Структуры данных. Учебное пособие

В нагруженных деревьях элементу множества соответствует не метка узла, а путь, пройденный от корня к листу, либо (в других реализациях) путь, пройденный от корня к узлу со специальной меткой. При изображении таких деревьев принято писать символы не в узлах, а на ребрах. На рис. 4.11 представлены примеры дерева, содержащего стро-

ки he, she, his, him, her, hers. Дерево (рис. 4.11, а) построено с исполь-

зованием дополнительного символа $, которого нет в алфавите исходного множества строк, добавление его в конце каждого слова обеспечивает завершение слова в листе. Дерево (рис. 4.11, б) иллюстрирует альтернативный подход – заштрихованные узлы соответствуют концам слов.

Узлы префиксных деревьев можно рассматривать как отображение множества символов в указатели на узел. Если реализация отображения позволяет получить соответствие за константное, не зависящее от размера алфавита время, то поиск образца занимает время, линейное относительно его длины, и не зависит от размера множества.

Основными операторами АТД «префиксное дерево» будут опера-

торы множеств INSERT(x, T), DELETE(x, T), FIND(x, T), где T – пре-

фиксное дерево, x – строка. FIND(x, T) будет выполняться за время O x и не будет зависеть от размеров T.

Рис. 4.11. Префиксное дерево для строк he, she, his, him, her, hers

41

текущим состоянием и добавляет новый лист, то баланс дерева будет зависеть от порядка добавления элементов. При этом дерево может выглядеть как на рис. 5.1, б или вовсе выродится в список с соответствующим линейным временем поиска.

Рис. 5.1. Двоичные деревья поиска:

а – сбалансированное; б – нарушение баланса

Для обеспечения баланса операции вставки и удаления должны перестраивать дерево – изменять взаимное расположение узлов. Далее рассмотрены некоторые известные подходы.

5.1.2. АВЛ-ДЕРЕВЬЯ

Это один из первых (а возможно, и самый первый) подход к балансировке, он был предложен в 1962 году советскими математиками Г.М. Адельсоном-Вельским и Е.М. Ландисом [7] и назван в их честь.

Ограничение, накладываемое на структуру, формулируется крайне просто: для любого узла дерева высота его правого поддерева отличается от высоты левого поддерева не более, чем на единицу. Этого свойства достаточно для того, чтобы высота дерева логарифмически

зависела от числа его узлов и лежала в пределах от log2 (n 1) до

1,44log2 (n 2) .

Отдельного рассмотрения заслуживают операции, обеспечивающие выполнение этого свойства, – повороты. Трансформации, которые они выполняют, показаны на рис. 5.2.

Рассмотрим ситуацию нарушения баланса, когда высота правого поддерева узла p на 2 больше высоты левого поддерева (обратный случай является симметричным).

43

в зависимости от результата сравнения, добавляем лист, а при возвращении из рекурсии выполняется балансировка текущего узла.

При удалении спускаемся вниз по дереву в поисках нужного элемента, если удаляемый элемент не является листом, то заменяем его минимальным элементом его правого поддерева (который либо является листом, либо имеет единственного потомка справа), как показано на рис. 5.5. На выходе из рекурсии как в самом удалении, так и в перемещении минимального элемента правого поддерева выполняем балансировку.

Рис. 5.5. Удаление из АВЛ-дерева

Таким образом, все основные операции по работе с АВЛ-деревом требуют времени порядка O(log(n)) .

45

не превосходит 2log(n 1) , где n – количество элементов, пример де-

рева изображен на рис. 5.6. По высоте, и, следовательно, по балансировке красно-черное дерево немного уступает АВЛ-дереву, преимущества заключаются в меньшем количестве операций необходимых для поддержания баланса. Асимптотика операций остается прежней –

O(log(n)) . При вставке новый узел обычно помечается красным, что

позволяет сохранить «черную» длину путей. Затем, исходя из первого ограничения, выполняются повороты или изменения цветов. Частные случаи, возникающие при этом, рассмотрены в литературе [9], [13].

5.1.4. РАНДОМИЗИРОВАННЫЕ ДЕРЕВЬЯ

Ключевая идея данного способа балансировки, предложенная в 1998 году [10], состоит в следующем. Если заранее перемешать все ключи (если элемент имеет сложную структуру, то следует говорить о ключе элемента – поле данных, по которому элементы упорядочиваются) и потом построить из них дерево обычной процедурой добавления, то построенное дерево окажется неплохо сбалансированным. При этом корнем с одинаковой вероятностью может оказаться любой из исходных ключей. Таким образом, если любой ключ может оказаться

корнем с вероятностью n 1 1 (n – размер дерева до вставки), то можно выполнять с указанной вероятностью вставку в корень, а с вероятно-

зависимости от значения ключа. Вставка в корень проиллюстрирована на рис. 5.7, а на рис. 5.8 приведен соответствующий алгоритм, использующий операции левого и правого поворотов вокруг заданного узла p – RotateLeft(p) и RotateRight(p), которые возвращают в качестве результата новый корень поддерева.

Рис. 5.7. Вставка в корень

46

5.1.5. ДЕКАРТОВЫ ДЕРЕВЬЯ

Декартово дерево [11] хранит пары (x, y) в виде бинарного дерева таким образом, что оно является бинарным деревом поиска по x и бинарной пирамидой по y (y – называют приоритетом). Тот факт, что эти пары значений можно рассматривать как координаты на плоскости, объясняет наиболее литературное название таких деревьев. Другое название – дерамида (дерево + пирамида) в английском варианте treap (tree + heap).

Основная идея заключается в следующем: из множества ключей можно построить много различных корректных деревьев поиска, однако после добавления к ним приоритетов дерево из данных ключей можно построить единственное, вне зависимости от порядка поступления ключей. Если приоритеты случайны, то полученное декартово дерево с высокой вероятностью будет иметь высоту, не превосходящую

4log(n) .

Добавление и удаление элементов реализуется с помощью двух вспомогательных операций: Merge и Split. Операция Merge принимает на вход два декартовых дерева L и R, ключи дерева L не превышают ключей R. От нее требуется соединить их в одно корректное декартово дерево T. Корнем будущего дерева станет корень с наибольшим приоритетом. Пусть это будет левое дерево, тогда оно останется слева, и вновь появятся два дерева, причем ключи в одном меньше ключей в другом. Фактически эта процедура аналогична объединению рандомизированных деревьев, рассмотренных выше.

На вход операции Split поступает корректное декартово дерево T и некий ключ x0. Задача операции – разделить дерево на два так, чтобы в одном из них (L) оказались все элементы исходного дерева с ключами, меньшими x0, а в другом (R) – с большими. Если ключ корня исходного дерева меньше x0, то он должен оказаться в L, иначе – в R. Предположим, что ключ корня оказался меньше x0. Тогда все элементы левого поддерева T также окажутся в L. Корень T станет корнем L, поскольку его приоритет наибольший во всем дереве.

Левое поддерево корня полностью сохранится без изменений, а правое уменьшится – из него нужно убрать элементы с ключами больше x0 и вынести в дерево R, т. е. вновь разделить по ключу x0. Работа операции Split изображена на рис. 5.10.

48