Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / КР весна 2021.ppt
Решение. 1 задача
y n
y n
y l l n
l s
l C l
Принцип суперпозиции
Домножим справа и слева на бра-вектор
n
l
Результат
y n
l l n y
C l l
Искомая вероятность
2
n n y
w l l l
0 1 0 0 1 0
1
ˆ ˆ
1 0 1 , 1 0 1
2 2
0 1 0 0 1 0
z x z z y z
i
l l l l l l
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
sin cos sin sin cos
n x y z
l ln l l l
Собственные векторы оператора проекции момента на произвольное направление
1 0 0
ˆ
0 0 0
0 0 1
z z z
l l l
ˆ
ˆ
n
l ln
Матрица
sin e
cos 0
2
sin e sin e
ˆ
0
2 2
sin e
0 cos
2
i
i i
z z
i
l ln l
Собственные векторы оператора проекции момента на произвольное направление
2
2
cos e
2
sin
1
2
sin e
2
i
n
i
l
2
2
sin e
2
sin
1
2
cos e
2
i
n
i
l
sin
e
2
0 cos
sin
e
2
i
n
i
l
Собственные векторы оператора проекции момента на ось Oy
1
1 2
2
y
i
l
i
1
1 2
2
y
i
l
i
1
0 0
2
y
i
l
i
Искомая вероятность
2
n n y
w l l l
Задача 2. Собственные волновые функции
Два набора квантовых чисел, описывающих спиново-угловое состояние системы
, , ,
z
l s m s
, , ,
z
l s j j
1, 1/ 2, , ,
z z z
l s m s m s m s
1
1,
2
1
1,
2
1 1
1, , 0,
2 2
1 1
0, , 1,
2 2
1, 1/ 2, , ,
z z
l s j j j j
3 3
,
2 2
3 3
,
2 2
3 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
3 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
3/ 2
z
j
1/ 2
z
j
3/ 2
z
j
1/ 2
z
j
2
2
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
, , , ( 1) , , , , , , ( 1) ( 1) 2( ) , , ,
z z z z
j l s j j j j l s j j l s l s j j l l s s ls l s j j
Формальное решение
( )
z
z
z
jj
z m s z
m s
jj C m s
Принцип суперпозиции
Домножим справа и слева на бра-вектор
z
ms
Результат?
( ) ( )
z z
z z z z
z z
jj jj
z z m s z z m s mm s s
m s m s
ms jj C ms m s C
Результат
Или
( )
z
z
jj
ms z z
C ms jj
Искомая вероятность
2
z z z
w ms ms jj
Как и в предыдущей задаче, надо придать явный смысл знакам Дирака. Работать будем в матричном
- представлении.
z z
ll ss
Кет-векторы в матричном представлении
1 0
1 0
1 1 1 1
1, 1 , 1, 1 0 , 0
0 1
2 2 2 2
0 1
1 0
0 1
1 1 1 1
1, 1 , 0, 0 0 , 1
1 0
2 2 2 2
0 0
0 0
1 0
1 1 1 1
1, 1 , 0, 0 0 , 1
0 1
2 2 2 2
1 0
l l
s s
l l
s s
l l
s s
0 0 0
0 0
ˆ
ˆ
2 1 0 0 ,
1 0
0 10
l s
0 0 0
0 0
ˆ
ˆ
ˆ
2 1 0 0
1 0
0 1 0
j l s
Матрицы понижающих операторов в представлении
z z
ll ss
Состояние с максимальными значения квантовых чисел
3/ 2, 3/ 2 1, 1/ 2
z z
j j l s
Действуем на левую часть понижающим оператором
ˆ
( )( 1) 1
z z z z
j jj j j j j jj
ˆ
3/ 2, 3/ 2 ?
z
j j j
Найти результат действия, используя общую формулу
ˆ
( )( 1) 1
3/ 2, 3/ 2
ˆ
3/ 2, 3/ 2 3 3/ 2, 1/ 2
z z z z
z
z z
j jj j j j j jj
j j
j j j j j
Результат
Теперь действуем суммой понижающих операторов на правую часть
1
ˆ
ˆ
ˆ
3/ 2, 3/ 2 1
2
z
l
s
j j j l s
Результат действия?