Задача №3. Алгоритм шифрования rsa.

Сгенерируйте открытый и закрытый ключи в алгоритме шифрования RSA, выбрав простые числа p и q из первой сотни. Зашифруйте сообщение, состоящее из ваших инициалов: ФИО.

Решение

I.Генерация ключей.

Выберем два простых числа р = 17 и q = 23

Тогда модуль

n = p*q=17*23 = 391

и функция Эйлера

(n) = (p-1)*(q-1) = (17-1)*(23-1)=16*22=352.

Закрытый ключ d выбираем из условий d < (n) и d взаимно просто с (n), т.е. d и (n) не имеют общих делителей.

Пусть d = 41.

Открытый ключ e выбираем из условий e<(n) и de=1(mod (n)): e<352,

41e=1(mod 352).

Последнее условие означает, что число 41e-1 должно делиться на 352 без остатка.

Таким образом, для определения e нужно подобрать такое число k, что

41e-1 = 352 k.

При k=29 получаем 41e=10208+1 или

e=249.

Получаем

(249, 391) – открытый ключ (KU),

( 41, 391) – секретный ключ (KR).

II. Шифрование.

Представим шифруемое сообщение «ГИН» как последовательность целых чисел. Пусть буква «Г» соответствует числу 22, буква «И» - числу 4 и буква «Н» - числу 9.

Зашифруем сообщение, используя открытый ключ (249, 391):

С₁ = (22²⁴⁹) mod 391= 114

С₂ = (4²⁴⁹) mod 391=123

С₃ = (9²⁴⁹) mod 391= 349

Таким образом, исходному сообщению (22, 4, 9) соответствует криптограмма (114, 123, 349).

III. Расшифрование

Расшифруем сообщение (114, 123, 349), пользуясь секретным ключом (41, 391):

М₁ = ( 114⁴¹) mod 391=22

М₂ = (123⁴¹) mod 391= 4

М_З = ( 349⁴¹) mod 391=9

В результате расшифрования было получено исходное сообщение (22, 4, 9), то есть "ГИН".

Задача №4. Функция хеширования.

Найти хеш–образ своей Фамилии, используя хеш–функцию , гдеn = pq, p, q взять из Задачи №2.

Решение

Хешируемое сообщение «ГАЗИЗОВ». Возьмем два простых числа p=17, q=23. Определим n=p*q=17*23=391. Вектор инициализации выберем равным 9 (выбираем случайным образом). Слово«ГАЗИЗОВ» можно представить последовательностью чисел 4, 1, 11, 9, 21, 13, 13) по номерам букв в алфавите. Таким образом,

n=391, H₀=9, M₁=22, M₂=1, M₃=11, M₄=9, M₅=21, M₆=13.

Используя формулу

,

получим хеш-образ сообщения «ГАЗИЗОВ»:

H₁ = (H₀+M₁)² mod n = (9 + 22)² mod 391 = 961 mod 391=179

H₂ = (H₁+M₂)² mod n = (179 + 1)² mod 391 = 32400 mod 391= 338

H₃ = (H₂+M₃)² mod n = (338 + 11)² mod 391 = 121801 mod 391= 200

H₄ = (H₃+M₄)² mod n = (200 + 9)² mod 391 = 43681 mod 391= 280

H₅ = (H₄+M₅)² mod n = (280 + 21)² mod 391 = 90601 mod 391= 280

H₆ = (H₅+M₆)² mod n = (280 + 13)² mod 391 = 85849 mod 391= 220

H₇ = (H₆+M₇)² mod n = (220 + 13)² mod 391 = 54289 mod 391= 331

В итоге получаем хеш-образ сообщения «ГАЗИЗОВ», равный 361.

Задача №5. Электронная цифровая подпись.

Используя хеш-образ своей Фамилии, вычислите электронную цифровую подпись по схеме RSA.

Решение

Хеш-образ Фамилии равен 361, а закрытый ключ алгоритма RSA равен (41, 391). Тогда электронная цифровая подпись сообщения, состоящего из Фамилии, вычисляется по правилу

s = 361 ⁴¹ mod 391 = 242.

Для проверки ЭЦП, используя открытый ключ (249, 391), найдем

H = 242 ²⁴⁹ mod 391 = 361.

Поскольку хеш-образ сообщения совпадает с найденным значением H, то подпись признается подлинной.