D61-ая задача по теормеху
.pdf13 |
|
z |
|
14 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
D |
|
|
|
|
|
A |
К |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
B |
|
a |
a |
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
z |
|
16 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
B |
a |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
B |
a |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
Кα |
|
|
||
a |
|
|
|
α |
D |
||
a |
2a |
|
|
|
A |
||
17 |
|
z |
|
18 |
|
z |
|
|
|
B |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
a |
A |
|
b |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
К |
α |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение рис. 4.1 |
|
|
51
19 |
|
|
20 |
|
z |
|
z |
A |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
45o |
a |
|
|
|
|
|
К |
|
B |
|
|
|
D |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
45o |
|
a |
|
|
a |
|
B |
|
|
|
|
|
R |
a |
a |
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A |
|
D |
21 |
z |
|
22 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
B |
|
A |
b |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
R |
К |
|
b |
|
R |
|
|
|
|
|
|
К |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A |
D |
|
|
|
|
23 |
z |
|
24 |
|
z |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
B |
|
|
|
b |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
b |
|
|
|
|
A |
|
|
|
К |
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
A |
a |
|
|
|
|
Продолжение рис. 4.1 |
|
|
52
25 |
|
z |
26 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
A |
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
B |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A К |
|
B |
|
|
|
|
|
27 |
z |
|
28 |
|
z |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
D |
|
|
B |
b/2 |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
a |
B |
|
К |
|
b |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
b/2 |
D |
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
29 |
z |
|
30 |
|
z |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
90o |
|
D |
b |
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
К |
|
|
b |
|
|
|
К |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
D |
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание рис.4.1 |
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.2 |
|
Осевые моменты инерции однородных пластинок |
|||||
|
Форма пластинки |
|
J x |
J y |
J z |
|
|
z |
R |
|
|
|
|
|
O |
|
mR 2 |
mR 2 |
mR2 |
|
|
|
y |
2 |
4 |
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
z |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
m(R 2 + r 2 ) m(R 2 + r 2 ) m(R 2 + r 2 ) |
|||
|
|
y |
2 |
4 |
4 |
|
|
O |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
O |
b |
y |
2 + b2 ) |
mb2 |
ma2 |
|
|
|||||
|
b |
m(a |
||||
x |
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
||||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
z |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
ma2 |
|
|
O |
|
ma2 |
0 |
||
x |
|
|
3 |
3 |
||
a |
a |
|
|
|||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
m(3a2 + b2 ) |
mb2 |
ma2 |
|
|
|
|
b |
18 |
18 |
6 |
|
|
|
|
|||
|
O |
|
y |
|
|
|
x |
|
b/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
4.3. Пример выполнения задания
4.3.1. Условие примера
Тело D, имеющее форму прямоугольной пластины, показанной на рис. 4.2, массой m1=20 кг вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью ω0 =2 с-1. При этом в точке
M желоба AB тела D на расстоянии AM= πR от точки A,
3
отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка K массой m2 =8 кг. В момент времени t = 0 на систему начинает
действовать пара |
сил с |
моментом |
M z = 30t 2 |
Нм. При t=t1=4 с |
||||
действие пары сил прекращается; одновременно точка K начинает |
||||||||
относительное |
|
движение по |
желобу |
согласно закону |
||||
MK = S = S ( t − t |
|
) = |
2πR |
( t − t |
|
) 2 м. |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Определить угловые скорости тела D соответственно в |
||||||||
моменты времени t = t1 и |
t=t2=5 с, если R=0,6 м, a=1,2 м; b=0,9 м |
z
H
|
MZ |
|
|
|
|
D |
R |
|
B |
b |
|
O1 |
O |
||||
|
|
|
|||
|
A |
|
M |
b |
|
|
|
|
|
||
a |
ω0 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
x
Рис. 4.2
55
4.3.2. Решение примера Запишем равенство, выражающее теорему об изменении
кинетического момента механической системы относительно оси z
dK z |
= M e |
, |
(4.1) |
|
|||
dt |
z |
|
|
|
|
|
где K z - кинетический момент механической системы, состоящей
в данном случае из кинетического момента тела D и кинетического момента точки К, относительно оси z;
M e |
= ∑ M e |
- главный момент внешних сил, приложенных к |
z |
iz |
|
системе, относительно оси z.
Рассмотрим движение системы в отрезке времени [0;t1].
В произвольный момент времени на систему действуют
внешние силы m1 g , m2 g , X E , YE , Z E , X H , YH , M z (рис. 4.3), главный момент которых относительно оси z равен вращающему моменту M z , то есть
|
|
|
|
|
|
M e = M |
z |
|
= 30t 2 . |
|
|
(4.2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
`YH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
`XH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R |
O |
B |
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||
|
O1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
60o |
M |
|
m |
2V b |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
m |
2 g |
|
|
|
|
|
||
`ZE |
|
|
|
|
`YE |
|
m1 g |
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
`XE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
Рис. 4.3
56
Кинетический момент данной системы равен сумме
K z = KDz + KTz ,
где K Dz K Tz - кинетические моменты тела D и точки K
относительно оси z.
Тело D вращается относительно неподвижной оси, поэтому
K Dz = J zz ω .
Здесь ω - угловая скорость тела, а |
J zz - его момент инерции |
относительно оси z. |
относительно оси z ′, |
Момент инерции J ′ ′ тела |
|
z z |
|
параллельной оси z и проходящей через центр масс О тела, определяется по формуле (табл. 4.2)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ = |
m |
1 |
( a 2 |
+ b 2 ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
J ′ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме Штейнера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
zz |
= J |
z′z′ |
+ m ×O |
O 2 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
K |
|
|
|
= m ( |
a 2 + b 2 |
+ O O 2 |
)ω . |
|
|||||||||
|
|
|
Dz |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кинетический момент материальной точки K, закрепленной в |
||||||||||||||||||||
точке М желоба |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
KTz |
= momz (m2V ) = m2V × O1M . |
|
|||||||||||||||
Скорость точки К |
|
|
|
V = ω × O1 M . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Очевидно, что V ^ O1M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Согласно |
условию |
|
задачи |
длина |
дуги окружности |
|||||||||||||||
È AM = |
πR |
, |
тогда |
|
|
центральный |
угол |
AOM = È AM = π . |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
3 |
|
Следовательно, |
в |
|
|
равнобедренном треугольнике |
ОМО1 |
|||||||||||||||
ÐO OM =150o и O M = 2 × O O sin 75o . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
K |
Tz |
= 4m |
2 |
×ω × O O 2 sin 2 75o . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Окончательное выражение кинетического момента системы относительно оси z следующее
57
|
|
|
|
a 2 |
+ b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
K |
z |
= m |
|
|
|
|
|
|
+ O O 2 |
+ 4m |
2 |
× O O 2 sin 2 75o ω = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3) |
|||
|
|
|
|
2 |
+ 0,9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
» 33,0ω. |
|
|||||||
= 20 |
|
|
|
|
|
|
|
+ 0,6 |
|
|
+ |
4 ×8 × 0,6 |
|
× 0,966 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражения (4.2) и (4.3) в равенство (4.1), имеем
33,0 dω = 30t 2 , dt
откуда
dω = 0,909t 2 . dt
Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем левую и правую части уравнения:
|
|
ω1 |
t1 |
|
|
||
|
|
∫ dω = ∫ 0,909t 2 dt . |
|
|
|||
|
|
ω0 |
0 |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
ω = ω |
0 |
+ 0,909 |
t13 |
= 2 + 0,909 |
43 |
» 21,4 с-1. |
|
|
|
||||||
1 |
3 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
В момент времени t1 из выражения (4.3) имеем |
|||||||
K z (t1 ) = 33,0ω1 = 33,0 × 21,4 » 706 Нмс. |
|||||||
Рассмотрим |
теперь движение системы |
в отрезке времени |
|||||
[t1 ; t 2 ]. |
|
|
|
|
|
|
|
После прекращения действия момента M z |
на тело D, главный |
||||||
момент внешних сил относительно оси z M e |
= 0 (см. рис. 4.4). |
z
Тогда равенство (4.1) примет вид
dK z = 0 , dt
то есть K z = const .
Это означает, что кинетические моменты системы относительно оси в начале t1 и в конце t2 отрезка времени [t1; t2] равны
K z ( t1 ) = K z ( t 2 ) .
58
|
|
z |
|||
|
|
|
|
|
`YE |
|
H |
|
|
|
|
|
|
||||
`XD |
|
|
|
m2Ve |
|
|
|
|
|
m2Vr `Vr Ve
K≡B
O1
A O
|
ω2 |
R |
M |
|
`ZE |
m1 g |
R |
|
|
||
|
|
`Y |
m2 g |
`X |
E |
|
|
|
y |
||
|
|
|
x
Рис. 4.4
Вмомент времени t2 тело D вращается с угловой скоростью
ω2 (см. рис. 4.4). При этом точка К, совершая сложное движение,
оказывается в точке В желоба. Действительно, центральный угол
|
|
|
|
2π |
|
|
- t ) 2 |
|
|
2π |
- 4 ) 2 |
|
|
|
||
ÐBOM = È MK = |
|
R ( t |
|
|
|
|
R ( 5 |
= 2π . |
||||||||
3 |
|
= 3 |
||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
R |
3 |
|
|||||
Кинетический момент системыK z |
( t 2 ) относительно оси в |
конце t2 отрезка времени [t1; t2] также равен сумме кинетических
моментов тела K Dz ( t 2 ) |
и точки K Tz ( t 2 ) : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
K z ( t 2 ) = K Dz ( t 2 ) + K Tz ( t 2 ) . |
|
|
|
|
|||||||||||
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 + b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
( t |
|
) = J |
|
ω |
|
= m |
|
|
|
|
+ O O 2 |
|
ω |
|
= |
|||
Dz |
2 |
zz |
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2 2 |
+ 0 ,9 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 0, 6 2 |
ω = 22, 2ω . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме о сложении скоростей:
Va = Vr + Ve ,
где Va , Vr , Ve - абсолютная, относительная и переносная скорости
точки.
Умножая обе части этого равенства на m2, получаем:
m2Va = m2Vr + m2Ve .
Следовательно, кинетический момент точки К в конце отрезка времени t2 равен сумме моментов векторов m2Vr и m2Ve
относительно оси z
KTz (t2 ) = momz (m2Va ) = momz (m2Vr ) + momz (m2Ve ) =
= m2Vr × R + m2Ve × O1B.
Относительная скорость точки К
& |
|
4πR |
(t - t1 ). |
Vr = S |
= |
3 |
|
|
|
|
При t=t2=5 c найдем величину относительной скорости точки
К
Vr = 4 ×π × 0,6 (5 - 4) » 2,51 м/с. 3
Переносная скорость точки К
Ve = ω2 ×O1B .
Из прямоугольного треугольника О1ОВ по теореме Пифагора имеем:
|
|
|
|
O B = O O2 + OB2 = R |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
K |
Tz |
(t |
) = m |
(V × R + O B2 |
×ω |
2 |
)= m |
(V × R + 2 × R2 |
×ω |
2 |
)= |
|||
|
2 |
2 |
r |
1 |
|
2 |
r |
|
|
|||||
= 8(2,51× 0,6 + 2 × 0,62 ×ω2 ) |
» 12 + 5,76ω2. |
|
|
|
Тогда
Kz (t2 ) = 22,2ω2 +12 + 5,76ω2 » 12 + 28ω2.
Приравнивая Kz (t1) и Kz (t2 ) :
706 = 12 + 28ω2 ,
находим
ω2 » 24,8 с-1.
60