Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 2.1. Частица с l=1.ppt
Задача
Решение в обозначениях Дирака
Частица находится в состоянии с определённым моментом орбитального импульса j=l=1 и
определённой проекцией момента импульса на направление
sin ,0,cosn
Измеряется проекция момента импульса на ось Ox. Найти возможные значения указанной
проекции, получаемые в результате эксперимента и вероятности их измерения.
n
z
y
x
1, 1 1
n n n
j l j l l
Кет-вектор состояния частицы
Собственные кет-векторы оператора
ˆ
ˆ
x x
j l
1,
x x
l l l
Принцип суперпозиции
1
x
x
n l x
l
l C l
Уравнения на собственные значения
ˆ ˆ
,
n n n n x x x x
l l l l l l l l
Вероятность измерить значение равна
x
l
2
x
x l
w l C
Формальное решение в обозначениях Дирака
Домножим на бра-вектор
1
x x x x x
x x
x n l x x l l l l
l l
l l C l l C C
ˆ
ˆ ˆ
, , 1 ,
x n n x
l l ln l l
и решить уравнения на собственные значения
Осталось придать смысл значкам
ˆ
ˆ
,
n n n x x x x
ln l l l l l l l
Надо выбрать наиболее адекватное представление!
В координатном представлении уравнения на собственные значения являются дифференциальными уравнениями.
Но нас и не интересуют плотности распределения вероятностей в угловом пространстве.
Будем работать в матричном -представлении.
z
ll
Матрицы операторов , в случае l=1
ˆ
i
l
ˆ
ln
Матричные элементы в собственном представлении
2
ˆ
ˆ
,zl l
2
ˆ
ˆ
, ( 1)
z z z z
z z z z l l z z l l
l l l l l l l l l
Упрощение обозначений
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, , , , ,
z z z z z z z z z z
l l l l l l l l l l l l l l l l
Номер строки
Номер столбца
11 12 13
21 22 23
31 32 33
f f f
f f f
f f f
1
z
l
0
z
l
1
z
l
1
z
l
0
z
l
1
z
l
Найти матрицы?
Ответ
2
1 0 0
ˆ
2 0 10
0 01
z z
l l l
1 0 0
ˆ
0 0 0
0 0 1
z z z
l l l
Матричные элементы в представлении
,ˆx y
l
z
ll
ˆ ˆ
1 1 ( )( 1)
z z z z z z
jj j jj jj j jj j j j j
Сначала построим матрицы повышающего и понижающего операторов
Общая формула
Перебираем все возможные значения
1, 0, 1
z z
j l j l
Найти матрицы?
ˆ ˆ
1 1 (1 )(1 1)
z z z z z z
l l l l l l l l
0 1 0 0 0 0
ˆ ˆ
2 0 0 1 , 2 1 0 0
0 0 0 0 1 0
z z z z
l l l l l l
Ответ
Матрицы ?
,ˆx y
l
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
x y x y
l l il l l il
0 1 0 0 1 0
1
ˆ ˆ
1 0 1 , 1 0 1
2 2
0 1 0 0 1 0
z x z z y z
i
l l l l l l
Ответ
ˆ
ˆ
n
l ln
Найти матрицу
ˆ
ˆ
n
l ln
Матрица
ˆ
ˆ ˆ ˆ
sin cos
n x z
l ln l l
sin
cos 0
2
sin sin
ˆ
0
2 2
sin
0 cos
2
z z
l ln l
Найти решение задачи на собственные значения?
Решение задачи на собственные значения
2 cos sin 0 0
sin 2 sin 0
0 sin 2 cos 0
n
n
n
l a b c
a l b c
a b l c
ˆ
n
a a
ln b l b
c c
Детерминант?
Детерминант
2 2 2
cos sin 0 0, 1
n n n n
l l l l
Собственные векторы?