Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 3. Две частицы с l=1.ppt
Задача
Имеются две невзаимодействущие частицы, каждая из которых находится в состоянии с
определённым моментом орбитального импульса l=1. В то же время система из этих частиц
обладает определёнными значениями квадрата полного момента импульса и проекции полного
момента импульса на ось Oz
Измеряются проекции момента импульса каждой частицы на ось Oz. Найти вероятности
измерения возможных значений указанных величин. Рассмотреть все возможные значения
полного момента L.
1 2 1 2
ˆ ˆ
ˆ
,
z z z
L l l L M l l
Обозначения, используемые в дальнейшем
1 1 2 2
, ,
z z z
L M l m l m
Два набора квантовых чисел, описывающих возможные состояния системы
1 2 1 2
, , ,l l m m
1 2
, , ,l l L M
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1, 1, , ,l l m m m m m m
0,0 , 1, 1 , 1,1
1,0 , 0,1
1,0 , 0, 1
1,1
1, 1
1 2
1, 1, , ,l l L M L M
0,0 , 1,0 , 2,0
1,1 , 2,1
1, 1 , 2, 1
2,2
2, 2
0M
1M
1M
2M
2M
Формальное решение
1 2
1 2
1 2m m
m m
LM C m m
Принцип суперпозиции
Домножим справа и слева на бра-вектор
1 2
m m
Результат?
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2m m m m m m m m
m m m m
m m LM C m m m m C
Результат
Или
1 2
1 2m m
C m m LM
Искомая вероятность
2
1 2 1 2
,w m m m m L M
Как и в предыдущей задаче, надо придать явный смысл знакам Дирака. Работать будем в матричном
-представлении.
z
ll
Как и в предыдущей задаче, надо придать явный смысл знакам Дирака. Работать будем в матричном
-представлении.
z
ll
Кет-векторы в матричном представлении
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
0 0 1 0 0 1
0,0 0 0 , 1, 1 1 1 , 1,1 1 1 1 1 , 0 0 , 0 0
0 0 0 1 1 0
1 0 0 1
1,0 1 0 , 0,1 0 1 0 1 , 1 0
0 0 0 0
1,0 1
2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0 0 0 0
0 , 0, 1 0 1 0 1 , 1 0
1 0 0 1
1 1 0 0
1,1 1 1 , 1, 1 1 1 0 0 , 0 0
0 0 1 1
Обозначения
В дальнейшем для краткости будем использовать обозначение
1 2
0 0
1, 1 1, 1 0 0
1 1
z
ll
0 0 0
ˆ
2 1 0 0
0 1 0
i
i
l
1 2
1 2
0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ
ˆ
2 1 0 0 1 0 0
0 10 0 1 0
L l l
Матрицы понижающих операторов в представлении
1 1 2 2z z
l l l l
Состояние с максимальными значения квантовых чисел
1 2
1 2
1 2 1 2
2, 2 1, 1
m m
m m
L M C m m m m
Действуем на левую часть понижающим оператором
ˆ
( )( 1) 1
z z z z
j jj j j j j jj
ˆ
2, 2 ?L L M
Найти результат действия, используя общую формулу
ˆ
( )( 1) 1
ˆ
ˆ
, 2, 2
ˆ
2, 2 2 2, 1
z z z z
z
j jj j j j j j j
j L j L j M
L L M L M
Результат
Теперь действуем суммой понижающих операторов на правую часть
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
2, 2 1 1
m m
m m
L L M l l C m m l l
Результат действия?
Результат действия?
1 2
1 2
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0 1 1
ˆ ˆ
1 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
l l