Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Семинары Городничев / Семинар 12.2. ТВ осциллятор+дельта-функция в нестац эл поле.ppt
Осцилляторный потенциал + дельта-функция
в нестационарном однородном электрическом поле
Уравнение Шрёдингера для заряженной частицы в осцилляторном
потенциале+дельта-функция при наложении «слабого» переменного во времени
однородного электрического поля
Невозмущённый гамильтониан
2 2 2
0 0
ˆ
ˆ ˆ
, ( ) ( )
2 2
m m m
p m x
H x H x E x
m
Энергии чётных (+) и нечётных (-) и уровней
(0 )
( ) (0 ) ( )
2
2
1 2 1 1
2 1 , 2 1 , 2 1
2 2 2
o
n n n
k a
m
E n k n E n
Слабопроницаемый барьер
1/ 2
2 2
2
/ , , , 1
o
o
o
m a
mE
a m k
ka
«Возмущающий» потенциал
( , ) ( )
el
V x t qE t x
«Близкие» уровни в дублете (один и тот же номер n)
(0)
( ) ( )
( ) ( )
2
,
o
n n n n
n m n m n m
n m
k a
E E V
E E n m V V
Найти временную зависимость волновой функции?
Начальное условие
( )
0
( , ) ( )
n
x t t x
( )
0
E
( )
0
E
( )
1
E
( )
1
E
Схема уровней в «энергетическом пространстве»
Общие соотношения
0
( , )
ˆ
( , ) ( , )
x t
i H V x t x t
t
/
0
ˆ
( ) ( ), ( , ) ( ) e
n
iE t
n n n n n
H x E x x t x
Уравнение Шрёдингера
«Невозмущённое» стационарное уравнение Шрёдингера
Решение уравнения Шрёдингера
/
( , ) ( ) ( ) e
k
iE t
k k
k
x t a t x
Получить уравнение на коэффициенты разложения?
Физическая интерпретация коэффициентов разложения?
1 шаг
2 шаг
Уравнение Шрёдингера в «представлении взаимодействия»
*
( )
m
dx x
*
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
mk m k
V t m V x t k dx x V x t x
/ /
/ /
( ) ( ) e ( ) ( ) e
( ) ( ) e ( , ) ( ) ( ) e
k k
k k
iE t iE t
k k k k k
k
iE t iE t
k k k k k
k
i a t x E a t x
E a t x V x t a t x
! "
! "
#
( ) /
( ) ( ) ( ) e
k m
i E E t
m mk k
k
i a t V t a t
#
Барьера нет!
Первый порядок теории возмущений
( ) ( ) e , ,
mn
i t
m mn mn m n
i a t V t E E m n
#
0
( , ) ( )
n
x t t x
Обсудить ситуацию m=n?
Или
0
( ) ( ) e
mn
t
i t
m mn
t
i a t dt V t
$
$ $
2 2 2
0 0
ˆ
ˆ ˆ
, ( ) ( )
2 2
m m m
p m x
H H x E x
m
0
E
1
E
Вероятность «остаться» в начальном состоянии - коэффициент am при m=n
2 (1) (2) 2 (1) (2) (1) 2
| ( ) | |1 ( ) ( ) | 1 2Re ( ) ( ) | ( ) |
n n f n f n f n f n f n f
w a t a t a t a t a t a t % %
Вероятность перейти в возбуждённое состояние
(1) 2
| ( ) |
m n m n f
w a t
Вероятность «остаться» в начальном состоянии (продолжение)
(1) 2
1 | ( ) |
n m f
m n
w a t
f
t
- время «снятия» возмущения
Осциллятор с барьером
0
( ) ( )
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( ) 1
( ) ( ) e , ,
n n
t
i t
n nn n n
t
x t t x a t
i a t dt V t E E
&
&
$
'
$ $
(0)
2
( , ) ,
1
el
qE x
V x t t
t
(
) * * )
Пусть
Обозначим
( ) ( )
n n
x v
Амплитуда вероятности нахождения в нечётном состоянии после снятия возмущения?
( ) ( ) ( )
( ), ( ), ( )
n n nn n m nm n m nm
V V t V V t V V t
Обозначения
( )
0
E
( )
0
E
( )
1
E
( )
1
E
Амплитуда вероятности нахождения в нечётном состоянии дублета
(0)
( )
( ) ( ), ( ) e
el
x
n
qE v
a i f f x x
+ &(
&
)
Проанализировать предел
(0)
1?
el
qE v
&
,
Характерное время движения частицы в невозмущённом потенциале
1
char
(
&
Пример: характерное время движения частицы в осцилляторном потенциале –
период колебаний
Адиабатическое приближение -
1
char
(
&(
(
Внезапное возмущение -
1
char
(
&(
(
-
«Нулевой» порядок теории возмущений в случае «почти вырожденных» уровней
Волновая функция в «нулевом» приближении
( ) ( )
/ /
( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( ) e ( ) ( ) e
n n
iE t iE t
n n n n
x t a t x a t x
( ) /
( ) ( ) ( ) e
k m
i E E t
m mk k
k
i a t V t a t
#
Подставить в исходную систему
Результат подстановки?
( ) ( )
( ) ( )
( ) /
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) /
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e
( ) ( ) ( ) e ( ) ( )
n n
n n
i E E t
n nn n nn n
i E E t
n nn n nn n
i a t V t a t V t a t
i a t V t a t V t a t
.
/
0
/
1
#
#
Система уравнений
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) e
( ) ( ) ( ) e
, ( ) ( ) ( )
i t
n n
i t
n n
n n nn nn
i a t V t a t
i a t V t a t
E E V t V t V t
&
&
&
.
/
0
/
1
#
#
Или