1.5 Предельные теоремы

Если число испытаний n велико , то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям . В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа. а) Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которые вероятность появления события равна р(о<р < 1), событие наступит ровно m раз, выражается приближенным равенством

Функция у(х) - четная, т.е. у(-х)= γ(х). При х>5 можно считать, что γ(x)=0. б) интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n, независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления. события равна р, событие наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, выражается приближенным равенствам

При >5 полагают Ф(х)=5. Функция Лапласа – нечетная, т.е.

Ф(-х)=-Ф(х), Ф(0)=0.

Если число испытаний достаточно велико , а р - мало при, этом не больше 10 (10), то вероятностьможно найти приближенно по формуле Пуассона:.

Задача 1.5.1

Прибор состоят из 200 деталей, каждая из которых за врем t может выйти из строя с вероятностью р=0 01. Найти вероятность того, что за времяtвыйдут из строя: а) 3 детали; б) не более 3 деталей; г) от двух до четырех деталей включительно.

Решение:В данном случаеn=200,m=0.01,q=0.99,m- количество деталей , вышедших аз строя за времяt. а)m=3;РЗ;200 по формуле Бернулли равно

Оценим значение

Практически формула непригодна для вычисления. Найдемnp=200 0.01=2, меньше 10 Можно использовать формулу Пуассона приX = 2 иm=3; сразу получаем Р3,200 =0.1805;б)- не более 3 деталей вышло из строя

Для вычисления каждого слагаемого используем формулу Пуассона, определяя значения вероятностей по таблице при и приm=0,1, 2,3.

Р200() = 0.8572;

в){т > 2}- не менее двух деталей вышло из строя .Здесь следует перейти к противоположному событиюm<2. Тогда Р200(m>2)=1-Р0,2ОО –P1,200=0.5940.

г)2< m<1 от двух до четырех деталей включительно за времяtвышли из строя следует найти Р200 (2< m< 4)=Р2,200+Р3,200+Р4,200. Используя, формулу Пуассона опять при=2 иm=2,3,4 по таблице находим

Р200

Задача 1.5.2

Вероятность изделию быть, бракованным равна 0.05. Найтивероятность того, что среди 1000 изделий а) 40 бракованных; б) число бракованных находится в промежутке от 40 до 70 включительно; в) сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью, не менее 0,9 среди них оказалось не менее 50 бракованных?

Решение:Испытание изделий на брак удовлетворяет модели испытаний Бернулли Вероятность для каждого изделия быть бракованным, р=0.05, а набракованнымq=0.95. Испытаниям подвергаютсяn=1000 изделий.

a)m=40; Р 40,1000 находим по формуле Муавра Лапласа. Определим необходимые величины:np=50;npq=47,5,