D61-ая задача по теормеху

19

20

D

D

RD

A

O1 RD

O1

M

`F

α

α

B

M

A

B

rB

C

α

C

rB

90 о-α

RB

RB

`F

21

22

A

O1 RD

B

α

B

M

M

`F

rB

A

C

`F

rB

C

RD

α

RB

O1

α

RB

α

α

23

24

D

RD

A

RB

D

O1

M

O1

RD

M B

α

B

C

α

C rB

A

RB

`F

`F

α

Продолжение рис. 5.1

25

D

26

D

RD

O1

M

O

M B

`F

rB

C

C rB

A

B

α

A

RB

α

RB

`F

27

28

D

RD

RD

B

O1

O1

M

B

A

A

rB C

`F

RB

`F

α

R

β

B

O

α

α

α

29

30

A

α

D

RD

B

M

O1

`F

M

rB

C RB

α

C

O1 RD

A

RB

α

α

`F

B

Окончание рис. 5.1

R

B

= 0,8 м,

r = 0,5 м, ρ

B

= 0,6 м, r = 0,2 м, α = 30о

, β = 60о

,

B

C

f

= 0,1, k = 0,04 м, S A = 2 м,

g = 9,8 м/с2.

Определить скорость VA

и ускорение a A тела А.

α

`F

α

β

Рис. 5.2

энергии механической системы, имеет вид

T − T = Ai + Ae

,

(5.1)

0

С `NС

`NB

`VA

ωC

ϕB

E

MO

A `NA

`VE

SO

B

mC g

SA

O

`V

MK

o

`FТР

`F

CV

m

max

α

ωB

A

g

`F

β

m B g

α

Рис. 5.3

твердые и трос не растягивается, то

Ai = 0 .

Таким образом, равенство (5.1) запишется

T = Ae .

(5.2)

T

=

1

m V 2

(5.3)

А

2

А

А

Шкив С вращается с угловой скоростью ωС , следовательно,

T

=

1

J

ω 2

(5.4)

С

2

О1

С

Момент инерции J О1 шкива С относительно оси, проходящей

через точку О1, определяется по формуле:

J

О1

=

1

m

r 2

(5.5)

2

С

C

Угловая скорость ωС шкива С равна

ω

С

=

VA

.

(5.6)

rC

Подставляя выражения

(5.5)

и (5.6) в равенство

(5.4),

получаем:

T

=

1

m V 2 .

(5.7)

C

4

С

A

Кинетическую энергию колеса В, совершающего плоское

движение, находим по формуле:

T

=

1

m

V 2

+

1

J

ω 2 .

(5.8)

B

2

B O

2

O

B

ωB =

VE

.

ECV

VE = VA , а

Но для нормальной

работы

системы скорости

ECV = RB + rB , тогда

ωB =

VА

.

(5.9)

RB + rB

Скорость центра О колеса В равна

VO = ωB × OCV

=

VA

× rB .

(5.10)

RB

+ rB

Момент инерции колеса В равен

J O = mB ρ B2 .

(5.11)

После подстановки выражений (5.9) и (5.10) в формулу (5.8),

получаем:

(r

+ ρ 2 ).

T

=

mBVA2

2

(5.12)

B

2(R

)2

+ r

B

B

B

B

2

1

2

2

T =

VA

m

+

m

+ m

rB

+ ρ B

.

(5.13)

B (R

+ r )2

2

A

2

C

B

B

Fmax = f × N A .

(5.14)

Здесь N A -

нормальная

реакция

плоскости

находится

по

формуле

N A = mA g cos β .

(5.15)

Суммарная

работа

внешних

сил

действующих

на

рассматриваемую механическую систему равна

Ae = A + A + A

+ A + A + A + A +

mAg

NA

F max

mcg

Nc

mBg

F

+ AMо + AMk + ANB + AтрВ.

(5.16)

R

тела А:

Работа силы тяжести mA g

AmAg = -mA g × S A ×sin β .

(5.17)

Работа максимальной силы трения скольжения Fmax тела А:

AF max = -Fmax × S A .

С учетом равенств (5.14) и (5.15), последнее выражение

примет вид

AF max = - fm A g cos β × S A .

(5.18)

Работа нормальной реакции N A :

так как N A S A .

ANA = 0 ,

(5.19)

R

Точки приложения сил mC g и NC не перемещаются, поэтому

Amcg = ANc = 0.

(5.20)

R

Работа силы тяжести mB g колеса В:

AmBg = mB g × SO × sin a .

(5.21)

Работа постоянной силы F :

AF = F × SO × cosα .

(5.22)

Работа постоянного моментаM O :

AMo = M O ×ϕB .

(5.23)

Работа нормальной реакции N B наклонной плоскости:

ANB = 0 ,

(5.24)

центре скоростей колеса В, поэтому:

AтрВ = 0 .

(5.25)

Работа максимально момента трения качении M K :

AMk = -M K ×ϕB .

(5.26)

Величина максимального момента трения качения дается

формулой

M K = kN B = k(mB g cosα + F sin α ) .

(5.27)

ωB × dt =

VA × dt

VO × dt =

VA

× dt

× rB .

,

RB

+ rB

RB + rB

Или

dϕB =

dS A

,

dSO

=

dS A

× rB .

RB + rB

RB + rB

Интегрируя обе части последних двух уравнений, получаем

ϕB =

S A

,

SO =

S A

× rB .

(5.28)

RB + rB

RB + rB

Ae =

1

[r (F cosα + m

g sin α )+ M

- k(m

g cosα + F sin α )]

-

B

O

B

RB + rb

B

- mA g(sin β + f cos β ) S A.

(5.29)

2

1

2

2

VA

m

+

m + m

rB

+ ρB

=

+ r )2

2

A

2

C

B (R

B

B

rB (F cosα + mB g sin α ) + M O - k(mB g cosα + F sin α )

=

(5.30)

RB + rB

- mA g(sin β + f cos

β ) S A .

Отсюда

VA

= 2S A

rB (F cosα + mB g sin α ) + M O - k (mB g cosα + F sin α )

-

RB + rB

−0,5

0,5

1

2

2

- m

g(sin β + f cos β )

× m

+

m

+ m

rB

+ ρB

.

A

A

B

(R

+ r )2

2

C

B

B

2VA

dVA

1

2

2

m

+

m + m

rB

+ ρB

=

+ r )2

2 dt

A

2

C

B (R

B

B

1

=

[r

(F cosα + m

g sin α ) + M

- k(m

g cosα + F sin α )] _

B

O

B

RB + rB

B

- mA g(sin β + f cos

β )

dS A

.

dt

dS A = VA и aA = dVA ,

dt

dt

aA =

rB (F cosα + mB g sin α ) + M O - k (mB g cosα + F sin α )

-

RB + rB

1

2

2

−1

(5.30)

- m

g(sin β + f cos β )

× m

+

m + m

rB

+ ρB

.

A

A

B

2

C

(R

+ r )2

B

B

0,5(60 × 0,866 + 20 ×9,8 × 0,5) + 80 - 0,04(20 ×9,8 × 0,866 + 60 × 0,5)

VA = 2

× 2

-

0,8 +

0,5

0,5

1

0,5

2

+ 0,6

2

−0,5

-10

×9,8(0,866

+ 0,1×

0,5)

× 10

+

8

+ 20

» 2,36 м/c,

(0,8 + 0,5)2

2

0,5(60 × 0,866 + 20 ×9,8 × 0,5) + 80 - 0,04(20 ×9,8 × 0,866 + 60 × 0,5)

aA =

-

0,8 + 0,5

1

0,5

2

+ 0,6

2

−1

-10 ×9,8(0,866

+ 0,1× 0,5)

× 10

+

8 + 20

»1,4 м/с2.

(0,8 + 0,5)2

2

В и блока D соответственно равны RB = 0,8 м, rB = 0,5 м,

RD = 0,2

м. Радиус инерции

колеса В: ρB = 0,65 м. Углы α и

β имеют

значения: α = 30O ,

β = 60O . Коэффициент трения качения колеса В