Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

ведением цифр. Какова вероятность того, что игроку хватит не более трех попыток, чтобы произведение цифр его кода совпало с исходным? Как изменится эта вероятность, если известно, что игрок сначала ввел код, начинающийся с нуля, и произведение цифр не совпало?

Решение. С кодами мы уже неоднократно имели дело, поэтому излишним будет снова вдаваться в объяснения о том, какое определение вероятности здесь будет использоваться. Конечное число возможных исходов говорит о том, что классическое определение здесь наиболее уместно.

Рассмотрим событие Ai ={в i -й попытке произведение цифр случайного кода совпало с произведением цифр исходного кода}. Нам будет также интересно и противоположное событие Ai , состоящее в

том, что произведение цифр не совпало. И вероятности этих двух событий, как обычно, связаны соотношением

P Ai 1 P Ai .

Исходя из условий задачи достаточно рассмотреть i 1,2,3. В за-

даче нужно сначала найти вероятность события A ={произведение цифр кода, введенного игроком, совпадет с исходным после не более чем трех попыток}. Иными словами, хотя бы в одной из трех попыток (с первой либо со второй, либо с третьей) игрок угадает произведение цифр. Когда в формулировке события есть «хотя бы в одном из», то удобнее перейти к событию «ни в одном», т. е. к противоположному.

Рассмотрим противоположное событие A ={произведение цифр кода, введенного игроком, не совпало с исходным ни в одной из трех попы-

ток}. Такое событие можно представить как пересечение A1 A2 A3,

поскольку несовпадения должны произойти одновременно. Тогда искомую вероятность события A можно найти как

P(A) 1 P A 1 P A1 A2 A3 .

Заметим, что в предыдущей задаче 2.10 мы уже имели дело с угадыванием кода за несколько попыток. Но в текущей задаче условия отличаются тем, что угадывается не код, а произведение цифр кода, которое нельзя считать равновероятным. Действительно, очевидно, что если код содержит ноль, то произведение всегда будет равно нулю вне

71

зависимости от других пяти цифр, содержащихся в коде. Тем самым очевидно, что вероятность того, что произведение цифр равно нулю значительно больше вероятности реализации какого-то другого произведения.

Из неравной возможности реализации произведений цифр кода следует, во-первых, то, что в задаче необходимо учитывать именно шансы угадывания произведения, т. е. оперировать вероятностью того, что произведение цифр окажется равным определенному значению. Во-вторых, в тех задачах, где возможные варианты были равновероятны, например в задаче 2.1 со случайными списками студентов, мы могли считать список любым, в частности, мы зафиксировали его как последовательность натуральных чисел (по условию из 7 человек – от 1 до 7). Мы также могли зафиксировать его от 2 до 8 или в виде любой возможной комбинации 7 чисел из 25 возможных. Это никак не сказалось бы на решении задачи (что объяснено в задаче 2.1), поскольку исходы равновозможны. Иное дело, если шансы различаются (как с произведением цифр). Мы с этим сталкивались, например, в задаче 2.6, где заданное число влияло на возможную продолжительность подбрасывания кубика. Поэтому там пришлось вводить гипотезы о том, какое именно число загадано. В текущей задаче придется поступить также.

Пусть Hk ={исходный код имеет произведение цифр, равное vk }, k 1, ,K , где K – число уникальных произведений кодов из шести

цифр от 0 до 9 (цифры не повторяются).

С использованием введенных гипотез вероятность события A можно представить по формуле полной вероятности как:

K

P A 1 P A1 A2 A3 1 P Hk P A1 A2 A3 | Hk . k 1

Перейдем к поиску вероятностей P Hk , т. е. восстановим распре-

деление произведения цифр случайного кода. Для начала определим, сколько всего кодов возможно. У нас 10 цифр, код состоит из 6, цифры не повторяются, значит, выборка без возвращения. Порядок цифр нам не важен, поскольку от перемены мест сомножителей произведение не

поменяется. Тогда нужно найти число сочетаний C106 6!4!10! 210. Это общее число исходов.

72

Определим число исходов, благоприятных произведению v1 0 . Для того, чтобы событие H1 имело место, код должен содержать ноль.

Остальные пять цифр могут быть любыми из оставшихся девяти цифр. Тогда число кодов, содержащих ноль, равно числу способов вынуть пять элементов из девяти без возвращения и без учета порядка:

C95 5!4!9! 126. Значит, P(H1) 126210 0,6. Тем самым в 60 % случаев произведение цифр случайного кода будет равно нулю! Неудивительно, что код на самом деле загадывался случайно. Наилучшей стратегий игрока будет ввести код с нулем, тогда шансы угадать произведение составят 6 к 4.

Но кроме случая с нулем произведения цифр могут совпадать еще для некоторых кодов. Для того чтобы определить, для каких именно, найдем пары различных цифр, дающих одинаковые произведения. Это легко сделать, если взять обычную тетрадку в клеточку (хотя это уже раритет), где на обратной стороне обложки есть таблица умножения. В табл. 19 приведены все возможные такие пары. Представим, что один код содержит цифры 2, 3, а другой 1, 6, тогда произведение их цифр будет одинаковым, если другие четыре цифры этих кодов совпадут. Поскольку уже использовано четыре цифры (2, 3, 1, 6), цифру 0 мы исключаем из рассмотрения, чтобы не получилось нулевое произведение, остается пять возможных цифр, которые нужно разместить на

четырех незаполненных позициях кода, т. е. C54 5 вариантов кода. Поясним это на примере. У нас есть два кода:

произведения цифр которых равны 6 X1 X2 X3 X4. Поскольку циф-

ры в коде не должны повторяться и произведение не должно обнулиться, то X1,X2, X3, X4 могут принимать любые четыре значения из

оставшихся цифр: 4, 5, 7, 8, 9. Набор таких значений можно сформировать, поочередно исключая одну из цифр, т. е. существует пять возможных способов.

Понятно, что при разном наборе X1,X2,X3,X4 код будет иметь разное произведение 6 X1 X2 X3 X4, поскольку цифры не могут повторяться.

73

Таблица 19

Число кодов, которым соответствует ровно один код с таким же произведением цифр

Вероятность реализации произведения цифр таких кодов равна 2102 , поскольку всего два кода имеют одинаковое произведение

цифр. Из того, что всего пять пар цифр, дающих одинаковое произведение (табл. 19), и каждая соответствует пяти вариантам кодов, должно

быть 25 произведений с вероятностью реализации 2102 . Но это не так!

Есть еще варианты кодов, в которых более двух разных (не повторяющихся одновременно во всех кодах) цифр дают одинаковое произведение. Обозначим это подмножество кодов как L . Коды, входящие в подмножество L , приведены в табл. 20. Здесь подсчитана и вероятность реализации каждого произведения как отношения числа благоприятных исходов (возможных кодов с заданным произведением) к общему числу исходов.

Легко заметить (табл. 20), что часть кодов подмножества L включают пары цифр, приведенные в табл. 19. Подсчитаем, сколько существует повторений для каждой пары цифр. Например, виду (20) удо-

влетворяют коды с произведением v2 7560 и v3 15120. Однако коды с произведением v4 5040, хотя и содержат 1, 6 и 2, 3, но виду (20) не удовлетворяют, поскольку остальные цифры X1,X2,X3,X4 не

должны включать 1, 2, 3, 6, а код 1, 3, 6, 8, 5, 7 включает 3. Тем самым имеем по два повторения для каждого кода вида (20). Это отражено в табл. 19 как число кодов из подмножества L . Теперь, исключив эти

74

повторяющиеся два кода из пяти возможных, получим общее число пар кодов, дающих одинаковое произведение. Для пар 2, 3 и 1, 6 это будет три варианта. Подсчитаем аналогично варианты для остальных пар цифр. Результаты приведены в табл. 19. Собственно, нас не интересует, какие именно это коды и какое произведение они дают. Главное, мы узнали, что существует суммарно 3 + 2 + 5 + 4 + 3 = 17 пар кодов с одинаковым произведением. Пронумеруем эти произведения от 6

до 22. Поскольку каждому произведению v6, ,v22 соответствует

Очевидно, что все оставшиеся коды имеют уникальное неповторяющееся произведение и вероятность его реализации равна 2101 .

Сколько же кодов у нас осталось? Всего 210 вариантов, 126 из них имеют нулевое произведение цифр, у 11 кодов из табл. 20 произведения повторяются, и есть еще 17 пар кодов (табл. 19), т. е. 34 кода, у которых тоже повторяются произведения цифр. Тогда 210 – 126 –

– 11 – 34 = 39 кодов имеют уникальное произведение цифр v23, ,v61,

вероятность реализации которого составляет P(H j ) 2101 . Сформиру-

75

ем таблицу распределения вероятностей произведения цифр случайно-

Аналогичный результат можно получить в среде R путем генерации всех комбинаций шести элементов из десяти (от 0 до 9), расчета произведения цифр для каждой комбинации и построения таблицы частот с помощью функции table (код в прил. И).

Теперь найдем условные вероятности P A1 A2 A3 |Hk три раза

подряд не угадать произведение цифр при условии, что для исходного кода оно равно vk . Стоит заметить, что попытки угадывания кода

нельзя считать независимыми, поскольку игрок после неудачи не вводит код с тем же произведением цифр, тем самым он сокращает число возможных вариантов кода, из которых он выбирает, и условия экспе-

римента меняются. Рассмотрим события A1 A2 ={произведение цифр

не совпало и в первой, и во второй попытке} и A3, вероятность их пе-

ресечения можно выразить с помощью формулы пересечения зависимых событий:

P A1 A2 A3 |Hk P A1 A2 |Hk P A3 | A1 A2 Hk .

Введем ряд предположений относительно того, какой именно код вводит игрок. Пусть событие B(1)j ={на первой попытке введен код с

произведением цифр, равным vj , j 1, ,61, Bl(2) ={на второй попытке введен код с произведением цифр, равным vl }, l 1, ,61.

76

Мы рассматриваем редуцированное пространство исходов, зафиксировав произведение цифр исходного кода равным vk . При этом

условии событие A1 означает, что игрок вводит некоторый код с любым возможным произведением vj , отличным от vk , j 1, ,61,

j k . Значит, событие A1 можно представить как объедение введен-

ных гипотез B(1)j . j k

Теперь снова сузим пространство исходов: пусть в первый раз игрок ввел какой-то конкретный код B(1)j , при этом j k . Напомним, что если в первый раз вводился код с произведением цифр v j vk , то

на второй попытке уже не будет вводиться код с таким произведением. Тогда выбор игрока при второй попытке будет ограничиваться воз-

можными кодами, произведение цифр которых отлично от vj . Поэтому в редуцированном пространстве B(1)j Hk событие A2 означает,

что выбран любой код с произведением цифр vl , отличным от vk и от vj . Тогда вероятность не угадать произведение vk с двух попыток подряд можно представить следующим образом:

Это означает, что нужно рассмотреть все возможные комбинации из двух кодов с разным произведением цифр, отличающимся от vk . С

учетом введенных гипотез событие A1 A2 Hk можно разбить на несовместные исходы B(1)j Bl(2) Hk . Тогда условную вероятность не угадать код с трех попыток можно выразить как

P A1 A2 A3 | Hk

77

Вероятности в полученном выражении легко найти с использованием таблицы распределения произведения цифр кода (табл. 21). Предполагается, что генерация исходного кода и ввод кода игроком это случай-

ные и независимые события, поэтому P B(1)j | Hk P B(1)j – это веро-

Если на первой попытке введен код с произведением v j vk , то на

второй попытке мы имеем дело с редуцированным пространством исходов. Число всех исходов сокращается до 210 m j . Из них событию

Bl(2) благоприятно ml исходов:

210 m j ml . Благоприятных событию A3 исходов останется только 210 m j ml mk . Значит,

P A3 |B(1)j Bl(2) Hk 210 mj ml mk .

210 mj ml

В итоге получаем, что

В результате получаем итоговое соотношение для искомой вероятности события A :

78

Для того чтобы рассчитать вероятность по полученной формуле, необходимо подсчитать слишком много слагаемых тройной суммы, а именно 61 · 60 · 59 = 215 940. В принципе, для среды R это приемлемый объем. В прил. И приведен программный код. Чтобы избежать использования вложенных циклов, которые действительно очень медленно будут работать на таком объеме вычислений, изначально гене-

рируются все возможные комбинации значений mk , m j , ml , а затем

на этом массиве вычисляются необходимые слагаемые с использованием векторизованных функций.

Однако расчет можно и упростить, если заметить, что число благоприятных исходов принимает ограниченное число повторяющихся значений. В табл. 22 можно увидеть, что всего уникальных значений

четыре. Обозначим уникальные значения как mk* . В табл. 22 также приведены частоты nk – число повторений значенияmk* .

где nkjl – число повторений уникальных наборов числа благоприятных

исходов mk* , m*j , ml* . Заметим, что в этих наборах перестановки существенны, т. е., например, m1* , m2* , m3* и m2* , m1* , m3* – это разные

79

наборы, поскольку они приводят к разному результату при расчете по формуле.

Определим, сколькими способами можно сформировать набор из трех элементов mk* , m*j , ml* имеющегося множества повторяющихся элементов (табл. 22). Поскольку элементы повторяются, то мы можем вынимать один и тот же элемент несколько раз, кроме m1* 126, кото-

рый встречается только один раз. Сколько вариантов для наборов, содержащих 126? Допустим, позиция 126 фиксирована, тогда на остальных двух мы можем разместить 1, 2 или 3 с повторениями и переста-

новками, т. е. всего 32 варианта. И 126 можно разместить на трех по-

зициях, следовательно, всего таких наборов 33 27 .

С остальными числами проще, они могут повторяться сколько угодно раз. Перестановки для нас важны, значит, нужно определить число размещений с повторениями из трех элементов на трех позици-

ях. Получаем 33 27 . Итого общее число наборов mk* , m*j , ml* со-

ставляет 54. В табл. 23 приведены такие наборы с точностью до перестановки.

Таблица 23

Для того чтобы подсчитать, сколько раз повторяется каждый набор, нужно учесть частоту nk каждого уникального значения. Рас-

чет приведен в табл. 23. Поясним некоторые моменты. Например, набор 126, 1, 1 означает, что произведение цифр исходного кода равнялось нулю (126 – число благоприятных исходов для нуля), при первой попытке игрок ввел код, произведение цифр которого уникально

80