённый.
5.а), б) пт; в) п+т.
6.Не следует.
12.а) 2т+1 при т=2п–1; б) 2т+п(2п–1).
13.Мощность всех классов эквивалентности не меньше 2t–1, где t=min(r,m).
14.а) f=xkxk+1; б) f=xk xk+1 xk+2; в) f=(xk xk+1)(xk+2 xk+1).
15.б) y биективна по s1, f=si.
Раздел 13
4. Первый и второй.
6. а) (2п–1)–1/2.
Раздел 14
10. exp{M1,M2} = 3.
— 100 —