Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:7 КАФ магистратура / БДЗ_ОТО_Епифанов
.pdf
где второе слагаемое можно преобразовать к виду
gimg
=gimg
=gimg
∂g
in
∂x
Γ
k
ln
∂g
l
−
qj
∂x
∂g
in
∂x
Γ
p
ki
Γ
k
gpn+ Γ
ln
h
ln
∂g
l
−
qj
∂x
p
nk
in
in
l
Γ
qk
j
l
Γ
=
qk
j
i
l
g
Γ
ip
qj
−hΓ
p
gpn+ Γ
ji
p
nj
i
l
g
Γ
ip
qk
2.5 Доказать утверждение теоремы Шура для пространства ОТО о посто-
янстве кривизны во всех его точках (используя тождество Бианки, ковариантное постоянство метрического тензора и связь тензора кривизны с
римановой кривизной).
Условие ковариантного постоянства записывается в виде
∇lR
= ∇lK(gijgqk− giqgjk)
iqjk
Его мы использовать сегодня не будем. Произведем свертку элементов тождества Бианки
qk
ij
∇lR
0 = gqkg
= g
= ∇lR −∇kR
∇lR
j
qjk
+ ∇kR
iqjk
− ∇kR
k
− ∇jR
l
+ ∇jR
iqlj
j
+ ∇jR
qjl
kj
= ∇lR −∇kR
kl
j
·qkl
iqkl
= g
=
qk
∇lRqk− ∇kRql− ∇jR
k
− ∇jR
l
j
= ∇lR −2∇kR
l
·j
q·kl
k
l
=
= 0
Отсюда получим, что
∇lR = 2∇kR
k
l
(2.3)
Будем использовать результаты, полученные в следующей задаче. Выражение справа под ковариантной производной равно
k
R
= gmkRlm= gmk(3Kglm) = 3Kδ
l
k
l
Тогда
∇kR
k
l
k
= 3δ
∇kK = 3 ∇lK
l
И учитывая, что R = 12K, выражение 2.3 примет вид:
12 ∇lK = 6 ∇lK
Отсюда получим, что
∇lK = 0
2.6 Получить выражения, связывающие тензор Риччи и скалярную кривиз-
ну с римановой кривизной.
Воспользуемся связью ковариантного тензора кривизны R
R
= K(gilgkm− gikglm)
iklm
Чтобы свернуть пару индексов тензор R
R
iklm
gil= R
l
= Rkm= K(gilgkmgil− gikglmgil) =
klm
в тензор Риччи, домножим выражение на g
iklm
km
l
− glmδ
l
= K(gkmδ
= 3Kg
11
l
) = K(4gkm− gkm) =
k
с кривизной Римана K
iklm
il
Далее, умножая на gkm, можно получить выражение для скалярной кривизны
Rkmgkm= R
Итого получаем два выражения
k
= R = 3K gkmgkm= 3Kδ
k
(
Rkm= 3Kg
km
R = 12K
k
= 12K
k
12
3 Уравнения и эффекты общей теории относительности.
Частицы в гравитационном поле. Уравнения гравитационного поля. Гравитационные волны.
3.1 Определить элемент пространственного расстояния во вращающейся си-
стеме координат.
Элемент расстояния dl задается выражением
dl2= γαβdxαdx
β
где γαβ– пространственная метрика, определяемая как
g0αg
γαβ= −gαβ+
0β
g
00
Рассмотрим координатную систему xi= (t, x, y, z). В ней матрица поворота вокруг оси x1на угол
θ(t) запишется в виде:
1 0 0 0
R
θ(t)=
x
0 1 0 0
0 0 cos θ −sin θ
0 0 sin θ cos θ
Элемент dx
где вектор x
0
j
во вращающихся координатах x
0
j
равен
1 0 0 0
0
j
x
= Rxxj=
0 1 0 0
0 0 cos θ −sin θ
0 0 sin θ cos θ
dx
0
i
= Rxxiможно записать в виде
0
j
∂x
0
j
=
∂x
i
dx
i
t
x
=
y
z
y cos θ − z sin θ
y sin θ + z cos θ
t
x
Поэлементно
0
0
dx
= dt
0
1
dx
= dx
0
2
dx
= −˙θ (y sin θ + z cos θ) dt + cos θ dy −sin θ dz
0
3
dx
=˙θ (y cos θ −z sin θ) dt + sin θ dy + cos θ dz
Таким образом, элемент пространственного расстояния во вращающейся системе
0
0
α
dl0=qγαβdx
dx
β
3.2 Определить силу, действующую на релятивистскую частицу в постоян-
ном гравитационном поле.
Запишем уравнение геодезической.
l
du
ds
+ Γ
l
uiuk= 0
ik
13
Умножаем его на mc, где m – масса частицы:
l
du
mc
ds
Вводя 4-импульс как pl= mc ul, получаем
l
dp
= fl= −mc Γ
ds
= −mc Γ
l
k
uiu
ik
l
k
uiu
ik
где flимеет смысл 4-силы, действующей на частицу массой m. В ЛГСК символы Кристоффеля
равны нулю и тогда fl= 0, то есть локально выполняется принцип эквивалентности. Здесь Γ
l
ik
имеет смысл напряженности гравитационного поля. Тогда, поскольку Γ ∼ ∂g/∂x, можно положить, что g имеет роль потенциала.
3.3 [Задача]
3.3.1 Получить вид оператора Д’Аламбера в криволинейных координатах.
;k
f
= ∇j∇kf = ∇
;j
g
j
3.3.2 Используя волновое уравнение в криволинейных координатах, вывести урав-
нение для эйконала электромагнитной волны, меняющей направление распространения (предположить большую величину производных ∂ψ/∂xi).
Волновое уравнение в криволинейных координатах имеет вид
f = f
;i
;j
=
1
√
−g∂∂x
где поле волны записывается как
f(~r, t) = a(~r, t) e
∂f
ks
s
∂x
√
−g g
i
=
ij
1
√
−g∂∂x
∂f
j
∂x
iψ(~r,t)
j
= g
g
ij
∂xi∂x
ks
∂2f
∂f
∂x
√
−g
s
= 0
j
где ψ(~r, t) = ψ(xk) – эйконал
Производная
∂f
∂x
равна
j
∂f
∂x
=
∂a
∂x
∂ψ
∂~r
eiψ+ ia
j
ψ(~r, t) = ψ0+
ae
iψ
∂
=
j
∂x
j
~r +
∂ψ
∂t
∂ψ
∂x
t = ψ0+
eiψ=
j
∂ψ
∂x
∂a
∂x
k
x
k
eiψ+ ia
j
∂ψ
∂x
iψ
e
j
Подставляя эту форму в волновое уравнение
g
∂x
= g
i
j
∂x
∂f
ij
ij
∂2a
∂xi∂x
∂ψ
∂x
∂a
i
∂x
+ i
j
∂ψ
∂x
∂a
j
i
∂x
+ i
j
+ ia
∂2ψ
∂xi∂x
j
− a
∂ψ
∂x
∂
∂ψ
∂x
j
eiψ= 0
i
Рассмотрим случай с постоянной амплитудой волны и пренебрежем производными порядка более
первого. Тогда получим уравнение
∂ψ
∂ψ
ij
g
∂x
= 0
i
j
∂x
14
3.4 [Задача]
3.4.1 Оценить величину гравитационного красного смещения для фотонов, реги-
стрируемых на Земле и образующихся в источнике, который расположен в
центре Галактики (точное расстояние от центра выбрать по своему усмотрению). Ответ представить в эВ и в относительных единицах. Привести пример
значимости эффекта для наблюдательных данных.
Величина гравитационного красного смещения для излучения за пределами солнечной системы при регистрации на поверхности земли будет оцениваться выражением
ω = ω
0
ϕ0− (ϕ+ ϕ⊕)
1 −
2
c
где ω – наблюдаемая частота излучения, ω0истинная частота излучения вблизи источника, а
ϕ0, ϕ, ϕ⊕– гравитационные потенциалы источника в центре Галактики, Солнца и Земли соот-
ветственно, описывающиеся выражением
GM
ϕ =
r
В качестве источника рассмотрим сверхмассивный объект в центре Галактики с массой
M0= 4.1 ×106M,
и положим, что излучение происходит на расстоянии одного гравитационного радиуса r
2GM0/c2. Взяв расстояния равные r0= r
, r= 1 а.е. = 1.496 × 108км, r⊕= 6.371 × 103км,
g
0
и массы M0, M= 1.98 ×1030кг, M⊕= 5.97 ×1024кг, получим значения для величин ϕ/c
ϕ
ϕ
0
:
2
c
ϕ
⊕
:
2
c
= 0.5 : 9.8 ×10−9: 6.9 ×10
2
c
−10
=
g
0
2
Учитывая, что гравитационные потенциалы ϕ, ϕ⊕пренебрежимо малы по сравнению с потенциалом источника ϕ0, запишем
ω = ω
Тогда на при излучении на расстоянии от центра Галактики порядка r0= r
=
ω
ω
0
≈1 −
GM
c
1
0
2
r
g
0
0
1 −
1 −
GM
c
2
ϕ
0
2
c
0
2GM
g
0
c
2
=
0
1 −
1
2
=
1
2
То есть любое излучение теряет половину своей энергии. Так, например, оптическая линяя Бальмера излучения атома водорода Hαс исходной длиной волны λ0= 656.3 нм будет видна на Земле
в ИК диапазоне с λ ∼ 2λ0= 1312.6 нм.
3.4.2 Сравнить временной ход часов на двух идентичных планетах, вращающихся
на расстоянии 1 а.е.: от звёзды с массой, равной солнечной, и от чёрной дыры с
массой в миллион солнечных. Влиянием приливных сил и вращением объектов
в данной задаче пренебречь.
Промежуток времени измеряемый по часам в собственной системе отсчета дается выражением
r
∆τ =
1
c
1 +
2ϕ
∆x0=r1 +
2
c
2ϕ
∆t =√1 −α ∆t
2
c
при этом величина потенциала зависит от массы M гравитирующего объекта и расстояния от его
центра r как
ϕ = −
GM
r
15
По условию задачи величины α = −2ϕ/c2равны
α= 2 ·
c2· 1а.е.
≈ 2 ×10−8, αbh= α× 106≈ 2 ×10
−2
GM
Относительное замедление времени будет тогда определяться как
s
∆τ
∆τ
bh
=
1 −α
1 −α
bh
≈ 0.990
То есть разница во временных промежутках будет порядка 1%.
3.5 Получить выражения для символов Кристоффеля второго рода из усло-
вия минимума вариации действия гравитационного поля по связностям
(в методе Палатини).
Метод Палатини, полагает, что действие для гравитационного поля можно варьировать по
компонентам метрического тензора и по связностям независимо. Действие для гравитационного
поля записывается в виде:
Sg= α
где тензор Риччи:
Rik=
Варьируем Sgпо Γ:
δSg= α
[НЕ СДЕЛАЛ]
Z
Rikgik+ 2Λ
V
−
∂Γ
∂x
j
ij
k
j
∂Γ
ik
j
∂x
Z
ik
g
V
(δRik)√−g + R
+ Γ
√
−g d4x
j
Γ
lj
l
ik
ik
− Γ
δ√−g
j
l
Γ
ij
lk
d4x
3.6 Из условий энергодоминантности установить ограничения на компонен-
ты тензора энергии-импульса идеальной сплошной среды (плотности энергии и давления).
Рассмотрим первое условие энергодоминантности
τiτkTik≥ 0
Пусть τi= aui+ bwi, где ui– времениподобный вектор, а wi- пространственно-подобный вектор;
пусть эти вектора ортогональны и для них выполняется: uiui= 1, wiwi= −1, uiwi= 0. Тогда
условие энергодоминантности для сплошной среды запишется как
(aui+ bwi)(auk+ bwk) Tik= (a2uiuk+ abuiwk+ abukwi+ b2wiwk) [(ε + p)uiuk− pgik] =
= a2(ε + p) −p(a2− b2) = a2ε + b2p
Получаем первое условие энергодоминантности в виде
τiτkTik= a2ε + b2p ≥ 0
Рассмотрим второе условие энергодоминантности
τiτkTjkTji≥ 0
16
Произведем аналогичные действия
τiτkTjkTji= (a2uiuk+ abuiwk+ abukwi+ b2wiwk)(ε + p)ujuk− pg
= (a2uiuk+ abuiwk+ abukwi+ b2wiwk)(ε + p)2uiuk− 2p(ε + p) uiuk+ p2δ
= (a2uiuk+ abuiwk+ abukwi+ b2wiwk)(ε2+ 2εp + p2− 2εp + −2p2) uiuk+ p2δ
= (a2uiuk+ abuiwk+ abukwi+ b2wiwk)(ε2− p2) uiuk+ p2δ
= a2(ε2− p2) + p2(a2+ b2) = a2ε2+ b2p
2
·
(ε + p)uiuj− pg
jk
i
=
k
ij
=
i
=
k
i
=
k
Отсюда получаем второе условие энергодоминантности в сплошной среде
τiτkTjkTji= a2ε2+ b2p2≥ 0
3.7 Получить выражение для возмущения метрики в линейном приближе-
нии из условия гармонической калибровки Γl= 0.
Условие гармонической калибровки записывается в виде
∂g
1
qj
Γk=
g
2
∂x
где мы воспользовались выражением, полученным в одной из предыдущих задач. В линейном
приближении метрческий тензор gikзапишется в виде
12g∂g
qj
=
k
∂x
k
gik= ηik+ h
gik= ηik− h
12∂ ln|g|
=
ik
ik
∂x
= 0
k
С учетом этого запишем
Γk=
1
(ηqj− hqj)
2
∂η
∂x
qj
+
k
0
∂h
∂x
qj
=
k
∂h
1
η
2
qj
qj
∂x
−
k
∂h
1
2
qj
qj
h
∂x
k
поскольку ∂kηqj= 0, то можем внести ее под производную и поднять индекс в первом слагаемом; во втором слагаемом сделаем преобразование через детерминант аналогично метрическому
тензору. Тогда получим
j
то есть величина (h
∂h
Γk=
∂x
j
− lnh) не зависит от координат xk.
j
1h∂h
j
−
k
∂x
=
k
∂x
∂
j
h
− lnh= 0
j
k
3.8 Получить дисперсионное уравнение для гравитационных волн.
Уравнение гравитационной волны имеет вид
∂2h
ik
l
l
lj
iklx
= η
= ηljk
∂xl∂x
l
+ bike
∂
lj
∂x
j
= 0
j
−iklx
iklδ
l
−klaike
l
j
l
aike
iklx
l
iklx
− iklδ
l
− klbike
l
bike
j
−iklx
l
−iklx
l
= −klklhik= 0
=
hik= η
Представим общее решение в виде
hik= aike
где aik, bik– тензоры поляризации. Подставим эту форму в уравнение гравитационной волны
hik= η
= ηljk
∂
lj
∂x
j
l
∂
∂x
∂x
∂
l
j
iaike
aike
iklx
iklx
l
+ bike
l
− ibike
−iklx
−iklx
Отсюда получаем дисперсионное уравнение гравитационных волн:
klkl= 0
17
3.9 Вывести систему уравнений для тензора поляризации гравитационной
волны (4 из условия калибровки и 4 из условия преобразования координат ξi).
18
4 Уравнения и эффекты общей теории относительности.
Центрально-симметричное гравитационное поле. Физика чёрных дыр. Кротовые норы.
4.1 [Задача]
4.1.1 Для центрально-симметричного статического поля вычислить все ненулевые
компоненты для символов Кристоффеля.
Символы Кристоффеля определяются как:
l
Γ
ik
=
lj
g
2
∂x
∂g
1
kj
∂g
ji
+
i
∂x
−
k
где (x0, x1, x2, x3) = (t, r, θ, ϕ). А метрический тензор для случая центрально симметричного статического поля имеет вид:
ν(r,t)
gik=
e
0 −e
0 0 −r
0 0 0
λ(r,t)
0 0
2
0 0 0 −r2sin2θ
∂g
∂x
ik
j
0
Из диагональности и зависимости компонент метрического тензора от определенных координат
можно выделить три особенности:
1. При суммировании по немому индексу j, ненулевым останется только слагаемое, при j = l,
то есть внешний множитель будет всегда содержать gll.
2. Ненулевыми могут быть только те комбинации индексов l, i, k, в которых хотя бы 2 индекса
принимают одинаковое значение.
3. Обратим внимание, на дифференцируемость компонент метрики по отношению к набору
координат (t, r, θ, ϕ). Если нижние индексы i, k равны между собой, то для случаев (i = k =
0, 1), ненулевыми будут только компоненты с верхними индексами (l = 1, 2). Для случая
(i = k = 2), – только (l = 1), а для случая (i = k = 3), – только при (l = 1, 2). Сразу же
можем положить, что
2
Γ
00
= Γ
3
00
= Γ
2
11
= Γ
3
11
= Γ
0
22
= Γ
2
22
= Γ
3
22
= Γ
0
33
= Γ
3
33
= 0
19
Произведем вычисление символов Кристоффеля, удовлетворяющих свойству 2, исключая комбинации, приведенные в свойстве 3:
1
0
Γ
=
00
2
1
0
Γ
=
10
2
1
0
Γ
=
11
2
1
1
Γ
=
00
2
1
1
Γ
=
10
2
1
1
Γ
=
11
2
1
1
Γ
=
22
2
1
1
Γ
=
33
2
1
2
Γ
=
12
2
1
2
Γ
=
33
2
1
3
Γ
=
13
2
1
3
Γ
=
23
2
∂g
00
g
∂x
∂g
00
00
g
g
00
∂x
1
−
11
g
−
∂g
11
11
g
g
g
11
11
∂x
0
∂g
∂x
−
11
g
−
∂g
22
22
g
g
g
g
22
33
33
∂x
∂g
∂x
∂g
∂x
1
−
33
1
33
2
00
0
∂g
∂x
∂g
∂x
11
1
∂g
∂x
∂g
∂x
∂g
∂x
+
=
11
0
00
1
= −
+
22
1
33
1
= −
33
2
= −
= −
∂g
∂x
121
e
121
∂g
∂x
121
121
121
ν
00
−
0
∂
1
∂x
121
=
e
121
= −
∂
λ
∂x
e
11
−
1
121
= −
121
= −
∂
2
r
∂x
121
= −
r2sin2θ
r2sin2θ
∂g
∂x
eν=
∂
ν
∂x
λ
e
0
∂g
∂x
λ
e
λ
e
1
2
r
00
=
0
0
ν
2
−e
0
∂
−
∂x
λ
−e
11
=
1
∂
−
∂x
∂
−
∂x
2
−r
= −
∂
−
∂x
∂
−r2sin2θ=
1
∂x
∂
−r2sin2θ=
2
∂x
1
00
g
2
λ
=
ν
e
1
˙
λ
=
2
1
11
g
2
−r
1
−r2sin2θ
1
121
−r2sin2θ
2
∂g
00
0
∂x
˙
λ
e
2
ν
=
∂g
11
1
∂x
2
(−2r) =
2
r
=
λ−ν
0
ν−λ
e
2
= −
= −re
0
12δ
0
g
∂x
00
121
λ
e
−λ
= −r sin2θ e
1
r
= −
121
r2sin2θ
sin θ cos θ
sin2θ
−e
12e
λ
−λ
ν
ν
e
=
˙ν =
λ
˙ν
2
0
2
1
r
∂
eν=
0
∂
1
∂x
121
r2· 2sin θ cos θ = −sin θ cos θ
2
r
· 2r sin2θ =
= cot θ
Все остальные символы Кристоффеля равны нулю.
4.1.2 Для центрально-симметричного статического поля вычислить все ненулевые
компоненты для тензора Риччи.
4.1.3 Получить систему уравнений К. Шварцшильда с ненулевым тензором энергииимпульса.
4.2 Найти симметрии метрического тензора, описывающего статическое центрально-
симметричное гравитационное поле. Каков их физический смысл?
Производная Ли для метрического тензора – ковариантного тензора второго ранга – записы-
вается в виде
∂g
ik
L
~
ξ
gik= ξ
s
s
∂x
Для центрально-симметричного гравитационного поля метрика записывается в виде решения
Шварцшильда
gik=
r
g
1 −
r
0 −1 −
0 0 r
0 0 0 r2sin2θ
−
∂ξ
∂x
s
gsk−
i
∂ξ
∂x
s
k
0 0 0
−1
r
g
r
0 0
2
g
is
0
Уравнение
L
~
ξ
gik= 0
20
Соседние файлы в папке 7 КАФ магистратура