Теория алгоритмов в задачах информационной безопасности конспект лекций. Учебное пособие

где 1 ≤ u ≤ H, 0 ≤ v ≤ H. Действительно, набор чисел H, H − 1,

H − 2, ... , H − H, 2H, 2H − 1, ... , 2H − H, ... , H2, H2 − 1, ... , H2 − H

содержит в себе набор чисел 0, 1, ... , p − 2, поскольку H2 > p. Из этого следует корректность алгоритма. Оценка сложности также очевидна, поскольку набор из N элементов можно упорядочить за O(N log N) арифметических операций.

Существуют некоторые усовершенствования алгоритма согласования, но все они также имеют экспоненциальную сложность.

10.3. Алгоритм Полига–Хеллмана

Предположим теперь, что известно разложение p − 1 на простые множители:

ющего алгоритма Полига−Хеллмана.

1 шаг. Для каждого простого числа q, q | p − 1, составляем таб-

лицу чисел rq,j ≡ aj(p−1)/q (mod p), j = 0, ... , q − 1.

2 шаг. Для каждого простого q, qα || p − 1, находим loga b (mod qα). Пусть

x ≡ loga b (mod qα) ≡ x0 + x1q + ... + xα−1qα−1 (mod qα),

где 0 ≤ xi ≤ q − 1. Тогда из уравнения (10.1) следует, что b(p−1)/q ≡ ax0 (p−1)/q (mod p). С помощью таблицы, построенной на шаге 1, находим x0. Тогда выполнено сравнение

(ba− x0 )(p−1)/q2 ≡ ax1(p−1)/q (mod p).

По таблице находим x1, и т.д. Значение xi находится из сравнения

(ba− x0 − x1q−...− xi −1qi −1 )(p−1)/qi +1 ≡ axi (p−1)/q (mod p).

91

loga b(mod p − 1) по китайской теореме об остатках.

s O(qi )арифметических операций. Для нахождения очередного xi

i=1

на шаге 3 необходимо возведение в степень, т.е. нужно найти axi −1qi −1, вычислить обратный элемент, умножить, возвести в сте-

пень и пройти по таблице. Обратный элемент находится с помощью обобщенного алгоритма Евклида за O(log p) операций. Все вместе дает указанную выше оценку сложности алгоритма Полига−Хеллмана.

Отметим, что алгоритм Полига−Хеллмана имеет полиномиальную сложность O((log p)c1 ) в случае, когда все простые делители qi числа p не превосходят (log p)c2 , где c1, c2 – положительные кон-

станты. Это имеет место, например, для простых чисел p вида p = 2α + 1, p = 2α13α2 + 1.

10.3.ρ-метод Полларда для дискретного логарифмирования

В предыдущей лекции был описан ρ–метод Полларда для факторизации целых чисел, аналогичный метод предложен для дискретного логарифмирования по простому модулю p. Требуется решить уравнение ax ≡ b (mod p). Для этого рассмотрим три числовые последовательности {ui}, {vi}, {zi}, i = 0, 1, 2,..., определенные следующим образом:

u0 = v0 = 0, z0 = 1;

92

zi=1 ≡ bui +1 avi +1 (mod p − 1).

Здесь под c (mod p) понимаем наименьший неотрицательный вычет в данном классе вычетов.

Далее рассматриваем наборы (zi, ui, vi, z2i, u2i, v2i), i = 1, 2, 3, ..., и ищем номер i, для которого zi = z2i. Из последнего равенства

(mod p − 1). Дальнейшие детали, в частности, методы для нахождения совпавших элементов zi, z2i, можно найти в [21]. Эвристическая оценка сложности метода составляет O(p1/2) операций.

93

Список литературы

1.Алиев Ф.К., Юров И.А. Курс лекций по математической логике и теории алгоритмов. М.: МИФИ, 2003.

2.Ахо А., Хопкрофт Д., Ульман Д. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979.

3.Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

4.Василенко О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. М.: МЦНМО, 2003.

5.Верещагин Н.К., Шень А. Вычислимые функции. М.:

МЦНМО, 1999.

6.Верещагин Н.К., Шень А. Языки и исчисления. М.: МЦНМО,

2000.

7.Введение в теоретико-числовые методы в криптографии // М.М. Глухов, И.А. Круглов, А.Б. Пичкур, А.В. Черемушкин. СПб.: Изд-во «Лань», 2011.

8.Крупский В.Н. Теория алгоритмов. Введение в сложность вычислений. М.: ЮРАЙТ, 2022.

9.Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: ГИФМЛ, 1962.

10.Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. М.:

Наука, 1984.

11.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физикоматематическая литература, 1995.

12.Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1965.

13.Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.:

Наука, 1986.

14.Набебин А.А., Авдошин С.М. Дискретная математика. Алгоритмы: теория и практика. М.: ДМК Пресс, 2019.

15.Носов В.А. Основы теория алгоритмов и анализа их сложности. М.: Изд-во МГУ, 1992.

16.Теория чисел в криптографии // В.А. Орлов, Н.В. Медведев, Н.А. Шимко, А.Б. Добрачева. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.

17.Стивенс Р. Алгоритмы. Теория и практическое применение.

М.: Эксмо, 2022.

18.Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Математика: математическая логика и теория алгоритмов. М.: ЮРАЙТ, 2022.

94

19.Шнайер Б. Прикладная криптография: протоколы, алгоритмы и исходный код на C. М.: Вильямс, 2016.

20.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:

Наука, 1986.

21.Pollard J.M. Monte Carlo methods for index computation (mod p) // Math. Comp. 1978. V. 32 (143). Pp. 918–924.

95