Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 10.1. WKB общие соотношения.ppt
ВКБ-приближение. Общие соотношения
Одномерное уравнение Шрёдингера
2 2
2
( )
( ) 0
2
d x
E U x x
m dx
Длина волны Де-Бройля
( )
( )
2 ( )
x
p x
m E U x
Характерный масштаб изменения потенциала
L a b
«Грубое» условие применимости квазиклассического приближения
1
1
2
eff eff
m E U L
Потенциал мало меняется на расстояниях порядка длины волны!
a
b
x
( )U x
Если бы потенциал не зависел от координат, то решением УШ была бы плоская волна:
( )
( ) e , ( ) 2 ( )
i
x
x C x p x m E U x
В случае слабой пространственной неоднородности потенциала решение УШ ищем в виде:
( )
( ) e
i
x
x C
где показатель экспоненты имеет вид разложения по степеням постоянной Планка
0 1
( ) ( ) ( )x x x
i
Получить уравнения для функций и решить их?
0 1
( ), ( )x x
Исходное уравнение для показателя экспоненты
2
2
2
1
0
2
i
E U x
m
2
0
2m E U x
Нулевое приближение
Решение
0
( ) 2 ( )x m dx E U x p x dx
Потенциал не зависит от координат
0
( )x p x
2
0 0 1 0
1
2 2
i
E U x
m im m
Первое приближение
0
1
0
2 2pp
1
1
ln2p
a
b
x
( )U x
1 1
| | | |
3
1
( ) e , ( ) e
| | | |
b x
x a
p dx p dx
C
C
I x III x
p p
Квазиклассическая волновая функция
I
III
II
I, III - классически запрещённая области
II - классически разрешённая область
2 2
( ) e e
i i
p dx p dx
C C
x
p p
Условие применимости
2
0 0
Переписать условие применимости в параметрах задачи?
Цепочка неравенств
2
0 0
2
0
1
1
p
p
m F
p
p
«Конструктивная» запись условия применимости
3
1
m F
p
«Физическая» запись условия применимости
0
( )
1
eff
d x
dx L
Де-Бройлеровская длина волны частицы мало меняется на расстояниях порядка её самой!
Условия сшивки в области точек остановки
В точках остановки импульс обращается в нуль и условие квазиклассичности нарушается!
УШ в окрестности точки остановки
2 2
2
2
( )
| | ( ) ( ) 0, ( ) ( ), 2 ( )
2
x a
d x dU
F x a x U x E x a p mF x a
m dx dx
Решение УШ – функции Эйри. Асимптотика в.ф.
1/ 2
3/2
1/12
2
1/ 4
2
1/ 2
3/2
1/12
2
1/ 4
2
2 2
sin ,
3 4
2 /
( )
2 2 | |
exp ,
3
2 2 | | /
C mF
a x x a
mF a x
x
C m F
x a x a
m F x a
!
!
!
"
!
#
!
!
$
Вопрос: можно ли использовать асимптотику функций Эйри в области
применимости квазиклассики?
Условие применимости линейного разложения для потенциала вблизи точки остановки
( )
1
F x a
E
Область применимости асимптотического разложения для функции Эйри
1/ 3
2
1
m F
x a
%
Комбинируем неравенства
1/ 3 2/ 3
2 3
1
F m F m F
E p
( )
1
F x a
E
a
Область ВКБ приближения
Область применения линейного разложения для потенциала
( )U x
x
Графическая иллюстрация пересечения областей применимости квазиклассики и
линейного разложения для потенциала
Найти правила «перехода» через точки поворота?