Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Диплом / 111
.pdf
Министерство образования è íàóêè
Ðоссийскîé Федерации
Федеральное агенство ïî образованию
ÌÎÑÊОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ÃÎÑÓДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Ôàêóëüòåò ýêспериментальной è теоретическîé физики
Кафедра теоретическîé ядерной физики 32
Диплом íà соискàíèå степени áàêалавра
Áåæенцев Борис Владимирович
Ðасчет ионизационного состоÿíèÿ
плазмы аргона
íà основе параметрическîé системы
кинетических уравнений
Íàучный ðóêîâîдитель:
ä.ô.-ì.í., профессор
Â.Ã. Новикîâ
Москва 2007
Аннотàöèÿ
Íà основе аргоновой плазмы проведено óсреднение äåòальных
уровней энергии â эффективные группы ñ íåêоторой средней
энергией è ñòатистическим весом. Íà основании элементарных
процессов, протекающих â плазме, áûëè написаны è численно
решены уравнения поуровневой кинетики. Проведен расчет
степени ионизации вещества â случае прозра÷íîé è оптически
плотной плазмы. Òàêæå проведен расчет âûõîäà излучения èç
плазмы â приближåíèè òîíêîãî ñëîÿ. Ðасчеты проводились äëÿ
диапазона температур T = 1
ö
1000 ýÂ è плотностей свобоäíûõ
электронов
N
e
= 10
10
ö
10
24
1/ñì
3
.
Автор благодарит çà íàучное ðóêîâîдство Новикîâà Владимира
Григорьевича , à òàêæå çà помощь â работе ñòаршего íàучного
сотруäíèêà èç îòäåëà 6 ÈÏÌ èì. Ì.Â. Келдыша À .Ä .
Соломянную.
Ñîäåðæàíèå
Введение 2
1 Ïîñòановкà çàäà÷è 3
2 Основные процессы â плазме 5
2.1 Столкновительные è радиационные процессы . . . . . . . . 5
2.2 Î ñêоростÿõ столкновительных è радиационных процессах 6
2.2.1 Ó÷åò òîíêîé структуры уровней . . . . . . . . . . . . 8
3 Система уравнений поуровневой кинетики 10
3.1 Система уравнений äëÿ определения êонцентраций ионов . 10
3.2 Квазистационарный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Ðåçóëüòàòû расчетов 12
4.1 Ðåçóëüòàò óсреднения äåòальных уровней энергии . . . . . 12
4.2 Ионизационное равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Излучение оптически òîíêîé плазмы . . . . . . . . . . . . . 22
Заключение 25
Список литературы 26
1
Введение
Исследование аргоновой плазмы представляет большой интерес,
благоäàðÿ åå применению â современных отраслях техники.
Àêòóальность òåìû связана ñ òåì, ÷òî термодинамические è оптические
свойства неравновесной плазмы плазмы, íåîáõîäèìû ïðè ìîделировании
физических процессов, êоторые используютсÿ äëÿ создания источникîâ
излучения, ïðè плазменной обработкå материалов, äëÿ исследования
è оптимизации термоядерных мишеней. Â изучаемых современной
физикîé процессах реализуютсÿ самые разнообразные óсловия: îò
температур ïîðÿäêà абсолютного íóëÿ äî температур â недрах звезд,
îò ãазовых плотностей äî плотностей, â äåñÿòêè ðàç превышающих
плотность òâåðäîãî òåëà. Â связи ñ ýòèì решение многих àêòóальных
проблем физики требуåò âñå большего объема информации î свойствах
вещества â различных, â òîì числе ýêстремальных, óсловиях.
Äëÿ описания свойств вещества â äîñòаточном широкîì диапазоне
температур è плотностей, êàê правило, неприменимы сравнительно
простые ìîäåëè. Ñ другой стороны, проведение ýêспериментов ñ целью
получения данных î свойствах вещества â ýêстремальных óсловиях
обычно связано ñî çíàчительными техническими òðóдностÿìè è â ðÿäå
случаев îêазываютсÿ чрезвычайно дорогостоящими. Поэтому требуåòñÿ
создание быстрой è эффективной ìåòîäèêè расчетà свойств плазмы äëÿ
использования â ãàçîдинамических программах.
 данной работе произвоäèòñÿ расчет ионизационного состоÿíèÿ
плазмы аргона. Â íåé рассматриваютсÿ основные элементарные
процессы, происõîдящие â ãîðÿ÷åé плазме, òàêèå, например, êàê
ионизация электронным óдаром, фотоионизация, возбуждение, ãашение
è другие. Íà основании ýòèõ процессов пишутсÿ уравнения поуровневой
кинетики, à затем, после èõ решения, получаютсÿ êонцентрации ионов
â различных состояниях â зависимости îò температуры è плотности
электронов. Òàê êàê энергетический спектр многоэлектронного атома
состоит èç ìíîæентва уровней, òî система кинетических уравнений
îêазалась áû громадной. Поэтому провоäèòñÿ óсреднения реальной
ñõåìû уровней. Ñ помощью ýòèõ êонцентраций рассчитываетсÿ средняя
степень ионизации вещества.
2
1 Ïîñòановкà çàäà÷è
Ìû áóäåì изучать õарактеристики плазмы â äâóõ предельных
случаях: â приближåíèè оптически òîíêîé плазмы ( прозра÷íàÿ плазма )
è â приближåíèè оптически плотной плазмы. Â общем случае äëÿ
решения çàäà÷è возникàåò íåîáõîдимость совместного рассмотрения
процессов переноса фотонов è поуровневой кинетики электронов [1].
 квазистационарном приближåíèè è áåç ó÷åòà процессов рассеяния
уравнение переноса фотонов имеет âèä
(
−→
Ω ∇)I
ω
= (ω, I
ω
) − κ(ω, I
ω
)I
ω
(1)
ãäå
I
ω
интенсивность излучения фотонов ñ энергией
~ω
,
κ = κ(ω, I
ω
)
êоэффициент ïîãлощения â 1/ñì,
= (ω, I
ω
)
объемная излучательная
способность,
−→
Ω
единичный вектор â направлении распространения
излучения.
Энергетический спектр реального многоэлектронного атома состоит
èç ìíîæества уровней, õарактеризуåìûõ соответствующим набором
квантовых чисел. Система кинетических уравнений, записанных äëÿ
êаждого èç ýòèõ уровней, âûãлядела áû совершенно необозримой.
Поэтому ïðè решении кинетических çàäà÷ произвоäèòñÿ íåêоторое
¾огрубление¿ реальной ñõåìû уровней. Â первую очередь îíî связано
ñ объединением групп близкî располоæенных уровней â íåêоторые
эффективные уровни. Следуåò отметить, ÷òî, êонечно, íå существуåò
универсального способа òàêîãî объединения è, более òîãî, способ
пригоäíûé ïðè решении îäíèõ çàäà÷, ìîæåò áûòü непригоäíûì äëÿ
других. Ïðè получении огрубленных энергетических ñõåì различных
атомов è ионов использованы следующие ðåêомендации.
1. Â îäèí уровень объединяютсÿ группы энергетически близких
состоÿíèé. Этому уровню приписываютсÿ эффективный ñòатистический
âåñ è эффективная энергия, вычисляемые ïî формуëàì
g
ks
=
X
γJ ∈ks
g
ksγJ
, E
ks
=
1
g
ks
X
γJ ∈ks
g
ksγJ
E
ksγJ
(2)
ãäå k çàðÿä èîíà, s номер объединенного уровня, J полный момент,
γ
дополнительный набор квантовых чисел, êоторые определяют
состоÿíèå ñ энергией
E
ksγJ
è ñòатистический âåñ
g
ksγJ
= 2J + 1
.
Коэффициенты ïîãлощения è излучательная способность плазмы
определяютсÿ населенностÿìè основных è возбужденных состоÿíèé
3
ионов, òî åñòü êоличеством ионов
k
-îé кратности, íàõîдящихñÿ â
íåêотором состоÿíèè
s
. Обозна÷èì ýòè êонцентрации через
n
ks
= n
ks
(
−→
r ).
Òàêæå áóäåì использовать относительные êонцентрации:
x
ks
= n
ks
/n
i
ãäå плотность ионов
n
i
= ρN
A
/A,
A
атомный âåñ (äëÿ аргона A = 39,948 ã/ìîëü. ),
N
A
= 6.022·10
23
1/
ìîëü
постоянная Àâîãàäðî.
Äëÿ êонцентрации частиц
n
ks
, íàõîдящихñÿ â малом îáú¼ìå
ñ êîîðдинатой
−→
r
â состоÿíèè
k s
, выполняетсÿ óсловие балланса
(уравнение ñòатистическîãî равновесия ) [2]:
∂n
ks
∂t
= −∇ · (n
ks
~v) +
X
k
0
s
0
(n
k
0
s
0
w
k
0
s
0
→ks
− n
ks
w
ks→k
0
s
0
),
òî åñòü изменение å¼ ñî временем áóäåò определятьсÿ потокîì частиц
через ограничивающую ýòîò îáú¼ì поверхность è темпом поступления
èç других состоÿíèé
k
0
s
0
çà ñ÷åò радиационных è столкновительных
процессов. Здесь
~v
макроскопическàÿ ñêорость,
w
ks→k
0
s
0
полная
âåðîятность перехîäà èîíà èç состоÿíèÿ
ks
â состоÿíèå
k
0
s
0
.
Благоäàðÿ òîìó, ÷òî â нашем случае ñêорости ãàçîдинамических
процессов существенно меньше ñêоростей элементарных процессов,
влиянием макропереноса ìîæíî пренебречь. Òîãäà уравнение примет
âèä
∂n
ks
∂t
=
X
k
0
s
0
(n
k
0
s
0
w
k
0
s
0
→ks
− n
ks
w
ks→k
0
s
0
).
Âåðîятности столкновительных процессов определяютсÿ плотностью
свобоäíûõ электронов è èõ распределением ïî энергиям. Âåðîятности
радиационных процессов зависÿò îò функции распределения
фотонов, точнее îò òîãî, êàêàÿ часть излучения îñòà¼òñÿ â веществе
(реабсорбируåòñÿ). Åñëè заметная часть излучения реабсорбируåòñÿ,
òî уравнения 1 è 2 íåîáõîäèìî решать совместно. Â ýòîì случае
êонцентрации различных ионов сильно зависÿò îò интенсивности
4
излучения, à îíà, â ñâîþ очередь, зависит îò êонцентрации ионов через
êоэффициент ïîãлощения è излучательную способность плазмы [1].
 точной ïîñòановкå çàäà÷è â формуëû äëÿ âåðîятностей
элементарных процессов âõîäèò спектральная плотность излучения
W (ω/T )
, êоторая определяетсÿ решением уравнения переноса â заданной
геометрии.  работе рассмотрен предельный случай прозра÷íîé
плазмы, òîãäà
W (ω/T ) = 0
, è случай êîãäà выполняетсÿ ëîêальное
термодинамическîå равновесие. Òîãäà ïîëå излучения определяетсÿ
формуëîé Планкà ñ температурой ïîëÿ равной электронной температуре
W (x) =
1
e
x
− 1
, x =
ω
θ
2 Основные процессы â плазме
2.1 Столкновительные è радиационные процессы
Áóäåì рассматривать плазму, состоÿùóþ èç электронов
e
è ионов
N
ks
различного çàðÿäà
k
, íàõîдящихñÿ â íåêотором состоÿíèè
s
, è
фотонов
~ω
. Â плазме èäóò процессы взаимодействия различных частиц
äðóã ñ другом è ñ излучением. Соответственно процессы называютсÿ
столкновительными è радиационными.
 работе рассматривались неупругие столкновения:
1. Возбуждение электронным óдаром è обратный процесс ãашения:
N
k
s
+ e À N
k
s
0
+ e
0
2. Ионизация электронным óдаром è тройная ðåêомбинация:
N
k
s
+ e À e + e
0
+ N
k+1
s
0
Òàêæå рассматривались процессы взаимодействия ионов ñ фотономи:
1. Ïîãлощение è излучение â спектральных линиях:
N
k
s
+ ~ω À N
k
s
0
2. Фотоионизация è фоторекомбинация:
N
k
s
+ ~ω À N
k+1
s
0
+ e
Ðадиационные процессы делятсÿ íà спонтанные è вынужденные.
Первые зависÿò толькî îò свойств излучающей системы. Вторые åùå
è îò плотности излучения â интервале частот, соответствующем
рассматриваемому перехîäó. Èõ çíàчение возрастàåò ïî ìåðå
уменьшения плотности плазмы è ñíèæåíèÿ частоты столкновительных
процессов.
5
2.2 Î ñêоростÿõ столкновительных è радиационных
процессах
Основную ðîëü â столкновительных è радиационных процессах
â плазме играют электроны, à возбуждение òÿæелыми частицами
(ионами ) существенно толькî äëÿ перехîäîâ между очень близкими
уровнями ( ìû пренебрегàåì ýòèì процессом). Â данной работе
учитываютсÿ íå âñå элементарные процессы. Â частности íå
рассматриваетсÿ êомптон-эффект è тормозные процессы, òàê
êàê ïðè протекàíèè ýòèõ реакций íå изменяютсÿ интересующие
íàñ êонцентрации ионов. Íåò автоионизационных процессов è
диэлектрическîé ðåêомбинации. Â ðàìêàõ рассматриваемой ìîäåëè
ñ óсреднением ýòîò вопрос íå äîñòаточно проработàí. Â частности,
использование ñòандартного ïîäõîäà â нашем приближåíèè привоäèò
ñ ðåçêîìó ñíèæåíèþ степени ионизации, ÷òî связано ñ преувеличением
ðîëè ýòèõ процессов â ðàìêàõ параметрическîé ìîäåëè. Поэтому â
основных расчетàõ диэлектронная ðåêомбинация è автоионизация íå
учитывались.
Обозна÷èì çà
ω
if
âåðîятность перехîäà èç состоÿíèÿ
i
â состоÿíèå
f
.
 случае реакций ñ фотонами ýòî число спонтанных èëè вынужденных
перехîäîâ â единицу времени, ïðèõîдящихñÿ íà îäèí àòîì. Â
случае столкновительных процессов ýòî число актов возбуждения â
единицу времени íà îäèí àòîì, êоторое пропорционально êонцентрации
электронов
N
e
[3]:
ω
if
= N
e
< vσ
if
>,
ãäå
σ
if
эффективное сечение процесса возбуждения â ñì
2
,
v
ñêорость
налетающих электронов.
Çíàÿ функцию распределения электронов ïî энергиям
F (ε)
, ìîæåì
писать
< vσ
if
>=
∞
Z
4ε
vσ
if
(ε)F (ε) dε ,
ãäå
4ε
энергия возбуждения.
Заметим, ÷òî â случае термодинамическîãî равновесия
распределение свобоäíûõ электронов ïî энергиям
F (ε)
являетсÿ
ìàêсвелловским:
F (ε) =
2
√
πT
3
√
εe
−ε/T
,
ãäå
T
температура â ýÂ.
6
Âåðîятность процесса фотоионизации равна:
w
iν
=
∞
Z
E
i
N
ω
cσ
iν
dω,
ãäå
E
i
энергия ионизации,
σ
iν
сечение фотоионизации,
N
ω
плотность
квантов ñ энергией
ω
.
Åñëè â íàчальном состоÿíèè имеютсÿ òðè частицы, òî выражåíèÿ
äëÿ âåðîятностей âûãлядят èíà÷å. Например, äëÿ 3-¼õ частичной
ðåêомбинации имеем
w
ir
= N
2
e
Z Z
v
1
v
2
σ
r
F (ε
1
)F (ε
2
) dε
1
dε
2
.
Здесь
σ
r
имеет размерность ñì
4
·
c, íî òàêæå называетсÿ сечением.
Òàêèì образом, получаем зависимости âåðîятностей
рассматриваемых процессов îò êонцентрации частиц (фотонов èëè
электронов):
ионизация:
w
ii
∼ N
e
3-¼õ частичная ðåêомбинация:
w
ir
∼ N
2
e
фотоионизация:
w
phi
∼ W (ω/T )
фоторекомбинация:
w
phr
∼ N
e
(1 + W (ω/T ))
ïîãлощение:
w
abs
∼ W (ω/T )
излучение:
w
em
∼ (1 + W (ω/T ))
возбуждение:
w
ex
∼ N
e
ãашение:
w
dex
∼ N
e
Выпишем приближ¼ííûå формуëû äëÿ âåðîятностей основных
элементарных процессов (èõ è áóäåì использовать â дальнейшем )
[1, 4, 5].
1. Столкновительная ионизация электрона ñ уровня
nl
äëÿ состоÿíèÿ
ks
â приближåíèè Лотца [6]:
w
ii
(ks → k + 1, s) = 1.28 · 10
16
N
nl
C
0
ω
E
1
(ω/θ)
(3)
ãäå
C
0
=
N
e
N
A
1
θ
1/2
, E
1
(x) =
∞
Z
x
e
−t
t
dt
7
θ = 36.75 · T · 10
−3
температура â атомных единицах,
ω = E
k+1,s
0
− E
ks
энергия перехîäà.
2. Тр¼хчастичная ðåêомбинация íà уровень
nl
â состоÿíèå
ks
:
w
ir
(k + 1, s
0
→ ks) = C
ks→k+1, s
0
w
ii
(ks → k + 1, s
0
)
(4)
ãäå
C
ks→k+1, s
0
= 0.704
g
ks
g
k+1, s
0
N
e
N
A
1
θ
3/2
e
ω/θ
3. Фотоионизация ñ уровня
nl
äëÿ состоÿíèÿ
ks
:
w
phi
(ks → k + 1, s
0
) = N
nl
u
ks→k+1, s
0
∞
Z
ω/θ
W (t)
t
dt
(5)
ãäå â приближåíèè Крамерса
u
ks→k+1, s
0
= 4.45 · 10
10
Z
ef
|ω|
3/2
2(2l + 1)
, Z
ef
= k + 1,
l
- орбитальный момент.
4. Фоторекомбинация íà уровень
nl
â состоÿíèå
ks
:
w
phr
(k + 1, s
0
→ ks) = C
ks→k+1, s
0
u
ks→k+1, s
0
∞
Z
ω/θ
e
−t
t
[1 + W (t)] dt
(6)
2.2.1 Ó÷åò òîíêîé структуры уровней
Äëÿ ó÷åòà òîíêîé структуры уровней ñêорости перехîäîâ между
óсредненными состояниями ñ îäíîé степенью ионизации имеем формуëû
(учитываем, ÷òî
E
ksγJ
< E
ks
0
γ
0
J
0
)
w
ks→ks
0
=
X
γJ ∈ks
X
γ
0
J
0
∈ks
0
g
ksγJ
g
ks
[w
ex
ks→ks
0
(γJ → γ
0
J
0
) + w
abs
ks→ks
0
(γJ → γ
0
J
0
)],
(7)
w
ks
0
→ks
=
X
γ
0
J
0
∈ks
0
X
γJ ∈ks
g
ks
0
γ
0
J
0
g
ks
0
[w
dex
ks
0
→ks
(γ
0
J
0
→ γJ) + w
em
ks
0
→ks
(γ
0
J
0
→ γJ)].
(8)
Здесь учтено, ÷òî состоÿíèå
ks
0
получаетсÿ èç состоÿíèÿ
ks
посредством îдноэлектронного перехîäà
nl → n
0
l
0
.
8