Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремленииксправа, это отношение можно записать как, где— O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем из отрезкаи применим теорему Коши ко всемиз отрезка:

, что можно привести к следующему виду:

.

Для , достаточно близких к, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так каки— константы, аистремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен, где— бесконечно малая ф-ия при стремленииксправа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение, что и в определении для:

.

Получили, что отношение функций представимо в виде , и. По любому данномуможно найти такое, чтобы модуль разности отношения функций ибыл меньше, значит, предел отношения функций действительно равен.

Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении будем брать; первый множитель правой части будет больше 1/2 при, достаточно близких к, а тогда.

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

24.ф.тей.для.многчл. 26.1. Формула Тейлора для мн-чла

Пусть ф-ия ƒ(х) есть мн-чл Р_n(х) степени n:

ƒ(х)=Р_n(х)=а₀+а₁х+а₂х²+...+а_nхⁿ.

Преобразуем этот мн-чл также в мн-чл степени n относительно разности х-х₀, где х₀ — произвольное число, т. е. представим Р_n(х) в виде

Р_n(х)=А₀+A₁(x-х₀)+А₂(х-х₀)²+...+А_n(х-х₀)ⁿ        (26.1)

Для нахождения коэффициентов А₀, А₁ ,..., А_n продифференцируем n раз равенство (26.1):

Р'_n(х)=А₁+2А₂(х-x₀)+3A₃(x-x₀)²+...+nA_n(x-x₀)^n-1,

Р_n''(х)=2А₂+2•3А₃(х-х₀)+...+n(n-1)А_n(х-х₀)^n-2,        

Р_n"'(х)=2•3А₃+2•3•4А₄(х-х₀)+...+n(n-1)(n-2)А_n(х-х₀)^n-3,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Р_n⁽ⁿ⁾(х)=n(n-1)( n-2)...2•1А_n

Подставляя х=х₀ в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Подставляя найденные значения A₀,A₁,...,An в равенство (26.1), получим разложение мн-чла n-й степени Р_n(х) по степеням (х-х0):

25.ф.тейл.д.ф-ииФормула Тейлора показывает поведение ф-ии в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора ф-ии часто используется при доказательстве теорем в дифф-альном исчислении.

, где R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора.

26.пр.ф.тейл.

Вычислить предел, используя формулу Маклорена .

Представим следующие ф-ии формулой Маклорена , , , , под знаком предела, ограничиваясь при этом членами со степенями не выше, чем . Тогда это выражение можно преобразовать так, чтобы предел легко вычислялся. .

27.пр.монот.ипост.ф-ий

1. Признак постоянства ф-ии.

Если на некотором промежутке пр-ия тождественно равна нулю, то ф-ия на этом промежутке постоянна.

Доказательство. Будем понимать заданную функцию  у = f(x)  как закон движения материальной точки  Р  по оси  у.  Если пр-ия обратилась в нуль, то точка  Р  остановилась. Если пр-ия все время равна нулю, то точка  Р  все время стоит на месте, а тогда ф-ия  у  является постоянной, что и требовалось доказать. Заметим, что верна и обратная Т.: если ф-ия постоянна, то ее пр-ия равна нулю. Производную постоянной ф-ии мы вычислили ранее. Таким образом,  f = const

2. Признак монотонности ф-ии

Промежутки монотонности ф-ии совпадают с промежутками постоянного знака ее производной.

Доказательство. Будем понимать заданную функцию  у = f(x)  как закон движения материальной точки  Р  по оси  у  в зависимости от времени  х.  Пусть на некотором промежутке ф-ия  f  возрастает. На языке механики это означает, что материальная точка  Р  движется по оси  у  в положительном направлении. Так как знак скорости совпадает с направлением движения, то скорость точки, т. е. пр-ия ф-ии положительна. Обратно: если пр-ия, т. е. скорость точки, положительна, то точка движется по оси  у  в положительном направлении, следовательно, ф-ия возрастает. Аналогично рассматривается случай убывания ф-ии.

Замечание. Если точка движется в одном направлении, то ее скорость сохраняет постоянный знак, однако в отдельные моменты времени точка может остановиться (ее скорость обратится в нуль), а затем продолжать двигаться в том же направлении. Ф-ия, описывающая такое движение точки, будет монотонной. Значит, если f(x) возрастает,то f'(x) > 0. Верно и обрат­ное. Однако если  f'(x)  обращается в нуль не в отдельных точках, а на целом промежутке, то на этом промежутке ф-ия будет постоянной. Если включить промежутки постоянства ф-ии в промежутки ее монотонности (как иногда говорят, не требовать строгой монотонности ф-ии), то можно коротко результат исследования записать так:

28.экстр.ф-ийТочка называетсяточкой локального максимума ф-ии , если сущ-ет такая окрестность этой точки, что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство:.

Точка называетсяточкой локального минимума ф-ии , если сущ-ет такая окрестность этой точки, что для всехиз этой окрестности.

Значение ф-ии в точке максимума называется локальным максимумом, значение ф-ии в точке минимума - локальным минимумом данной ф-ии. Локальные максимум и минимум ф-ии называются локальными экстр.ами.

Точка называется точкойстрогого локального максимума ф-ии , если для всехиз окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство.

Точка называется точкойстрогого локального минимума ф-ии , если для всехиз окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство.

Наибольшее или наименьшее значение ф-ии на промежутке называется глобальным экстр.ом.

Глобальный экстр. может достигаться либо в точках локального экстр.а, либо на концах отрезка.