Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 5. Спин. Два электрона.ppt
Задача
Имеются две невзаимодействущие частицы, каждая из которых обладает спином s=1/2. Одна из
этих частиц обладает определённой проекцией спина на ось Oz, а вторая – на направление
Измеряются полный спин S и проекция полного спина на ось Oz. Найти вероятности
измерения возможных значений указанных величин.
sin cos ,sin sin ,cosn
n
z
y
x
2n
s
1z
s
1 2 1 2
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
,
z z z
S s s S s s
Оператор полного спина и проекции полного спина
Два набора квантовых чисел, описывающих возможные состояния системы
1 2 1 2
: , , ,
z z
I s s s s
1 2
: , , ,
z
II s s S S
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1/ 2, 1/ 2, , ,
z z z z z z
s s s s s s s s
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
1 2
1/2, 1/ 2, , ,
z z
s s S S S S
0,0 , 1,0
1,1 , 1, 1
0
z
S
1
z
S
Идея решения – находим матрицу перехода от состояний из набора I к состояниям из набора II.
Затем находим обратную матрицу и используя её раскладываем состояние
,zS S
1 2
1/2, 1/ 2
z n
s s
по базису
Решение в обозначениях Дирака
Матрица перехода от состояний из набора I к состояниям из набора II.
Принцип суперпозиции
1 2
1 2
1 2
z
z z
z z
SS
z s s z z
s s
SS C s s
Матрица перехода (унитарное преобразование от одного представления к другому)
1 2
1 2
z
z z
SS
s s z z z
C s s SS
Кет-векторы в матричном представлении
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
, , , ,
0 1 1 0
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
, , , ,
0 0 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
Обозначения
В дальнейшем для краткости будем использовать обозначение
1 2
1 0
1 1 1 1
, ,
0 1
2 2 2 2
z
ss
0 0
ˆ
1 0
i
i
s
1 2
1 2
0 0 0 0
ˆ
ˆ ˆ
1 0 1 0
S s s
Матрицы понижающих операторов в представлении
1 1 2 2z z
s s s s
Состояние с максимальными значения квантовых чисел
1 2
1 2
11
1 2 1 2
1, 1 1/ 2, 1/ 2
z z
z z
z s s z z z z
s s
S S C s s s s
Действуем на левую часть понижающим оператором
ˆ
( )( 1) 1
z z z z
j jj j j j j jj
ˆ
1, 1 ?
z
S S S
Найти результат действия, используя общую формулу
ˆ
( )( 1) 1
ˆ
ˆ
, 1, 1
ˆ
1, 1 2 1, 0
z z z z
z z
z z
j jj j j j j jj
j S j S j S
S S S S S
Результат
Теперь действуем суммой понижающих операторов на правую часть
1 2
1 2
11
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
1,
2 2
z z
z z
z s s z z
s s
S S S s s s C s s s s
Результат действия?
Результат действия?
1 2
1 2
1 2 1 2
0 0 0 0 1 1
1 1
ˆ ˆ
1 0 1 0 0 0
2 2
s s
Результат действия
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
ˆ
ˆ ˆ
1, 1 2 1, 0
2 2
0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
1 0 1 0 0 0 1 0 0 1
z z
S S S S S s s
Или
1 2 1 2
1 2 1 2
0 1 1 0
1 1 1 1 1 1
1, 0
1 0 0 1
2 2 2 2
2 2
z
S S
Найти кет-вектор
0, 0 ?
z
S S
1, 0 0, 0 0
z z
S S S S
Кет-вектор с разными квантовыми числами ортогональны друг другу (вырождения нет)
Найти результат?
1 2 1 2
0 1 1 0
0, 0
1 0 0 1
z
S S A B
1 2 1 2
1 2 1 2
0 1 1 0
1
1, 0 0, 0 0 1 1 0 1 0 01
1 0 0 1
2
z z
S S S S A B
Промежуточные формулы