Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 8. Магн поле. Уровни Ландау.ppt
Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле
2 2
2 2
0 0
2
ˆ
ˆ
ˆ
2 2 8
z
p e e
H l
c c
0 0 0
1
, 0,0, , ( , )
2
A r r z
Гамильтонин заряженной частицы в однородном магнитном поле
Интегралы движения?
0
r
z
y
x
- масса частицы
Интегралы движения
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
, 0, , 0
z z
H p H l
2 2
2
2 2
0 0
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2 2 8
z
z
p p
e e
H l
c c
Собственные волновые функции?
Волновая функция
/
e e
, ,
2 2
z
ip z
im
z
Уравнение Шрёдингера для «радиальной» волновой функции?
Собственные волновые функции
Полезная формула
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
ˆ
1 1 1
ˆ
z
l
p
2 2 2
2
2
2 2
0 0
2 2 2 2
2
0; ,
4 2
z
em e
E p
m
k k E E
c c
Уравнение Шрёдингера для «радиальной» волновой функции
Обезразмерить уравнение Шрёдингера (т.е. найти параметр с размерностью длины)?
Указание: найти размерность третьего слагаемого в квадратных скобках
Размерность третьего слагаемого в квадратных скобках
0 0
2 2
1
e e
c meter c meter
Параметр длины
0
c
a
e
Безразмерная переменная
2
2
2xa
Записать уравнение Шрёдингера в безразмерном виде?
Уравнение Шрёдингера в безразмерном виде
2 2
2 2
2 2
1 1
0
2 4 2 4
k a
d d m e m
dx x dx x x e x
Найти асимптотики волновой функции?
1, 1x x
2
2
1
1, 0
4
m
x
x x
1
1, 0
4
x
Уравнения для асимптотик волновой функции
Решения уравнений для асимптотик волновой функции?
Асимптотики радиальной волновой функции
| |/ 2
1,
m
x x
/ 2
1, e
x
x
Ищем решение в виде
Найти уравнение для
( )?w x
Упрощение вычислений
| |/ 2 / 2
( ) e ( ) ( ) ( )
m x
x x w x g x w x
2
2
| | 1 | | 1 | | | | 1
2 2 2 2 2 2 2
m m m m
g g g g
x x x x
! "
! " ! " ! "
# $
# $ # $ # $
# $
% & % & % &
% &
| | 1
2 2
m
g g
x
! "
# $
% &
Или
| |/ 2 / 2
( ) e ( )
m x
x x w x
Найти уравнение для
( )?w x
Уравнение Куммера
Уравнение для
( )w x
2 2
1
1 | | 1 | | 0
2 | |
t
e
xw m x w m m k a w
e
! "
# $
% &
2
2
0
d w dw
z b z aw
dz dz
Решение
2
1
( ) 1 , 1,
2
e
w x CF m m k m x
e
! "
! "
# $
# $
# $
# $
% &
% &
Функция Куммера (регулярная в нуле)
, , 1 , ( 1) ( 1)
1! !
n
n
n
n
a
a z z
F a b z a a a a n
b b n
' ' (
Поведение при
1z ))
1
1
!
?
( 1)!
n n
n n
n
a b n
b n a
* +
Функция Куммера
, , 1 , ( 1) ( 1)
1! !
n
n
n
n
a
a z z
F a b z a a a a n
b b n
' ' (
, , exp( )F a b z z,
Асимптотика при
1z ))
Ряд надо оборвать: начиная с некоторого n должно выполняться равенство
0
n
a
Найти условие квантования?