Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы в уравнениях математической физики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

912 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________________

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В УРАВНЕНИЯХ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2016

УДК 53:519.61(075.8) Ч-671

Коллектив авторов:

М.Г. Персова, Ю.Г. Соловейчик, Д.В. Вагин, П.А. Домников, Ю.И. Кошкина

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. М.Э. Рояк канд. техн. наук, программист ОАО «Е4-СибКОТЭС» А.В. Волкова

Ч-671 Численные методы в уравнениях математической физи-

ки: учеб. пособие / М.Г. Персова, Ю.Г. Соловейчик, Д.В. Вагин, П.А. Домников, Ю.И. Кошкина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. – 60 с.

ISBN 978-5-7782-2971-6

Учебное пособие предназначено для студентов и магистрантов по направлению «Прикладная математика и информатика» и аспирантов по направлению «Информатика и вычислительная техника», а также других направлений, где используются методы математической физики. Пособие содержит теоретические материалы по применению методов конечных разностей, конечных объемов, конечных элементов и интегральных уравнений для решения задач, описываемых уравнениями математической физики. Рассматриваются методы построения аппроксимаций для стационарных, нестационарных и гармонических по времени задач. Отдельное внимание уделено методам решения нелинейных и обратных задач.

	УДК 53:519.61(075.8)
ISBN 978-5-7782-2971-6	© Коллектив авторов, 2016
	© Новосибирский государственный
	технический университет, 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Применение МКР и МКО для решения задач математической
физики.................................................................................................................	4
1.1. Разностные схемы для одномерных и многомерных задач......................	4
1.2. Метод конечных объемов............................................................................	8
1.3. Понятия аппроксимации, сходимости и устойчивости в МКР
и МКО..........................................................................................................	11
1.4. Понятие аппроксимации в МКЭ...............................................................	11
1.5. Явные и неявные схемы аппроксимации по времени.............................	12
2. Методы решения нелинейных задач...........................................................	18
2.1. Понятие о линейных и нелинейных задачах............................................	18
2.2. Метод простой итерации ...........................................................................	21
2.2.1. Схема метода....................................................................................	21
2.2.2. Останов итерационного процесса..................................................	22
2.2.3. Использование релаксации.............................................................	23
2.3. Метод Ньютона...........................................................................................	23
3. Гармонические по времени задачи..............................................................	30
3.1. Параболические и гиперболические задачи с гармоническими по
времени источниками.................................................................................	30
3.2. Методы решения СЛАУ, возникающих в гармонических задачах........	38
3.3. Связь нестационарной и гармонической задачи......................................	39
4. Задачи с сосредоточенными источниками.................................................	40
4.1. Понятие слабой постановки ......................................................................	40
4.2. Типы сосредоточенных источников.........................................................	42
5. Метод интегральных уравнений для решения многомерных задач.......	45
5.1. Понятие интегрального уравнения...........................................................	45
5.2. Примеры задач............................................................................................	48
6. Обратные задачи.............................................................................................	51
6.1. Понятие некорректно поставленной и обратной задачи.........................	51
6.2. Минимизация функционала невязки с использованием метода
Гаусса–Ньютона..........................................................................................	54
Библиографический список.................................................................................	59

1. ПРИМЕНЕНИЕ МКР И МКО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1.1.РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ

ИМНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ

Метод конечных разностей (МКР) основан на аппроксимации производных искомой функции u разностными соотношениями. Исполь-

зуя разложение u в ряд Тейлора в окрестности точки xi

ui h

1 2ui h2 1 3ui

o(h4 ) ,

(1)

i 1

2 x2

6 x3

ui h

1 2ui

1 3ui h3

o(h4 ) ,

(2)

i 1

2 x2

i 1

6 x3

i 1

где u j u (x j ) ,

x j 1 x j , можем получить выражения для аппрок-

симации первой производной с первым порядком:

ui 1	ui	u	o(h) ,	(3)
h		x
	i
ui ui 1		u	o(h) .	(4)
h	1	x
i	1

При использовании равномерного шага (hi hi 1 h) вычитанием (2) из (1) получаем

u	u	i 1	ui 2h o(h3 ) .	(5)
i 1		i 1	x
			x
			4

Для получения разностного соотношения, аппроксимирующего первую производную со вторым порядком, разделим предыдущее выражение на 2h :

ui 1 ui 1		ui o(h3 ) .	(6)
2h		x

Формула (3) – это правая разность, формула (4) – левая разность, формула (6) – двусторонняя разность.

Через конечные разности первого порядка рекуррентно могут быть определены разности второго и более высокого порядка, аппроксимирующие различные производные. На неравномерной сетке производная второго порядка может быть получена следующим образом.

Умножим (1) на hi 1 , а (2) на hi :

u h

h h

1 2u h2h

1 3u h3h

o(h4 ) ,

(7)

i 1 i 1

i i 1

2 x2

i i 1

6 x3

i i 1

1 2u

1 3u

ui 1hi uihi

hi 1hi

2 x2 hi 1hi

6 x3 hi 1hi

o(h

) .

(8)

Сложим полученные выражения:

u h

h u (h

h ) 1 2u h h

(h h

)

i 1

2 x2

i i 1

i 1

1 3u hihi 1 hi2

hi2 1 o(h4 ) .

(9)

6 x3

Разделим на

1 h h

h )

и найдем окончательное выражение для

2 i i 1

i 1

аппроксимации второй производной с первым порядком

i 1

o(h) .

(10)

hi (hi 1 hi )

hihi 1

hi 1

(hi 1 hi )

На сетке с равномерным шагом

u	2u	u	2u	o(h2 )	(11)
i 1	i	i 1	x2	o(h2 )	(11)
	h2		x2

и погрешность аппроксимации имеет уже второй порядок, если функция обладает ограниченной производной четвертого порядка [1].

Для многомерных задач используется формула Тейлора в следующем виде:

u x1 hx1 , ...,

xn hxn u(x1, ...,

xn ) hx j

u(x1,

..., xn )

j 1

x j

u(x1, ...,

xn ) ...

u(x1, ...,

xn )

j 1

k 1

hx j

u( 1,

...,

n ),

(12)

(k 1)!

j 1

где

hx j

–

приращения

соответствующих

аргументов;

hx j

;

функция

u(x ,

...,

x )

обладает

ограниченными

производными до (k 1) -го порядка включительно.

Пусть область двумерная и в ней определена регулярная прямо-

угольная сетка,

заданная координатами узлов x1 x2

... xn 1 xn и

y1 y2

... ym 1 ym .

Построим дискретный аналог для уравнения

u f .

(13)

Введем обозначения:

k x

(14)

hix

hix 1 hix

hixhix 1

hix 1 hix 1 hix

i 1

k y

, k y

(15)

hiyhiy 1

i 1

где hx x

, hy

y .

i 1

Тогда дискретный аналог уравнения (13) на неравномерной прямо-

угольной сетке может быть определен следующим образом:

k x u

1, j

k xu

i, j

k x u

k y u

i 1 i

i 1

i 1, j

j 1 i, j 1

k jyui, j

k jy 1ui, j 1

ui, j fi, j ,

(16)

где ui, j и fi, j – значения сеточной функции и правой части в узле сетки (xi , y j ) соответственно.

Присвоим каждому узлу сетки номер l ( j 1)n i , тогда выражение (16) можно привести к виду

kix 1ul 1 ul kix k jy kix 1ul 1 k jy 1ul n k jy 1ul n fl . (17)

Всего получается L (n 1)(m 1) разностных уравнений вида (17).

Эти разностные уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с пятидиагональной матрицей. На равномерной сетке данная разностная схема будет иметь второй порядок погрешности.

Учет краевых условий выполняется следующим образом. Для узлов, расположенных на границе S1 , на которых заданы краевые усло-

вия первого рода, диагональным элементам матрицы присваиваются значения единица, а соответствующим элементам вектора правой ча-

сти – значения функции ug в этом узле.

Если расчетная область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, то направление нормали

к границам S2 и S3 , на которых заданы краевые условия второго и третьего рода, совпадает с одной из координатных линий и тогда методы

аппроксимации производной по нормали	u	которая в этом случае

	dn
	dn

будет равна либо	u	, либо	u	сводятся к одномерным (3) и (4).

	x		y

1.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ

Основная идея метода конечных объемов (МКО), называемого также балансным методом, заключается в следующем. Расчетная область разбивается на элементарные объемы, и дифференциальное уравнение в краевой задаче заменяется интегральными балансными соотношениями для каждого из этих элементарных объемов.

При этом элементарные объемы, в которых интегробалансные соотношения заменяются своими дискретными аналогами, не являются ячейками дискретизации расчетной области. Ячейки дискретизации расчетной области характеризуются тем, что узлы сетки, в которых будут вычисляться значения решения u исходной краевой задачи, яв-

ляются, как правило, вершинами этих ячеек. Каждый же из элементарных объемов строится вокруг узлов сетки из отдельных частей ячеек дискретизации расчетной области, примыкающих к соответствующим узлам. После этого интегралы в интегробалансных соотношениях аппроксимируются с использованием значений искомой функции в узлах сетки или значений производных искомой функций, взятых из краевых условий. В результате получается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), решением которой является вектор значений искомой функции в узлах сетки.

Построим дискретный аналог эллиптической краевой задачи, определяемой уравнением


div( pgradu) u f ,					(18)
заданным в области (a, b)	с краевыми условиями
u			S1 ug ,		(19)


p		u		,	(20)

		n
				S2

p	u			u	S	u 0 ,	(21)


	n	S	3	3

в которых границами S1 , S2 и S3 являются либо точка а, либо точ-

ка b, либо пустое множество (если соответствующее краевое условие отсутствует в краевой задаче).

Нанесем на интервал (a,	b) сетку с узлами xk , удовлетворяющими
соотношениям: a x1 x2 ... xn 1 xn b . Узлы xk							разбивают рас-
четную область на (n 1)	ячейку k (xk ,			xk 1), k 1, ..., n –1.
					xk	xk 1
Обозначим через k левую половину xk				,				ячейки k ,
						2

		xk xk 1				ячейки k . Вокруг
			, xk 1
а через k – правую половину		2

каждого внутреннего узла xk (k 2, ..., n –1) построим элементарный

объем k , состоящий из двух половинок примыкающих к xk ячеек

. Соответствующие же граничным уз-

дискретизации

k 1

лам x1 и xn элементарные объемы 1

n будут состоять из одной

половинки ячеек и

. Разбиение расчетной

области

(a, b)

n 1

k и конечные объ-

на

ячейки

дискретизации

показано на рис. 1.

емы k

Рис. 1. Разбиение расчетной области (a, b) на ячейки дискретизации k и элементарные объемы k

Проинтегрируем уравнение (18) по каждому из элементарных объемов k . В результате получим n уравнений, которые имеют следующий вид:

div( p grad u)d

fd ,

k 1, ..., n .

(22)

Учитывая, что для внутренних узлов xk

(k 2, ..., n –1)

содержа-

щие

их

элементарные

объемы

имеют

вид

k k 1 k

xk 1 xk

xk xk 1

x1 x2

для

граничных

узлов

x1,

(для x1 )

xn 1 xn

(для xn ), а также то,

и n

, xn

что в одномер-

ном случае операторы div и grad имеют вид

, мы можем записать

систему (22) в виде

x1 x2

fdx ,

(23)

udx

xk 1/2

udx

fdx,

k 2,

..., n 1 , (24)

xk 1/2

udx

fdx ,

(25)

xn 1/2

где под

понимается точка

xk 1

, а под

–

соответ-

k 1/2

xk xk 1

ственно точка

. После вычисления интегралов в (23)–(25)

u )T

получим

СЛАУ

AU G для

вектора

U (u ,

...,

значений

искомой функции u в узлах сетки.

Более подробно обаспектах применения МКОможно прочитатьв [2].

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]