Численные методы расчета строительных конструкций. Учебное пособие

Глава 2. Расчет строительных конструкций

Рис. 2.6. Заданная система и конечно-элементная модель

Матрицы жесткости конечных элементов в локальной системе координат имеют вид

Направляющие косинусы:

для элемента 1 cos(α1) = 0,6; sin(α1) = 0,8;

для элемента 2 cos(α2) = 1; sin( α2) = 0 (система координат для стержня 2 совпадает с глобальной системой координат, поэтомуα2 = 0).

Матрицы преобразования координат для элементов 1 и 2 имеют следующий вид:

Матрицы жесткости конечных элементов 1 и 2 в глобальной системе координат, вычисленные по формуле (2.15):

31

А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций

Здесь для удобства дальнейших вычислений общие множители обеих матриц приведены к одному значению.

Номера строк и столбцов в матрице r10 – (1, 2, 3, 4), а в матрице r20 –(3,4,5,6),чтосоответствуетномерамузловыхперемещенийэтих конечных элементов.

Для построения матрицы жесткости конечно-элементной модели объединим две полученные матрицы в одну таким образом, чтобы реакциивсвязях,относящихсякобоимконечнымэлементам(этосвязи 3 и 4), суммировались. Полная матрица жесткости конечно-элемент- ной модели имеет вид

ПроцессобъединенияматрицжесткостивМКЭобычноназывают ансамблированием. Фактически он представляет собой суммирование коэффициентов матриц с одинаковыми номерами и запись их в соответствующие ячейки матрицы жесткости всей системы.

32

Глава 2. Расчет строительных конструкций

Определим реакции в связях конечно-элементной модели от нагрузки. Для этого вырежем узел, в котором приложена сосредоточенная сила P = 4 кН, и составим уравнения равновесия. Так как конеч- но-элементная модель фактически представляет собой основную системуметодаперемещений,тоусилиявстержняхотузловойнагрузки не возникают. Тогда реакции в связях

R1p,…, R3p = 0, R4p = 4, R5p, R6p = 0.

Система канонических уравнений МКЭ (в форме метода перемещений) для конечно-элементной модели принимает вид

Как отмечалось выше, при построении конечно-элементной модели изначально предполагается, что по направлению всех узловых связей могут возникать перемещения. Это означает, что конечно-эле- ментная модель не закреплена в каких-то конкретных точках. Для установленияэквивалентностиконечно-элементноймоделизаданной системе необходимо учесть граничные условия или условия опирания, то есть прикрепитьконечно-элементнуюмодель кнеподвижным точкам либо к земле так же, как прикреплена заданная система. Учет граничных условий математически осуществляется приравниванием нулюзаведомоотсутствующихвзаданнойсистемеперемещений.Для этого достаточно вычеркнуть из системы уравнений (2.16) строки истолбцы,соответствующиеэтимнулевымперемещениям.Врассматриваемой системе граничные условия имеют вид

33

А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций

и система уравнений с учетом граничных условий

Для определения усилий в стержнях воспользуемся выражением(2.14).Составимвекторыперемещенийконечныхэлементоввглобальной системе координат:

34

Глава 2. Расчет строительных конструкций

Векторы усилий в конечных элементах N1 и N2 содержат усилия в сечениях, расположенных на левом и правом концах конечного элемента. Перваястрокапредставляетсобойзначениепродольнойсилы, вторая строка – значение поперечной силы (соответствует второму перемещению при выводе матрицы жесткости конечного элемента). Третьяичетвертаястроки–тежеусилиядлясечения,расположенно- го на правом конце стержня.

2.7. Общая формула вычисления матриц жесткости

Выше было показано, как можно получить матрицу жесткости конечного элемента, задавая единичные перемещения вузлах и определяя соответствующие реакции в связях. Таким способом можно получить матрицы жесткости лишь для самых простых стержневых элементов, когда зависимость между усилиями и деформациями известна. Как правило, для большинства конечных элементов, используемых в расчетах сложных систем, зависимости между усилиями и деформациями не устанавливаются простыми формулами, и определить реакции в узловых связях из простых уравнений равновесия невозможно. В этом случае для вывода матрицы жесткости конечного элемента необходимо задать функцию, описывающую его напря- женно-деформированное состояние.

Выведем формулу, позволяющуювычислить элементы матрицы жесткости. Воспользуемся принципом возможных перемещений.

Дляопределенностирассмотримконечныйэлемент,показанный на рис. 2.7. Для этого конечного элемента в каждом узле будем учитыватьдвестепенисвободы:линейноеперемещение,перпендикулярное оси стержня, и угол поворота. Тогда матрица жесткости будет иметь порядок (4 × 4).

Для описания деформированного состояния такого стержня используем дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде

35

А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций

где Z(x) – функция прогибов стержня.

Так как функция Z(x) заранее не известна, необходимо задать ее так, чтобы она удовлетворяла уравнению (2.18). Подробно вопросы выбора функций и их параметров для различных дифференциальных уравнений можно найти в [1]. В данном случае функция, аппроксимирующая функцию Z(x), должна иметь не равные нулю производ- ныедо4-го порядкавключительно. Например,можнозадать этуфун-

l

Рис. 2.7. Изгибаемый стержневой конечный элемент с двумя степенями свободы в узле

Для вывода матрицы жесткости зададим по направлению узловых связейконечного элемента линейные иугловые единичные перемещения.Линейныеперемещенияможноопределитьнепосредственно по формуле (2.20). Для определения углов поворота продифференцируем (2.20) по x. Получим

36

Глава 2. Расчет строительных конструкций

Подставляя в (2.20) и (2.21) координаты левого и правого узлов стержня, составим выражения для единичных перемещений и углов поворота.Все перемещенияпоследовательнозапишемввидематрицы

откуда

[f ]= A−1.

ВкаждомстолбцематрицыZ0 записаныперемещения,заданные понаправлениюузловыхсвязейпоследовательно.Так,впервом стол-

бце z1 = 1, z2 = 0, z3 = 0, z4 = 0, во втором z1 = 0, z2 = 1, z3 = 0, z4 = 0 и т. д.

Дляопределениядеформацийстержнязапишемвыражениевторой производной функции перемещений:

Z′′ =W ′′[f ]= [0 1 2 6x] [f ],

(2.21′)

Z′′ = B A−1.

Работа внутренних сил на деформациях, соответствующих перемещениям Z0,

Подставляя в (2.22) выражение для Z′′ (2.21′), получим

Работа внешних сил определяется выражением (2.11) и в данном случае

U = r Z0 = r.

37

А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций

Приравнивая работу внешних и внутренних сил, получим окончательно для определения матрицы жесткости стержневого изгибаемого элемента (см. рис. 2.7) выражение

Операция транспонирования матриц в (2.23) обусловлена правилами матричной алгебры.

Формула (2.24), выведенная для изгибаемого стержня с двумя степенямисвободы в узле, в действительности можетбыть использована для получения матриц жесткости любого конечного элемента. Достаточно лишь подставить в (2.24) соответствующие выражения для перемещений и деформаций, а также дифференциальные зависимости между усилиями и деформациями [2].

Матрица жесткости, вычисленная по формуле (2.24) для положительныхнаправленийузловыхперемещенийпорис.2.7,имеетвид

Используя матрицу (2.25), можно решать задачи расчета статически неопределимых балок и рам. Однако для расчета рамных сис-

тем удо бн ееисп ользоватько н ечн ый элем ен т, п оказан н ый н арис. 2.1,в.

Матрицужесткостиэтогоконечногоэлементаможнополучить, объединив матрицы(2.1) и(2.25). Объединение этих матрицдает матрицу (2.26). Матрица жесткости изгибаемого стержня с шарнирным концом приводится в приложении.

38

Глава 2. Расчет строительных конструкций

2.8. Определение усилий

При расчете стержневых систем усилия в расчетных сечениях конечных элементов определяются по формуле (2.14) при помощи матрицы жесткости.

При расчете континуальных систем, например плит, усилия при выводе дифференциального уравнения изгиба предполагаются распределенными. Они вычисляются при помощи матрицы усилий, которую необходимо определять дополнительно.

Процессполученияматрицыусилийпродемонстрируемна примере стержневого элемента. В общем случае матрица усилийопределяется через матрицу жесткости бесконечно малого элемента C. Для стержневогоизгибаемогоэлементаC= EJ,дляшарнирно-стержнево- го элемента C = EF.

Для бесконечно малого элемента усилие S = C v. Деформации определяются по (2.21′): v = B A−1. Тогда усилия в конечном элементе

где N – матрица усилий;

Z – перемещения в узлах конечного элемента.

Элементы матрицы N в (2.27) зависят от координат точек, в которыхопределяютсяусилия. Можнозадать любыекоординатывпределах соответствующего конечного элементаи для этих точек вычислять усилия по выражению (2.27) [2].

39

А. В. Лебедев. Численные методы расчета строительных конструкций

Например, для изгибаемого стержня с двумя степенями свободы в узле изгибающие моменты определяются по формуле

M = EJ Z′′(x), а поперечные силы Q = dM dx . Подставляя в матри-

цуB (2.21)координатытрехрасчетныхсечений [0,l/2,l] изаписывая их последовательно по строкам, получим матрицу для вычисления изгибающих моментов и поперечных сил.

Последняя строка в матрице B (2.28) является выражением для поперечной силы, постоянной по длине стержня.

УмножаяматрицуN (2.29)навекторузловыхперемещений,можно определить изгибающие моменты в трех сечениях конечного эле-

мента(поконцамивсередине)ипоперечнуюсилу.Матрица A−1 (2.28) приводится в [2].

2.9. Приведение нагрузки к узлам

Важной особенностью метода конечных элементов, как и классического метода перемещений, является невозможность непосредственного учета нагрузок, приложенных вне узлов конечно-элемент- ной модели. Нагрузки, приложенные вне узлов, должны приводиться к узлам. Как показано в [2], замена распределенной нагрузки эквивалентной узловой может быть выполнена на основе равенства работ распределенной и узловой нагрузок.

Работа распределенной нагрузки q(x), приложенной к стержневому конечному элементу, определяется по формуле

40