Физика твердого тела. Лабораторный практикум. Учебное пособие

11

Из теории Дебая, помимо зависимости теплоемкости твердых тел от температуры, может быть оценена зависимость числа фононов от температуры. При низких температурах T θ это число растет пропорционально T 3 , а при приближении к температуре Дебая растет пропорционально T . Этот факт имеет большое значение при рассмотрении процессов столкновений других частиц с фононами (например, в теории электропроводности).

Следует отметить, что теория Дебая справедлива только для тел с простыми кристаллическими решетками, а к телам с более сложной структурой она неприменима.

1.3 Теория электропроводности металлов

1.3.1 Основные положения квантовой теории электропроводности Металлическое тело представляет для валентных электронов

потенциальную яму. Это связано с тем, что в узлах кристаллической решетки металла находятся положительно заряженные ионы, которые создают внутри металла поле с положительным потенциалом. Следовательно, электроны, обладающие отрицательным зарядом, имеют в этом поле отрицательную энергию. Если электрон удалить каким–либо образом из металла, то за его пределами на большом расстоянии он будет обладать нулевой потенциальной энергией. Так как энергия электронов в металле меньше, чем вне его, то они находятся в потенциальной яме.

Свободные электроны в металлах ведут себя подобно молекулам идеального газа, заключенного в некоторый сосуд. При этом стенками сосуда для электронов являются границы металла. Поэтому их называют электронным газом. Однако у электронов есть следующие отличия от молекул идеального газа: 1) они являются квантовыми частицами — фермионами, подчиняющимися принципу Паули; 2) они движутся в периодическом электрическом поле, созданном положительно заряженными ионами, располагающимися в узлах кристаллической решетки.

Из первого факта следует, что электроны в металлах подчиняются не

13

ni ={exp (Ei −εF )/ kT +1}−1 ≈exp (Ei −εF )/ kT −1 ≈exp(εF / kT )exp[−Ei / kT ].

Подобное распределение было получено в рамках классической статистики и носит название распределения Больцмана (рис. 1.6).

Температура, при которой выполняется εF <<kT, составляет для всех металлов десятки тысяч градусов Кельвина. Так как ни один металл не существует в твердом виде при таких температурах при нормальном давлении, то всегда можно считать электронный газ в металлах вырожденным. Это приводит к тому, что основные изменения в поведении электронов (изменения энергии и импульса электронов под влиянием

движется под воздействием внешнего поля так, как будто он обладает массой, отличающейся от массы свободного электрона. Её называют эффективной массой m*. Рассмотрим движение электронов под действием внешнего электрического поля в металле. Пусть в единице объема металла имеется n свободных электронов. Среднюю скорость этих электронов

называют дрейфовой скоростью: vдр = 1 ∑n vi . n i=1

Если внешнего электрического поля нет, то эта скорость равна нулю, если поле есть, то по закону Ома эта скорость должна быть пропорциональна напряженности внешнего поля. Из механики известно, что скорость установившегося движения пропорциональна внешней силе в том случае, когда на тело действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости тела: F тр = −r vдр . Электроны проводимости ведут себя как частицы с эффективной массой m*. Поэтому уравнение движения для электрона можно записать в виде

Уравнение (1.5) позволяет найти значение установившейся дрейфовой скорости. При E =0 из предыдущего уравнения получим

e раз. Тогда установившееся значение дрейфовой скорости может быть

электропроводностью σ = ne2τ . m*

В классической теории электропроводности считается, что время между столкновениями электронов можно определить как τ = λu , где λ – длина свободного пробега электронов, а u – скорость теплового движения, при этом длина свободного пробега определяется в основном столкновением электронов с узлами кристаллической решетки. Но согласно квантовой теории электроны проявляют волновые свойства и не сталкиваются с решеткой, если в ней нет нарушений периодичности.

При этом колебания ионов в узлах кристаллической решетки (тепловое хаотическое движение) могут быть учтены как взаимодействие электронов с фононами. При высоких температурах (выше температуры Дебая для данного вещества) концентрация фононного газа прямо пропорциональна абсолютной температуре. Так как длина свободного пробега электронов определяется их рассеянием на фононах, то, следовательно, она обратно пропорциональна их концентрации и температуре:

При низких температурах основным фактором, определяющим длину свободного пробега электронов в проводниках, является их рассеяние на ионизированных примесях. Точный расчет дает в этом случае, что длина свободного пробега для этого взаимодействия не зависит от температуры, но зависит от концентрации примеси.

15

Для вырожденного электронного газа вместо скорости теплового движения в формуле для времени свободного пробега должна стоять

дефектами решетки, не зависит от температуры. Слагаемое, связанное с колебаниями решетки, прямо пропорционально температуре в области температур, приблизительно равных или выше температуры ДебаяθD , так как концентрация фононного газа прямо пропорциональна температуре. При очень низких температурах, когда концентрация фононного газа

Рис. 1.7

становится меньше концентрации примесей, удельное сопротивление становится величиной постоянной и зависит от количества примеси (рис. 1.7).

В переходной области согласно теории Дебая концентрация фононов пропорциональна T 3 и средний импульс фонона в этой области температур pф T , а потери энергии электроном при столкновении с

фононом pф2 . Обобщая указанные зависимости, получаем, что в области температур значительно ниже температуры Дебая θD , но при концентрации

16

фононов выше концентрации примеси, удельное сопротивление прямо пропорционально T 5.

1.3.2Концентрация электронов проводимости в металлах Проводимость металлов зависит от концентрации электронов. Ее

можно рассчитать теоретически, используя распределение Ферми – Дирака и плотность состояний – количество энергетических уровней, которые может занять электрон в узком диапазоне энергий от E до E + dE . Плотность состояний в фазовом пространстве определяется выражением

Рис. 1.8

4πp2dp – объем сферического слоя в пространстве импульсов (рис. 1.8). Подставляя (1.9) в (1.8), получаем:

17

Используя связь между энергией и импульсом p2 = 2m E и dp = (m p)dE , p2 dp = 2m Em dE и подставляя эти выражения в (1.10), получаем

Используя (1.11), находим количество состояний, соответствующих интервалу энергии dE :

Это соотношение можно использовать для нахождения энергии уровня Ферми как функции от температуры и концентрации. Например, при Т=0 интеграл (1.14) легко берется в пределах от нуля до энергии Ферми при нулевой температуре εF (0) , что позволяет получить выражение

где m* – эффективная масса электрона в кристалле.

Для зависимости энергии Ферми от температуры можно получить приближенное выражение

Распределение электронов по энергиям в зоне проводимости можно получить, умножив f(E) на плотность состояний g(E): F(E) = f (E) g(E) . Функция F(E) численно равна концентрации электронов в единичном интервале энергий, а произведение F(E)dE – концентрации электронов в интервале энергий от E до E + dE :

18

Рис. 1.9

dE

График функции F(E) представлен на рис.1.9.

На рисунке 1.9 за ноль принята энергия дна потенциальной ямы. Интеграл от функции F(E) по всем значениям энергий, которые могут иметь электроны в зоне, равен концентрации электронов проводимости в металле:

Выражение (1.18) можно использовать как условие нормировки при Т=0 с целью определения μ0 = εF .

1.3.3 Энергия Ферми Параметр μ называется химическим потенциалом, который можно

определить как изменение полной энергии системы при изменении числа ее частиц на единицу. При температуре, равной абсолютному нулю, электроны, согласно принципу Паули, последовательно занимают все состояния с наименьшей энергией. Наибольшая энергия, которой обладают электроны при Т = 0, называется энергией Ферми, а уровень,

19

соответствующий этой энергии, - уровнем Ферми εF . Если отсчитывать энергию εF от дна зоны проводимости, то она совпадает со значением химического потенциала при абсолютном нуле μ0 (μ0 = εF ). При Т = 0 график f (E) имеет вид "ступеньки" f(E) = 1, если μ0 > E , и f(E) = 0, если μ0 < E . При Т > 0 ступенька размывается, причем при μ0 = E кривая проходит через значение, равное 0,5 (рис. 1.5). Химический потенциал μ слабо зависит от температуры (1.16), и часто этой зависимостью пренебрегают, считая μ =μ0 = εF .

Однако при рассмотрении контактных явлений в металлах изменение химического потенциала с температурой имеет принципиальное значение. Разницу между μ и μ0 следует сопоставлять с областью размытия функции

Концентрация электронов проводимости n в металлах лежит в пределах

1022 - 1023 см-3. Взяв n = 5•1022 см-3 и m = 9•10-31 кг, получим μ0 = 5 эВ.

1.3.4 Сверхпроводимость Для некоторых металлов и сплавов при низких температурах может

наблюдаться явление сверхпроводимости. В 1911 году Камерлинг–Онесс

Рис. 1.10

открыл явление сверхпроводимости. Измеряя сопротивление ртути при понижении температуры, он обнаружил, что при температуре 4,15 К оно скачкообразно обращается в нуль. Впоследствии было обнаружено сходное

20

поведение других материалов при соответствующих температурах (рис. 1.10). В настоящее время открыто большое количество материалов и сплавов, для которых наблюдается явление сверхпроводимости. В том числе открыто некоторое число материалов, в которых эффект сверхпроводимости возникает при достаточно высоких температурах, вплоть до 250 К, при повышенных давлениях.

Объяснение явления сверхпроводимости основано на сложной квантовомеханической теории (теория БКШ), что выходит за пределы данного пособия. Можно только отметить, что вместе со сверхпроводимостью у этих веществ наблюдаются сопутствующие явления, такие как: вытеснение магнитного поля из сверхпроводника (эффект Мейснера), скачкообразное изменение теплоемкости и т.д.

1.3.5 Контактная разность потенциалов Энергия валентных электронов внутри металла меньше, чем вне

металла, на глубину потенциальной ямы εp0 . Изменение потенциальной

энергии происходит на расстоянии, сопоставимом с межатомным расстоянием, поэтому стенки потенциальной ямы можно считать вертикальными. Выражение для глубины потенциальной ямы может быть записано в виде εp0 = −eϕм , где ϕм - потенциал поля внутри металла. При

Рис. 1.11

сообщении металлу положительного или отрицательного заряда его потенциал изменится согласно принципу суперпозиции полей. В результате этого изменится и форма потенциальной ямы (рис 1.11).