Теория вероятностей и математическая статистика в 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

ном пространстве. В этом случае используется геометрическое определение вероятности. Поскольку мишень представлена в двумерном пространстве, то необходимо взять отношение площади i -го кольца ми-

шени к площади всей мишени.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче о мишени

Площадь круга радиуса r определяется как r2. Радиус (половина диаметра) i -й окружности равен 5i см. Тогда площадь каждого круга можно найти как

Si 25 i2 , i 1, ,5.

Площадь первого кольца будет равна S1. Для того чтобы найти площадь i -го кольца при i 2, ,5, нужно от площади i -го круга отнять площадь i 1 -го круга. Это пояснено на рис. 3, б на примере

31

В табл. 5 приведены полученные вероятности всех возможных исходов. Легко убедиться, что сумма вероятностей равна 1. Кроме того, очевидно, исходы не равновозможны, вероятность попадания в кольца увеличивается при приближении к краю мишени. Понятно, в яблочко попасть труднее всего, поэтому за это и дается больше очков.

Заметим, правда, что в задаче не идет речи о том, что стрелок старается прицеливаться и с каждым выстрелом, так сказать, набивает руку. Наоборот, выстрелы случайны и независимы. Случайная пальба здесь очень важна, иначе мы не имели бы права использовать геометрическое определение вероятностей, предполагающее, что точки в области равноправны и стрелок с равной вероятностью может попасть в любую точку. Казалось бы, на практике все иначе: если за попадание в центр дается больше очков, то и стрелок будет целиться в яблочко. Получается, как будто предположение о случайной и независимой стрельбе не имеет практического смысла. Но это не совсем так. Иногда полезно сравнить реальные результаты стрелков со случайными, чтобы понять, стреляют ли они лучше, чем если бы просто случайно палили по мишени. Вот замечательная шутка [8, с. 43], иллюстрирующая эту мысль.

Гений по случаю. Однажды Энрико Ферми спросил генерала Лесли Гровса, многие ли генералы заслуживают эпитета «великий». Гровс ответил, что великими можно назвать примерно трех генералов из сотни и что это люди, наделенные особым военным гением. Неугомонный Ферми попросил тогда определить точнее, какого генерала можно назвать великим.

«Ну, – сказал Гровс, – великим наверняка можно назвать генерала, который одержит пять побед подряд в пяти крупных сражениях».

«Так, хорошо, – продолжал Ферми, – попробуем подсчитать. Предположим, что на большинстве театров военных действий силы против-

32

ников обычно примерно равны. В таком случае вероятность выиграть одно сражение для каждого генерала – один шанс из двух; вероятность победы в двух битвах подряд – один шанс из четырех… а и вероятность победы в пяти сражениях подряд – один шанс из тридцати двух».

«Да, генерал, Вы правы – из ста генералов примерно три должны быть великими. Я только не пойму, причем тут гений – это же чистая теория вероятностей!».

Эта история еще намекает, в каком направлении мы дальше продолжим вычисления. Поскольку выстрелы по мишени производятся независимо, то для определения, например, вероятности того, что стрелок семь раз подряд попадал в яблочко, нужно семь раз перемно-

жить вероятность такого однократного попадания, равную 125. Ана-

логично, чтобы в серии выстрелов определить вероятность попадания в некоторую комбинацию номеров колец, нужно перемножить вероятности попадания в каждый из номеров, входящих в эту комбинацию.

Тогда вероятность некоторого элементарного исхода в серии из семи выстрелов по мишени вычисляется как

k1 1, ,5,k2 1, ,5, ,k7 1, 5.

Количество таких элементарных исходов равно числу размещений с повторениями из пяти элементов на семи позициях, т. е. 57 78125. Однако эти исходы не равновозможны. Это очевидно, поскольку веро-

чти 5 миллионов. Поэтому здесь мы никак не можем задействовать классическое определение вероятности.

Вместо этого необходимо просуммировать вероятности всех исходов, благоприятных заданному событию B ={сумма очков не превысит 40 в серии из семи случайных и независимых выстрелов}. Для этого выразим сумму очков через номера колец, в которые попал стрелок.

33

Если в первый раз он попадает в кольцо k1, то получает 10 k1 очков. При попадании во второй раз в k2-е кольцо, суммарное число очков за два броска составит 10 k1 10 k2. Размышляя аналогичным образом, получаем для семи бросков сумму очков, равную

7

10 k1 10 k2 10 k7 70 ki . i 1

7

Мы ищем вероятность того, что она не превысит 40: 70 ki 40

i 1

7

или ki 30. Значит, сумма номеров колец должны быть не менее 30.

i 1

Тогда мы должны рассмотреть только те исходы, для которых выпол-

7

няется ki 30, и сложить их вероятности. Таким образом,

i 1

Другими словами, мы ищем сумму произведений вероятностей попадания в кольца с такими номерами, что их сумма за семь выстрелов больше или равна 30. Это обеспечивает, что сумма очков для таких исходов не будет превышать 40. Один из вариантов решения такой задачи – это перебрать все такие исходы и подсчитать их вероятность. Если не принимать во внимание перестановки, то их оказывается не так уж много. Заметим, что перестановка очков (номеров колец) не влияет на вероятность, поскольку выстрелы независимы. Все такие исходы представлены в табл. 6. Их вероятность рассчитана по соотношению (3) с учетом построенной таблицы распределения очков при однократном выстреле (табл. 5).

Для того чтобы подсчитать итоговую вероятность, нужно учесть возможные перестановки. Например, при шести попаданиях в 5-е кольцо и одного в 4-е, более меткий выстрел мог быть первым или вторым и т. д., вплоть до последнего седьмого.

34

Таблица 6

Все возможные комбинации очков, сумма которых не более 40

35

Таким образом, всего семь вариантов. Это значение приведено в табл. 6 в столбце с числом перестановок. Здесь мы имеем дело с так называемыми перестановками с повторениями: если n элементов состоят из k разных символов, причем первый символ повторяется n1 раз,

второй – n2 раз, и т. д., k-й – nk раз, то их можно переставить

В итоговом столбце (табл. 6) перемножается вероятность каждой комбинации с числом возможных перестановок. Сумма значений в столбце составляет 0,1776 . Это и есть вероятность P(B).

Пожалуй, что более простой способ вычислить то же самое – сформировать многомерный массив с суммами номеров после семи выстрелов и посмотреть, какие исходы удовлетворяют условию

7

ki 30. Тем не менее ситуация усложняется тем, что исходы здесь

i 1

не равновероятны. Поэтому необходимо также сформировать массив с вероятностями каждого исхода, извлечь из него вероятности только

7

тех исходов, которые удовлетворяют условию ki 30. Далее нужно

i 1

сложить эти вероятности и ликовать – ответ получен. Текст программы, реализующей описанные действия, приведен в прил. В.

Если выполнить приведенный код, то получим распределение суммы номеров колец, в которые попал стрелок за семь попыток. По нему легко получить распределение суммы очков, представленное на рис. 4.

Из графика видно, что вероятность того, что сумма не превысит 40, невелика. Расчет показывает, что P(B) 0,1776. Значит, при случай-

ной стрельбе только примерно в 18 % случаев можно набрать меньше 40 очков, соответственно, шанс 82 %, что сумма будет больше 40 очков. Это означает, что результатом в 40 и меньше очков особо гордиться не стоит. Совсем другое дело, если вам удалось набрать не меньше 50 очков! Вероятность такого события составляет примерно 3 %. Если такой успех закономерен, то вы – меткий стрелок.

Вернемся к задаче. Второй вопрос добавляет событие-условие H ={после трех выстрелов сумма очков составила 20}. Необходимо выделить те исходы (табл. 6), в которых есть три выстрела с суммой очков, составляющей 20. Нетрудно заметить, что есть всего четыре

36

возможности получить за три выстрела 20 очков, эти комбинации приведены в табл. 7. Вычислим вероятность заданного условия аналогично тому, как мы делали это ранее, перемножая вероятность каждой комбинации с числом возможных перестановок и суммируя полученные результаты. Сумма итогового столбца в табл. 7 составляет 0,1379. Это и есть вероятность события H .

Сумма очков

Рис. 4. Распределение вероятностей суммы очков после семи выстрелов

Теперь найдем вероятность того, что события B и H произойдут одновременно, т. е. после трех бросков сумма будет равна 20, а после шести не превысит 40. Возможные комбинации очков приведены в табл. 8, но число их перестановок существенно меньше, чем у нас получалось раньше (табл. 6), поскольку теперь зафиксировано, что на первых трех позициях должны стоять числа, дающие в сумме 20. Число их перестановок мы уже нашли (табл. 8), а оставшиеся числа все одинаковые, поэтому их можно разместить только одним способом. Сумма итоговых вероятностей в табл. 8 составляет 0,0023. Это – веро-

ятность пересечения событий B и H : P B H 0,0023.

37

Таблица 7

Все возможные варианты выпадения очков, сумма которых равна 20 после трех выстрелов

Таблица 8

Все возможные варианты выпадения очков, сумма которых не более 40 после семи выстрелов и равна 20 после трех выстрелов

Тогда по формуле условной вероятности получаем, что вероятность того, что сумма очков за семь выстрелов не превысит 40 при условии, что после трех выстрелов она равнялась 20, составит

P B | H P B H 0,0023 0,0168.

P(H ) 0,1379

Однако найти ответ на второй вопрос гораздо проще, если перейти к редуцированному вероятностному пространству. Давайте рассмотрим ситуацию, как будто уже совершено три выстрела и сумма очков зафиксирована и равна 20. Тогда ситуация, что в сумме с оставшимися четырьмя выстрелами общие очки не превысят 40, равносильна тому, что за четыре оставшихся выстрела сумма очков не превысила 20. Поскольку минимальное число очков за один выстрел составляет 5, то это возможно только в одном случае, когда все четыре выстрела поразили

38

крайнее кольцо, дающее 5 очков. Это, кстати, хорошо видно из табл. 8. Значит, вероятность события P(B | H ) можно найти как вероятность

четыре раза подряд заработать по 5 очков. Для этого достаточно возвести в четвертую степень вероятность 925:

Как видим, вероятность очень мала – немного больше одного шанса из ста. Это означает, что если бы вы уже набрали за три выстрела 20 очков, то суммарное число очков за семь попыток уже практически наверняка превысило бы 40. Можете как-нибудь на досуге попробовать.

2.4. ЕСТЬ ЛИ ШАНС СПИСАТЬ ТЕСТ?

Задача. В базе для тестирования 100 вопросов: по 20 вопросов в каждом из 5 тематических блоков. При формировании теста из каждого блока случайно и независимо выбирается по 4 вопроса. Какова вероятность, что у двух студентов повторится до половины вопросов? Как изменится эта вероятность, если известно, что по первому блоку ни одного вопроса не совпало?

Решение. Разобьем пространство исходов на непересекающиеся события Ai j ={совпадет ровно i вопрос по j -му блоку}, i j 0,1, ,4,

j 1, ,5. Нас интересует событие B ={до половины вопросов совпало}, т. е. одинаковых вопросов не более 10. Число вопросов, совпавших в j -м блоке, обозначено как i j , поэтому условие можно выразить

5

как ij 10. Для того чтобы произошло такое событие, что во всем j 1

5

тесте совпало ровно ij вопросов, в первом блоке должно совпасть j 1

i1 и одновременно во втором блоке – i2 и т. д. Поскольку все эти события должны произойти вместе, то речь идет о пересечении. Тогда

39

ды не будут пересекаться, поскольку совпадение одного вопроса из первого блока исключает возможность совпадения двух или трех вопросов из этого же блока. Кроме того, по условию вопросы из каждого блока выбираются случайно и независимо, тем самым можно считать и

Тем самым мы получили вероятность реализации каждого возможного варианта разделения числа совпадающих вопросов в тесте по тематическим блокам, например:

0, 1, 2, 3, 4, т. е. в первом блоке нет совпадения, во втором – одно совпадение, в третьем – два, в четвертом – три, в пятом – четыре;

2, 2, 2, 2, 2, во всех блоках по два совпадения.

Для начала, очевидно, такие исходы имеют разные вероятности, в частности, интуитивно понятно, что шансы того, что все вопросы совпадут во всех блоках гораздо меньше, чем того, что совпадет по несколько (1–2) вопросов из каждого блока. Кроме того, число таких вариантов явно

конечно, поэтому для вычисления вероятности P Ai j подходит класси-

ческое определение. И наконец, только часть из этих исходов благоприятны событию B , и событие B можно представить как объединение та-

40