Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:7 КАФ магистратура / БДЗ_ОТО_Епифанов
.pdf
БДЗ по курсу “Современная Космология”
Епифанов А.А., М20-105
1
1 Введение. Специальная теория относительности. Тен-
зоры.
1.1 Используя подход, рассмотренный на лекции (задача о «замедлении хода
часов»), вывести:
1.1.1 Уравнение для сокращения длины стержня, движущегося для наблюдателя;
1.1.2 Уравнение для периода колебания электромагнитной волны в случае продоль-
ного эффекта Доплера (источник светового сигнала приближается и удаляется
от наблюдателя);
1.1.3 Уравнение для аберрации света;
1.1.4 Уравнение, иллюстрирующее эффект увлечения света движущейся средой с
неединичным коэффициентом преломления.
1.2 Показать справедливость калибровочного (градиентного) преобразования 4-х потенциала A
ного поля).
0
= Aµ+ f,µ(неизменность тензора электромагнит-
µ
Fµν= ∂µA
0
− ∂νA
ν
= ∂µAν− ∂νAµ+ f
0
= ∂µ(Aν+ ∂νf) − ∂ν(Aµ+ ∂µf) =
µ
,µ,ν
− f
= ∂µAν− ∂νAµ= F
,ν,µ
µν
1.3 Найти выражения для инвариантов электромагнитного поля, построенных из свёрток тензора электромагнитного поля.
Тензор ЭМ поля имеет вид
Fµν=
0 E
−E
x
−EyB
−Ez−ByB
E
x
y
0 −BzB
0 −B
z
x
1.3.1 Свертка ковариантного и контравариантного тензоров.
FµνFµν= 2F01F01+ F02F02+ F03F
= −2E
~
= 2
B2−~E
2
x
+ E
2
y
2
+ E
2
z
E
z
y
x
0
+ 2B
0 −Ex−Ey−E
, Fµν=
E
EyB
0 −BzB
x
z
Ez−ByB
03
+ 2F23F23+ F13F13+ F21F
2
2
+ B
x
y
+ B
2
=
z
0 −B
0
x
z
y
x
21
=
(1.1)
1.3.2 Свертка дуально сопряжённого ковариантного и контравариантного тензоров.
FηζF
=
µν
FηζFµν, где значения индексов полагаются
µνηζ
Введем обозначение слагаемого свертки S
µνηζ
µνηζ
фиксированными. Выделим несколько особенностей этой свертки.
2
Четные перестановки типа S
0123
и S
идентичны и равны двойному вкладу одной из них.
2301
Нечетные перестановки первой или второй пары индексов не меняют знак свертки и дают четверократный вклад (
невозможны произведения величин из одного столбца или строки (
0123
= −
, но F01= −F10). Квадраты величин невозможны (
1023
0121
= 0). Также
0101
= 0). Любые другие
перестановки выражаются через преобразования, перечисленные выше.
Для упрощения вычисления воспользуемся свойством нечетных перестановок первой или второй пары, а также учтем невозможность некоторых комбинаций. Зафиксируем первую пару индексов. Будем также игнорировать порядок индексов в каждой паре. Тогда сумму всех таких
перестановок можно будет записать как
S = 2 · [S01+ S02+ S03+ S12+ S13+ S23] ,
где выражение в скобках умножается на 2 за счет равенства перестановок первой пары индексов
(S
0123
и S
). Каждый из членов, входящих в эту сумму, состоит только из пары слагаемых -
1023
нечетных перестановок второй пары индексов, которые равны между собой.
S01= S
0123
+ S
0132
= 2 ·S
0123
Рассматриваемую сумму можно записать в виде
S = 4 · [S
0123
+ S
0213
+ S
0312
+ S
1203
+ S
1302
+ S
2301
]
Как можно заметить, последние три члена здесь являются перестановками пар индексов первых
трех. Учитывая, что такие перестановки равны между собой, запишем
S = 8 · [S
0123
+ S
0213
+ S
0312
]
Подставим значения элементов тензора ЭМ поля
FηζFµν= 8 ·
µνηζ
F01F23+
0123
F02F13+
0213
0312
F03F
12
=
= 8 ·[(1)(−Ex)(−Bx) + (−1)(−Ey)(By) + (1)(−Ez)(−Bz)] =
= 8 ·[ExBx+ EyBy+ EzBz] = 8 ·
~E,~
B
1.4 Вывести преобразования Лоренца для электрического и магнитного век-
торов, используя известные преобразования Лоренца для координат и
определение тензора в отношении тензора электромагнитного поля.
Преобразования Лоренца между системами отсчета K и K0, движущимися относительно друг
друга со скоростью β, в координатном виде можно представить как
t0= γ(t − βx)
x0= γ(x − βt)
y0= y
z0= z
(1.2)
Согласно определению, тензор ЭМ поля Fµνбудет преобразовываться по закону
0
0
µ
∂x
0
µ0ν
F
=
∂x
ν
∂x
µ
∂x
µν
F
ν
Дифференцируя по координатам систему 1.2, можем получить тензор преобразования
в матричном виде
γ −γβ 0 0
0
µ
Λ
µ
−γβ γ 0 0
=
0 0 1 0
0 0 0 1
3
∂x
∂x
0
µ
µ
= Λ
0
µ
µ
(1.3)
0
Тензор Λ
µ
в данном случае является частным случаем Лоренцевского буста и по своему постро-
µ
ению может использоваться для Лоренц-преобразования произвольных тензорных величин. Из
общей формы преобразования
0 −Ex−Ey−E
0
0
µ0ν
F
= Λ
0
µ
ν
Λ
Fµν, Fµν=
µ
ν
E
EyB
0 −BzB
x
z
Ez−ByB
0 −B
x
z
y
x
0
можем получить компоненты ЭМ поля. При этом для простоты вычисления полезно учитывать,
что тензор Λ
0
µ
симметричен, и ненулевыми являются только компоненты с парами индексов [0,0],
µ
[0,1], [1,0], [1,1], [2,2], [3,3].
E
E
E
B
B
B
0
x
0
y
0
z
0
x
0
y
0
z
= F
= F
= F
= F
= F
= F
100
200
300
302
103
201
0
0
0
0
0
= Λ
= Λ
= Λ
= Λ
= Λ
= Λ
1
Λ
µ
0
2
Λ
µ
0
3
Λ
µ
0
3
Λ
µ
0
1
Λ
µ
0
2
Λ
µ
0
0
Fµν= Λ
ν
0
0
Fµν= Λ
ν
0
0
Fµν= Λ
ν
0
2
Fµν= Λ
ν
0
3
Fµν= Λ
ν
0
1
Fµν= Λ
ν
0
1
0
Λ
1
0
0
2
0
Λ
2
0
0
3
0
Λ
3
0
0
3
2
Λ
3
2
0
1
3
Λ
1
3
0
2
1
Λ
2
1
0
F10+ Λ
0
F20+ Λ
0
F30+ Λ
0
F32= Bx,
0
F13+ Λ
0
F21+ Λ
0
0
1
0
Λ
F01= γ2Ex− γ2β2Ex= γ2(1 −β2)Ex= Ex,
0
1
0
0
2
0
Λ
F21= γEy− γβBz,
2
1
0
0
3
0
Λ
F31= γEz+ γβBy,
3
1
0
0
1
3
Λ
F03= γBy+ γβEz,
0
3
0
0
2
1
Λ
F20= γBz− γβE
2
0
y
0
0
1.5 Провести вариационный вывод динамических уравнений Максвелла.
Рассмотрим плотность Лагранжиана заряженной частицы в поле
L = Lf− Aµjµ−
где Lf- плотность лагранжиана свободной частицы, второе слагаемое определяет взаимодействие
заряженной частицы с полем, а третье – само поле в отсутствии зарядов.
Варьируя действие S =RL d4x по Aµполучим
Z
−δS =
−δLf+ jµδAµ+
1
FµνFµν,
8π
1
8π
δFµνF
µν
d4x
Учтем, чтоRδLfd4x = 0 при вариации по полю Aµ, а Fµν= ∂µAν− ∂νAµ. Тогда
−δS =
Z
jµδAµ+
1
(Fµν∂µδAν− Fµν∂νδAµ)d4x
8π
Во втором слагаемом производим замену немых индексов µ ←→ ν и, учитывая, что Fνµ= −Fµν,
получим
Z
−δS =
jµδAµ−
при этом слагаемое
1
Fµν∂νδA
4π
1
4π
µ
d4x =
Z
jµδAµ−
Z
∂ν(FµνδAµ) d4x = FµνδAµ|
1
∂ν(FµνδAµ) +
4π
+∞
t
1
t
0
−∞
1
∂νFµνδA
4π
d4x
µ
оказывается равно нулю - координатная часть зануляется вместе с полем на бесконечности, а
определенность потенциала Aµв начальный и конечный моменты времени дает δAµ|
0. Имеем
−δS =
Z
jµ+
4π
1
∂νF
µν
δAµd4x = 0
= δAµ|
t
0
=
t
1
4
Ввиду произвольности выбора δAµполучаем
∂νFµν= −4πj
µ
Это и есть динамические уравнения Максвелла. Их можно переписать в виде
∇~E = 4πρ
∇ ×~B =
∂~E
∂t
+ 4π~j
где jµ= (ρ,~j).
1.6 Провести доказательства:
1.6.1 Всех рассмотренных на лекции действий с тензорами на примере смешанного
тензора 2-го ранга;
Смешанный тензор 2-го ранга преобразуется по закону
0i
0i
A
=
k
Сложение смешанных тензоров 2-го ранга
0i
m
∂x
∂x
A
0k
l
∂x
l
±
m
∂x
A
0i
k
± B
∂x
0i
=
k
∂x
∂x
∂x
m
∂x
l
∂x
0i
∂x
l
∂x
l
A
m
0k
m
l
B
m
0k
=
∂x
∂x
0i
l
∂x
∂x
m
l
A
m
0k
± B
l
m
преобразуется как смешанный тензор 2-го ранга и тоже является тензором.
Свертка смешанного тензора 2-го ранга
0i
m
∂x
l
∂x
l
m
A
= δ
m
0i
l
A
m
l
= A
l
= inv
l
A
∂x
0i
=
i
∂x
приводит к скалярной величине, инвариантной относительно преобразования координат.
Умножение двух смешанных тензоров 2-го ранга
0i
A
= C
ks
0ij
=
∂x
0i
0j
B
s
k
∂x
m
∂x
∂x
A
0k
l
0j
∂x
l
m
∂x
n
∂x
q
∂x
q
B
n
0s
=
∂x
∂x
0i
m
0j
∂x
∂x
l
0k
∂x
∂x
n
∂x
q
∂x
lq
C
mn
0s
преобразуется как смешанный тензор 4-го ранга.
1.6.2 Того, что внутреннее произведение двух тензоров первого ранга – это скаляр-
ное произведение векторов и инвариант.
AiBi=
N
X
AiBi= A1B1+ A2B2+ A3B3+ .. . =
i=1
~A,~
B= inv,
где N – размерность пространства.
5
2 Начала классической теории гравитации
2.1 [Задача]
2.1.1 Пусть на плоскости в декартовых координатах коэффициенты связности равны
нулю. Показать, что при этом в полярных координатах существуют отличные
от нуля коэффициенты связности.
Закон преобразования связности записывается в виде
0
i
∂x
0
i
Γ
=
kj
∂x
l
∂x
∂2x
0
j
∂x
l
0
k
+
∂x
∂x
0
i
p
∂x
l
∂x
m
∂x
l
0
Γ
0
∂x
pm
j
k
При этом, по условию задачи, полагаем, что нештрихованные координаты декартовы (следовательно Γ
через друга как
l
= 0), а штрихованные – полярные. Эти координатные системы выражаются друг
pm
(
xi= {x, y} = {ρ cosϕ, ρsin ϕ}
0
x
При таких преобразованиях, член
i
= {ρ, ϕ} = {px2+ y2, arctan
0
∂x
∂x
i
l
∂x
∂2x
0
j
∂x
l
0
k
y
}
x
все еще оказывается неисчезающим. Значения коэффициентов связности в полярной системе координат можно вычислить напрямую взятием производных (не очень весело). В итоге, коэффициенты связности будут равны
0
1
Γ
=
kj
0 0
0 −ρ
, Γ
0
kj
2
=
0 1/ρ
1/ρ 0
2.1.2 Показать, что ковариантная производная от символа Кронекера равна нулю.
Вычислим форму ковариантной производной смешанного тензора 2 ранга
∇j(AiBk) =∇jA
i
= A
Bk+ B
,j
i
Bk+ (∇jBk) Ai=A
Ai+ Γ
k,j
i
AlBk− Γ
lj
i
i
+ Γ
,j
l
kj
A
lj
BlAi=AiB
l
Bk+B
− Γ
k,j
k
,j
+ Γ
i
lj
l
B
Ai=
l
kj
AlBk− Γ
l
kj
BlA
i
Для символа Кронекера, эта производная записывается как
i
Учтем, что δ
∇jδ
i
= 0 (простая производная по координатам), а также свернем индексы в последних
k,j
i
= δ
k
k,j
+ Γ
i
l
l
kj
i
δ
l
δ
− Γ
lj
k
слагаемых
i
i
∇jδ
k
= Γ
kj
− Γ
i
kj
= 0
Альтернативно это свойство можно доказать, воспользовавшись определением символа Кронекера в виде свертки метрических тензоров, и учитывая, что ∇jgmk= ∇jgim= 0
i
∇jδ
= ∇jgimgmk= gim∇jgmk= 0
k
6
2.2 [Задача]
2.2.1 Определить производную Ли от контравариантного тензорного поля второго
ранга.
Выберем две бесконечно близкие точки P и P0, а также вектор направления ξjот P0к P .
Аналогично тензору первого ранга, для тензора второго ранга выполняется
ik
∂T
Tik(P ) − Tik(P0) = ξ
Выберем штрихованную систему координат связанную с точкой P
0
i
x
= xi+ ξ
0
∂x
∂x
i
j
=
∂x
∂x
i
∂ξ
+
j
∂x
И запишем преобразование тензора второго ранга при переходе между системами координат
i
k
∂ξ
T
0
ik
(P ) =
=δ
= Tik(P ) + Til(P )
∂x
∂ξ
j
l
∂x
i
k
δ
+ δ
j
l
Tjl(P ) =δ
k
∂ξ
i
j
∂x
l
+ δ
∂ξ
∂x
k
l
k
l
i
+
j
i
∂ξ
j
∂x
+ Tjk(P )
j
j
∂x
i
i
i
= δ
j
j
i
∂ξ
j
∂x
∂ξ
+
∂x
+
i
∂ξ
j
∂x
∂ξ
∂x
i
∂ξ
j
∂x
k
δ
+
l
k
Tjl(P ) =
l
i
+ Tjl(P )
j
∂ξ
∂x
k
Tjl(P ) =
l
∂ξ
∂x
i
k
∂ξ
j
l
∂x
(2.1)
Производная Ли определяется как
0
L
Tik= T
~
ξ
ik
(P ) − Tik(P0) =
= Tik(P ) − Tik(P0) + Til(P )
∂ξ
∂x
k
l
+ Tjk(P )
∂ξ
∂x
i
j
+ Tjl(P )
∂ξ
∂x
i
k
∂ξ
j
l
∂x
Первые два слагаемых можно заменить в соответствии с 2.1
L
~
ξ
Tik= ξ
ik
∂T
j
∂x
+ T
j
k
∂ξ
il
+ T
l
∂x
jk
∂ξ
∂x
i
j
+ T
i
k
∂ξ
∂ξ
jl
j
∂x
l
∂x
2.2.2 Рассмотреть коммутатор от двух производных по направлению, действующий
на скалярную функцию, и вывести производную Ли от ковариантного вектора.
[∇~u, ∇~v] ϕ = ∇~u∇~vϕ −∇~v∇~uϕ =
= ui∇
i
= u
=hu
=hu
vj∇jϕ− vi∇
i
j
∇iv
i
∂v
i
∂x
∇jϕ+ uivj∇i∇jϕ
j
∇iv
− v
j
∂u
i
− v
i
∂x
i
∇iu
i
j
i
∂ϕ
∂x
i
j
j
uj∇jϕ=
i←→j
i
∇jϕ =hu
−v
∇iu
j
i
j
∇jϕ− viuj∇i∇jϕ =
+ Γ
j
vkui−v
ki
i
∂u
∂x
j
i
− Γ
j
ki
ukv
i
∂ϕ
i
∂x
=
j
i
∂v
i
∂x
Вынося один из векторов за скобки
h
∂
i
u
− δ
i
∂x
i
j
∂u
i
l
δ
j
i
∂x
∂ϕ
j
v
l
∂x
j
=hu
∂
i
− δ
i
∂x
i
j
∂u
l
j
∂x
∂ϕ
j
v
∂x
j
l
7
Здесь положим, что вектора (u, v) являются векторами направлений (ξ, η), для которых выполняется
L~uvj= L~vuj= 0
и обозначая выражение в скобках как L~u, запишем
= L
~
ξ
h
∂
i
ξ
− δ
i
∂x
i
j
∂ξ
i
j
∂x
∂ϕ
j
η
i
∂x
j
=hξ
i
∂x
∂
− δ
i
i
i
∂ξ
j
i
∂x
∂ϕ
j
η
j
∂x
j
∂ϕ
j
η
j
∂x
= L
ηjA
~
ξ
j
= ηjL
A
j
~
ξ
∂x
j
i
∂ϕ
. Тогда производная Ли для этого кова-
j
∂x
j
∂ξ
− A
j
i
∂x
где ковариантное поле Ajпредставимо в виде Aj=
риантного поля
∂A
L
~
ξ
Aj= ξ
i
[НЕТ, ЭТО БРЕД КАКОЙ-ТО]
2.3 Для тензора кривизны и ковариантного тензора кривизны доказать:
Тензор кривизны записывается в виде
i
∂Γ
=
∂x
qk
j
R
i
qjk
А ковариантный тензор кривизны можно получить опусканием индекса
R
2.3.1 Их антисимметрию по перестановке пар индексов.
В общем случае перестановка двух последних индексов тензора кривизны дает
R
i
qkj
=
∂Γ
∂x
i
qj
k
−
∂Γ
∂x
i
qk
i
l
i
+ Γ
Γ
− Γ
qj
lk
j
l
Γ
lj
qk
−
lqjk
∂Γ
∂x
= −
i
qj
+ Γ
k
= gilR
∂Γ
∂x
i
lj
i
qjk
i
qk
j
l
i
Γ
− Γ
qk
∂Γ
−
∂x
l
Γ
qj
lk
i
qj
i
+ Γ
k
l
Γ
− Γ
lj
qk
!
i
l
Γ
qj
lk
= −R
i
qjk
Свойство антисимметричности для ковариантного тензора кривизны получаются автоматически,
опуская индекс с помощью g
il
gilR
R
i
qjk
lqjk
= −gilR
= −R
lqkj
i
qkj
Рассмотрим теперь первую пару индексов. Перейдем в ЛГСК, тогда:
где Γ
mik
R
R
mijk
imjk
, Γ
l
∂x
∂x
ml
mij
k
imj
k
,
∂Γ
∂x
ik
−
j
∂Γ
∂Γ
∂x
∂x
mik
j
imk
j
l
ijk
= g
∂Γ
−
∂Γ
−
= gmlR
=
=
– символы Кристоффеля 1-го рода
imk
1
Γ
=
mik
∂g
2
∂x
km
∂g
mi
+
i
∂x
k
−
∂Γ
∂x
l
ij
∂g
∂x
!
=
k
∂gmlΓ
∂x
l
ik
−
j
ik
, Γ
m
imk
=
1
2
∂gmlΓ
∂x
∂g
∂x
l
ij
k
− Γ
∂g
ml
l
ik
∂x
ЛГСК, Γ→0
∂g
ml
l
+ Γ
ij
j
∂x
=
k
∂g
ki
+
m
∂x
im
∂g
mk
−
∂x
i
k
Для антисимметричного тензора кривизны ожидаем равенство нулю суммы
R
mijk
+ R
imjk
=
=
∂
∂x
∂
∂x
(Γ
+ Γ
mik
j
∂g
im
j
k
∂x
−
∂x
imk
∂
k
∂g
∂x
) −
mi
∂
(Γ
∂x
=
j
2
∂
∂xj∂x
k
+ Γ
mij
k
)
imj
(gim− gmi) = 0
8
2.3.2 Тождество Риччи.
=
R
i
qjk
+ R
∂Γ
∂x
i
qk
i
kqj
−
j
+ R
∂Γ
∂x
i
jkq
!+
i
kq
j
=
=
+
+
+Γ
∂Γ
∂x
∂Γ
∂x
∂Γ
∂x
∂Γ
∂x
i
lj
i
qk
j
i
kj
q
i
jq
k
i
jq
k
l
Γ
qk
−
−
−
−
− Γ
∂Γ
∂x
∂Γ
∂x
∂Γ
∂x
∂Γ
∂x
i
qj
k
i
kq
j
i
jk
q
i
qj
k
i
Γ
lj
i
+ Γ
lj
i
+ Γ
lq
i
+ Γ
lk
!+
+
l
kq
Γ
Γ
Γ
l
qk
l
kj
l
jq
∂Γ
∂x
Γ
− Γ
− Γ
− Γ
i
kj
q
i
lk
−
l
Γ
jq
i
lk
i
lj
i
lq
∂Γ
− Γ
Γ
Γ
Γ
∂x
l
jk
l
kq
!
l
+
qj
!
+
!
=
!
i
jk
+
q
+
i
l
Γ
qj
lk
i
l
Γ
Γ
− Γ
lq
kj
i
l
Γ
lq
jk
Как видно отсюда, тождество Риччи, а именно равенство этого выражения нулю, выполняется
при условии симметричности коэффициентов связности Γ
i
qk
= Γ
i
kq
.
Тождество Риччи для ковариантного тензора кривизны выполняется автоматически при опускании индекса с помощью g
R
i
qjk
gil+ R
i
kqj
il
gil+ R
i
jkq
gil= g
i
R
il
qjk
+ R
i
kqj
+ R
i
jkq
= R
lqjk
+ R
lkqj
+ R
ljkq
= 0
2.4 Вывести уравнение для:
2.4.1 Связи упрощённых символов Кристоффеля и определителя метрического тен-
зора.
Упрощенные символы Кристоффеля задаются как свертка символов Кристоффеля по первым
индексам
i
Γ
ik
= Γk=
1
2
qj
qj
g
k
∂x
(2.2)
∂g
Чтобы найти их связь с определителем метрического тензора g, возьмем производную по координатам от g
∂g
∂g
∂g
qj
i
∂x
qj
∂g
∂x
=
i
Здесь воспользуемся следующим свойством определителя
∂|A|
∂A
= |A| ·A
ij
−1
ji
Тогда получается
∂g
∂x
= g ·(g
i
−1
..
∂g
qj
jq
)
∂x
i
При этом обратная метрика это контравариантная форма метрики, как видно из
(
−1
gikg
gikgkj= δ
= I
ik
j
i
В итоге, учитывая симметричность метрики, производная по координатам от g запишется как
∂g
∂x
= g ·g
i
∂g
qj
qj
i
∂x
Поделив это выражение на g, можно подставить его в 2.2
Γk=
12g∂g
∂x
k
12∂ ln|g|
=
∂x
k
9
2.4.2 Связи ковариантного тензора кривизны с метрическим тензором и символами
Кристоффеля.
Тензор кривизны Римана записывается в виде
i
R
qkj
Опустим индекс в этом выражении
i
где Γ
gimR
i
i
, Γ
qj
– символы Кристоффеля 2-го рода
qk
1
i
Γ
=
qj
2
= R
∂g
∂x
jn
q
mqkj
+
∂g
qkj
in
g
и их производные
i
где Γ
nqj
∂Γ
∂x
∂Γ
∂x
, Γ
– символы Кристоффеля 1-го рода
nqk
nqj
=
1
2
Γ
i
qk
qj
∂g
in
=
k
=
j
∂g
∂x
jn
∂x
∂g
∂x
q
+
in
Γ
k
Γ
j
∂g
=
= g
∂x
nqj
nqk
∂x
nq
nq
−
∂Γ
∂x
g
g
qj
n
in
in
qj
n
∂Γ
∂x
i
qj
k
, Γ
∂xq∂x
∂xq∂x
, Γ
i
qk
j
−
∂2g
∂2g
+ Γ
∂Γ
∂x
i
qk
jn
kn
nqk
i
qk
j
k
j
i
lk
=
!
+
+
=
l
Γ
qj
+ g
1
g
2
∂2g
∂xj∂x
∂2g
∂xk∂x
1
2
− Γ
im
in
nq
nq
∂g
∂x
i
lj
∂g
∂x
k
j
kn
Γ
i
Γ
lk
−
−
q
l
qk
Γ
kn
q
∂xn∂x
∂xn∂x
+
l
qj
+
∂2g
∂2g
∂g
∂x
− Γ
∂g
∂x
qj
qk
nq
k
nq
i
l
Γ
lj
qk
∂g
qk
−
∂x
n
k
k
j
∂g
qk
−
n
∂x
i
∂Γ
qj
k
∂x
im
∂g
−
j
∂x
1
+
2
1
+
2
∂g
−
j
∂x
Опустим индексы производной
i
∂Γ
im
im
∂x
∂Γ
∂x
i
qk
qj
= g
im
k
= g
im
= g
im
j
= g
im
mqkj
g
g
Распишем выражение для R
R
mqkj
=
1
2
jm
∂xq∂x
+
k
∂2g
∂g
∂2g
∂xq∂x
∂x
in
k
jm
Γ
nqj
+
k
+ g
=
im
1
2
∂g
+ g
im
∂x
in
Γ
nqj
k
∂g
in
Γ
k
∂x
∂g
in
Γ
k
∂x
∂g
in
Γ
j
∂x
∂g
in
Γ
j
∂x
:
∂2g
mq
∂xj∂x
∂g
−
∂x
∂2g
qk
∂xm∂x
∂g
−
∂x
nqj
nqj
nqk
nqk
in
j
in
j
−
k
Γ
j
Γ
1
+
2
1
+
2
1
+
2
1
+
2
∂2g
∂xm∂x
nqk
−
∂xm∂x
nqk
δ
δ
∂2g
n
m
∂2g
∂xq∂x
n
m
∂2g
∂xq∂x
qj
k
+ g
im
qj
+ g
im
∂2g
∂xq∂x
jm
k
∂2g
∂xq∂x
km
j
!
−
Γ
−
k
∂xq∂x
Γ
jn
k
+
kn
+
1
2
i
lk
∂2g
i
lk
+
∂2g
∂xj∂x
+
j
∂2g
∂xk∂x
∂2g
∂xq∂x
l
Γ
qj
km
l
Γ
qj
∂2g
∂xj∂x
mq
k
∂2g
∂xk∂x
mq
j
km
i
− Γ
lj
+
j
i
− Γ
lj
nq
−
nq
−
j
Γ
Γ
−
k
∂xm∂x
−
j
∂2g
∂xm∂x
∂2g
+
∂xk∂x
l
qk
l
qk
∂2g
∂xn∂x
∂2g
qj
∂2g
∂xn∂x
qk
mq
=
qj
k
qk
j
j
k
j
−
∂xm∂x
=
=
∂2g
qk
!
+
j
10
Соседние файлы в папке 7 КАФ магистратура