Формальные системы. Учебное пособие

Если для некоторой системы аксиом возможно выведение других аксиом с помощью применения правил вывода для данной системы, то эту аксиому можно исключить из списка аксиом системы и логическое исчисление при этом не изменится.

Определение 2.20.

Система аксиом называется независимой, если каждая аксиома системы независима.

Аксиома A называется независимой от всех остальных аксиом исчисления, если она не может быть выведена из остальных аксиом.

Для доказательства независимости аксиомы A проведем некоторую интерпретацию исчисления высказываний. При этом будем интерпретировать переменные исчисления высказываний как переменные, принимающие два значения (a, b), причем a – это истина, (a = 1) ,а b – это ложь (b = 0).

Операции конъюнкции, дизъюнкции и импликации определим с таким расчетом, чтобы соблюдались следующие условия:

––все аксиомы, кроме аксиомы A при всех значениях переменных принимают значение истинности;

––каждая формула, выводимая из совокупности всех отличных от A аксиом системы, также принимает значение истинности при всех значениях входящих в нее переменных;

––аксиома A принимает значение ложности только при некоторых значениях входящих в нее переменных.

Условимся, что формулы, в которых вместо переменных подставлены их конкретные значения, имеют логический смысл и принимают одинаковые значения при всех заменах, входящих в них переменных на a и b. В таком случае формулы становятся равными A = B. При этом знак равенства связывает слабее, чем логические связки по операциям конъюнкции, дизъюнкции и импликации.

Если выполняются перечисленные условия, то аксиомы независимы.

Контрольные вопросы

1.Понятие исчисление высказываний и алфавит исчисления высказываний.

2.Пропозициональная логика и пропозициональные связки контекстов в логике высказываний.

51

3.Понятие формулы и подформулы исчисления высказываний.

4.Определение доказуемой формулы, виды и способы доказуемости формул.

5.Система аксиом исчисления высказываний, и принципы их разделения на группы.

6.Основные и производные правила вывода в исчислении высказываний.

7.Понятие выводимости формулы из совокупности формул.

8.Основные теоремы и законы выводимости.

9.Теорема об истинности, выводимости и доказуемости формул в исчислении высказываний и связь с алгеброй высказываний.

10.   Проблемы разрешимости и непротиворечивости в исчислении высказываний.

11.   Проблемы полноты и независимости в исчислении высказываний.

52

3.ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

3.1.Основные понятия, связанные с предикатами

Валгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности. Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время в науке и практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, разделяет элементарное высказывание на субъект – подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения, и предикат – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения.

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании; а предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании «9 – простое число», «9» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «9» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число «9» переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х – простое число». При одних значениях х (например, x = 13, x = 17) эта форма дает истинные высказывания», а при других значениях х (например, x = 10, x = 18) эта форма дает ложные высказывания.

Эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной х, определенной на множестве N, и принимающей значения множества {1,0}.

Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Определение 3.1. Одноместным предикатом Р(x) называется произвольная функция одного переменного x, определенная на множестве M и принимающая значения из множества {1,0}.

Определение 3.2. Областью определения предиката называется множество M, на котором определен предикат Р(x).

Множество всех элементов x M , при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(x), т.е. множество истинности предиката Р(x) – это множе-

ство IP ={x:x M,P(x)=1}.

53

Например, предикат Р(x) – «x – простое число» определен на множестве N, а множество IP для него есть множество всех простых чисел. Предикат Q(x)−"sinx = 0" определен на множестве R, а его

множество истинности IQ ={kπ,k Z}. Предикат F(x) – «Диагонали параллелограмма x перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Определение 3.3. Предикат Р(x), определенный на множестве M,

называется тождественно истинным, если IP = M , или тожде-

ственно ложным, если IP = .

Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предметами.

Примером бинарного отношения или отношения между двумя предметами является отношение «меньше». Пусть это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно может быть охарактери-

зовано высказывательной формой "x < z", где x,y Z , т.е. является функцией двух переменныхP(x.y), определенной на множестве

Z ×Z с множеством значений {1,0}.

Определение 3.4. Двухместным предикатом P(x,y) называет-

ся функция двух переменных х и у, определенная на множестве

M= M1 ×M2 и принимающая значения из множества {1,0}.

Вкачестве примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты:

–– Q(x,y) – « x = y » предикат равенства, определенный на множе-

стве R2 = R ×R ;

–– F(x,y) – « x // y» прямая x параллельна прямой у, определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Аналогично определяется n-местный предикат.

Определение 3.5. Многоместным или n-местным предикатом

называется всякая функция n переменных Q(x1,x2,...,xn ), определен-

ная на множестве M = M1 ×M2 ×...×Mn и принимающая на этом множестве одно из двух значений: истина или ложь, т.е. {1,0}.

54

3.2. Логические операции над предикатами

Предикаты так же, как высказывания, принимают два значения – истина и ложь (1,0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов, где на некотором множестве М определены два одноместных предиката P(x) и Q(x).

Определение 3.6. Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикатP(x)& Q(x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях x M , при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинности предиката P(x)& Q(x) является общая часть областей истинности предикатов P(x) и Q(x), т.е. пересечение I p IQ . Например, для предикатов P(х): «х – четное число» и Q(x): «x кратно 3» конъюнкцией P(x)& Q(x) является предикат «x – четное число и х кратно 3», то есть предикат «x делится на 6».

Определение 3.7. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) на-

зывается новый предикатP(x) Q(x) , который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях x M , при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Ясно, что областью истинности предиката P(x) Q(x) является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), т.е. объединение I p IQ .

Определение 3.8. Отрицанием предиката P(х) называется новый предикат P(x) или P(x), который принимает значение «истина» при всех значениях x M , при которых предикат P(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях x M , при которых предикат P(х) принимает значение «истина».

Из этого определения следует, что

IP = M / IP =CIP .

Определение 3.9. Импликацией предикатов P(х) и Q(x) называет-

ся новый предикат P(x)→Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях x M , при которых одновременно P(х) при-

55

нимает значение «истина», a Q(x) – значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Так как при каждом фиксированном x M справедлива равносильность вида:

P(x)→Q(x)≡ P(x) Q(x),

то имеем

IP→Q = IP IQ =CIP IQ .

Кванторные операции

Пусть имеется предикат P(х), определенный на множестве M. Если a – некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х

впредикат P(x) превращает этот предикат в высказывание P(a). Такое высказывание называется единичным. Наряду с образованием из предикатов единичных высказываний в логике предикатов рассматриваются еще две операции, которые превращают одноместный предикат

ввысказывание.

1) Квантор всеобщности

Пусть Р(x) – предикат, определенный на множестве И. Под выражением xP(x) понимают высказывание, истинное, когда Р(x) истинно для каждого элемента x из множества M, и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение будет «Для всякого x Р(x) истинно». Символ называют квантором всеобщности.

Переменную x в предикате Р(x) называют свободной и ей можно придавать различные значения из M > a , в высказывании xP(x) переменную x называют связанной квантором всеобщности ( ).

2) Квантор существования

Пусть Р(x) – предикат, определенный на множестве M. Под выражением xP(x) понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент x M , для которого Р(x) истинно, и ложным в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение будет: «Существует x, при котором Р(x) истинно». Символ называют квантором существования. В высказывании xP(x) переменная x связана квантором существования .

56

Рассмотрим примеры употребления кванторов всеобщности x и существования x.

Пример 3.1. На множестве натуральных чисел M = M ×M задан предикат Р(x), означающий, что «Число x кратно 5». Для заданного предиката получить два новых высказывания, используя кванторные операции, и определить достоверность полученных новых высказываний.

Решение. Используя кванторы всеобщности и существования для данного предиката, имеем следующие два высказывания:

1) x M P(x), означающий, что «Все натуральные числа кратны

5» или xP(x)– «Любое x кратно 5», а это не верно, значит предикат

xP(x) = 0.

Таким образом, высказывание xP(x)будет истинным только тогда, когда сам предикат P(x)=1, т.е. тождественно истинный предикат.

2) x M P(x) или xP(x)означающий, что «Существует натуральное число, кратное 5». Действительно – это истинное высказывание и значит xP(x)=1.

Высказывание xP(x) считается ложным, когда предикатxP(x)= 0 , т.е. тождественно ложный предикат.

Кванторные операции применимы к многоместным предикатам. Например, на множестве R = R1 ×R2 задан двухместный предикат

Р(x, y).

Применение к данному предикату кванторных операций изменяет смысл предиката Р(x, y). Так, применение к предикату Р(x, y) квантора всеобщности по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату Р(x, y) одноместный предикат xP(x,y), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x.

Аналогично можно применить и квантор существованияxP(x,y), превращающий двухместный предикат Р(x, y) в одноместный предикат, зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x.

Применяя к полученным высказываниям xP(x,y) и xP(x,y) кванторные операции по переменной y, получим следующие новые высказывания:

y xP(x,y) y xP(x,y)y xP(x,y) y xP(x,y).

57

Пример 3.2. Рассмотрим предикат Р(x, y): « x: y », определенный на множестве R, где y является делителем x. Применение различных сочетаний кванторных операций к предикату Р(x, y) приводит к восьми возможным высказываниям. Определить логический смысл каждого высказывания.

Решение.

1)y xP(x,y) – «Для всякого «y» и для всякого «x» «y» является делителем «x». Данное высказывание – ложно.

2)y xP(x,y) – «Существует «y», которое является делителем «x». Данное высказывание – истинно.

3)y xP(x,y) – «Для всякого «y» существует «x» такое, что «x» делится на «y». Данное высказывание – истинно.

4)y xP(x,y) – «Существуют «y» и «x» такие, что «y» является делителем «x». Данное высказывание – истинно.

5)x y P(x,y) – «Для всякого «x» и для любого «y», «y» является делителем «x». Данное высказывание – ложно.

6)x yP(x,y) – истинно. «Для всякого «x» существует «y», такое что «x» делится на «y», которое является делителем «x». Данное высказывание – истинно.

7)x yP(x,y) – «Существует «x» такое, что для всякого «y», «x» делится на «y». Данное утверждение – ложно.

8)x y P(x,y) – «Существует такое «x» и такой «y», что «y» является делителем «x». Данное высказывание – истинно.

Ответ: из рассмотренных вариантов наглядно видно, что изменение порядка следования кванторов изменяет логический смысл высказывания и его логическое значение (высказывания (3) и (8)).

Рассмотрим предикат P(x), определенный на множестве M ={a1,a2,...,an}, содержащем конечное число элементов. Если предикат P(x) является тождественно истинным, то истинными будут вы-

сказывания P(a1), P(a2 ),...,P(an ). При этом истинными будут высказывание xP(x) и конъюнкция P(a1)& P(a2)&...& P(an ) .

xP(x)≡ P(a1)& P(a2 )&...& P(an ).

58

Нетрудно показать, что справедлива и равносильность

xP(x)≡ P(a1) P(a2 ) ... P(an ).

Отсюда видно, что кванторные операции можно рассматривать как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.

3.3.Понятие формулы предикатов

Влогике предикатов используется следующая символика:

1)Символы p, q, r – переменные высказывания, принимающие два значения: 1 – истина, 0 – ложь.

2)Предметные переменные – x, y, z ..., которые принимают значения из некоторого множества M :x0,y0,z0,... – предметные константы, т.е. значения предметных переменных.

3)P(•),Q(•)– одноместные предикатные переменные; a Q(•,•,...,•),

R(•,•,...,•)– n-местные предикатные переменные.

P0 (•),Q0 (•,•,...,•) – символы постоянных предикатов.

4)Символы логических операций: &, ,→, .

5)Символы кванторных операций: x, x.

6)Вспомогательные символы: скобки, запятые.

Определение 3.10. Формулой логики предикатов считается выска-

зывание, удовлетворяющее следующим условиям:

1)Каждое высказывание, как переменное, так и постоянное, является формулой, так называемой элементарной формулой.

2)Если F (•,•,..,•) n-местная предикатная переменная или постоянный предикат, а x1,x2,..,xn – предметные переменные или предметные постоянные (не обязательно все различные), то F(x1,x2,...,xn ) считается формулой. Такая формула называется элементарной, в ней предметные переменные являются свободными, не связанными кванторами.

3)Если A и B – формулы, причем такие, что одна и та же предметная переменная не является в одной из них связанной, а в дру-

гой – свободной, то слова A & B , A B , A → B есть формулы. В этих формулах те переменные, которые в исходных формулах были свободными, являются свободными, а те, которые были связанными, являются связанными.

59

4)Если A – формула, то A – формула, и характер предметных переменных при переходе от формулы A к формуле A не меняется.

5)Если A(x) – формула, в которую предметная переменная x входит свободно, то слова xA(x) и xA(x) являются формулами, при-

чем предметная переменная входит в них связанно.

Например, если P(x) и Q(x,y) – одноместный и двухместный предикаты, a q, r – переменные высказывания, то формулами будут следующие высказывания:

P(x) P(x)&Q(x0,y), xQ(x,y)→ P(x),

xP(x)→ xQ(x,y), (Q(x,y) q)→ r.

Из определения формулы логики предикатов ясно, что всякая формула алгебры высказываний является формулой логики предикатов.

3.4. Логическое значение формулы логики предикатов

О логическом значении формулы логики предикатов можно говорить лишь тогда, когда задано множество М, на котором определены входящие в эту формулу предикаты. Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значений трех видов переменных:

1)значений входящих в формулу переменных высказываний;

2)значений свободных предметных переменных из множества М;

3)значений предикатных переменных.

При конкретных значениях каждого из трех видов переменных формула логики предикатов становится высказыванием, имеющим истинное или ложное значение.

Пример 3.3. Определить истинность или ложность формулы

y z(P(x,y)→ P(y,z)).

Известно, что двухместный предикат Р(x, y) определен на множе-

стве M ×M , где M ={0,1,2,3,...,n,...} , и имеет значение: « x < y».

Решение. Рассмотрим заданную формулу двухместного предиката

Р(x, y):

60